3. 如图8,黎族传统纺染织绣技艺是国家级非物质文化遗产.某黎锦作坊的匠人在裁剪筒裙布料后,剩下一块锐角三角形的织锦余料ABC,底边BC长120 mm,高AD为80 mm.匠人想充分利用这块余料,从中裁剪出一个正方形布片,作为筒裙腰头的拼布装饰.要求正方形的一边落在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.这个正方形布片的边长是多少?

提示:设正方形的边长为x mm. 由$PN// BC$,得$△ APN∽ △ ABC,\frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$,即$\frac{80 - x}{80}=\frac{x}{120}$, 解得 x=48 mm

【分析】
要解决锐角三角形中裁剪内接正方形的边长问题，可借助相似三角形的性质求解。首先观察图形，正方形的边PN平行于底边BC，可推出△APN和△ABC相似；其次相似三角形对应高的比等于相似比，我们设正方形边长为x，分别表示出小三角形的高AE和对应边PN，结合已知△ABC的底和高，列方程即可求出正方形边长。
【解析】
解：设这个正方形布片的边长为x mm。
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN//BC，PN=x mm，ED=x mm，
∴AE=AD-ED=(80-x) mm。
∵PN//BC，
∴∠APN=∠B，∠ANP=∠C，
∴△APN∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于对应边的比，可得：
$\frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$
代入已知数据BC=120 mm，AD=80 mm，得：
$\frac{80-x}{80}=\frac{x}{120}$
交叉相乘得：$120(80-x)=80x$
展开：$9600-120x=80x$
移项合并同类项：$200x=9600$
解得：$x=48$
【答案】
48 mm
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；方程法解几何问题
【点评】
这道题是相似三角形在实际生活中的典型应用，解题关键是通过平行线得到相似三角形，再利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程，将几何问题转化为代数方程求解，掌握相似三角形的核心性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

4. 如图9,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.$△ ACB$和$△ DCE$的顶点都在格点上,$ED$的延长线交$AB$于点$F$.
(1)求证:$△ ACB ∽ △ DCE$;
(2)①求$△ ACB$和$△ DCE$的面积比;
②求$△ DFB$和$△ DCE$的面积比.

(1) $\because \frac{AC}{DC}=\frac{3}{2},\frac{BC}{CE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
$\therefore \frac{AC}{DC}=\frac{BC}{CE}$ 又 $\because ∠ ACB=∠ DCE=90°$ $\therefore △ ACB∽ △ DCE$
(2) ① $\because △ ACB∽ △ DCE$
$\therefore S_{△ ACB}:S_{△ DCE}=AC^2:DC^2=9:4$
② 在$\mathrm{Rt}△ DCE$中,$DE^2=DC^2+CE^2=2^2+4^2=20$ $\because △ ACB∽ △ DCE$
$\therefore ∠ ABC=∠ DEC$ 又 $\because ∠ BDF=∠ EDC$ $\therefore △ DFB∽ △ DCE$ $\therefore S_{△ DFB}:S_{△ DCE}=DB^2:DE^2=16:20=4:5$

【分析】
(1) 要证明$△ ACB ∽ △ DCE$，观察可得两个三角形都是直角三角形，直角即公共夹角相等，因此只需验证两组直角边对应成比例即可，可先从网格中提取两个三角形的直角边长，计算边长比值验证相等关系。
(2) ① 已经证得$△ ACB ∽ △ DCE$，根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，直接代入第一问得到的相似比计算即可。
② 要求$△ DFB$和$△ DCE$的面积比，先证明两个三角形相似：由$△ ACB ∽ △ DCE$可得对应角$∠ ABC=∠ DEC$，再结合对顶角$∠ BDF=∠ EDC$，即可通过两角对应相等判定两个三角形相似，再计算对应边的平方比即可得到面积比，其中$DE$的长度可通过勾股定理在$\mathrm{Rt}△ DCE$中计算得到。
【解析】
(1) 证明：由网格可得$AC=3$，$DC=2$，$BC=6$，$CE=4$，$∠ ACB=∠ DCE=90°$
$\because \frac{AC}{DC}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{CE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
$\therefore \frac{AC}{DC}=\frac{BC}{CE}$，又$\because ∠ ACB=∠ DCE=90°$
$\therefore △ ACB ∽ △ DCE$
(2) ① 解：$\because △ ACB ∽ △ DCE$，相似比为$\frac{AC}{DC}=\frac{3}{2}$
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方
$\therefore S_{△ ACB}:S_{△ DCE}=AC^2:DC^2=3^2:2^2=9:4$
② 解：在$\mathrm{Rt}△ DCE$中，由勾股定理得：
$DE^2=DC^2+CE^2=2^2+4^2=20$
$\because △ ACB ∽ △ DCE$，$\therefore ∠ ABC=∠ DEC$
又$\because ∠ BDF=∠ EDC$（对顶角相等）
$\therefore △ DFB ∽ △ DCE$
由网格得$DB=BC-DC=6-2=4$
$\therefore S_{△ DFB}:S_{△ DCE}=DB^2:DE^2=4^2:20=16:20=4:5$
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) ① $\boxed{9:4}$；② $\boxed{4:5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是相似章节的典型综合题，需要结合网格提取边长、角度信息，灵活运用相似三角形的判定定理和性质求解，解题的关键是找准相似三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.65