题组 勾股定理

例1：已知直角三角形两条直角边分别为3和4，求斜边长度
解：设斜边为$ c $，在直角三角形中，根据勾股定理：
$ a^2 + b^2 = c^2 $
将$ a=3 $，$ b=4 $代入得：
$ 3^2 + 4^2 = c^2 $
$ 9 + 16 = c^2 $
$ c^2 = 25 $
∵ 边长为正数，∴ $ c = 5 $
例2：已知直角三角形斜边为13，一条直角边为5，求另一条直角边长度
解：设另一条直角边为$ b $，在直角三角形中，根据勾股定理：
$ a^2 + b^2 = c^2 $
变形得：$ b^2 = c^2 - a^2 $
将$ c=13 $，$ a=5 $代入得：
$ b^2 = 13^2 - 5^2 $
$ b^2 = 169 - 25 = 144 $
∵ 边长为正数，∴ $ b = 12 $
勾股定理证明（面积法）
证明：取四个全等的直角三角形，设其直角边为$ a $、$ b $，斜边为$ c $，将它们拼成边长为$ a+b $的大正方形，中间形成边长为$ c $的小正方形。
大正方形面积：$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
同时大正方形面积 = 小正方形面积 + 4个直角三角形面积，即：
$ c^2 + 4×\frac{1}{2}ab = c^2 + 2ab $
因此：$ a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab $
两边同时减去$ 2ab $，得：$ a^2 + b^2 = c^2 $，勾股定理得证。

1. 在 $ △ ABC $中， $ ∠ C=90° $ ，若 AC=8， AB=10，则 BC的长是 ( )

A.7
B.6
C.5
D.2

1. B

2. 如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形. 若正方形 A，B，C的边长依次为1，3，2，则正方形 D的面积为_______.

2. 14

3. 由两个直角三角形和三个正方形组成的图形如图所示. 若 $ △ P E F $的面积为6，则阴影部分的周长为_______.

3. 28

4. 如图，在 $ 2 ×2 $的方格中，小正方形的边长为1，点 A，B，C都在格点上，在 $ △ ABC $中，边 BC上的高为_______.

4. $\frac{3}{2}\sqrt{2}$

5. 在 $ △ ABC $中， $ ∠ C=90°. $
(1) 已知 $ A C=6 $ ， $ B C=8 $ ，求AB的长；
(2) 已知 AB=17，AC=15，求 BC的长.

5.（1）10 （2）8

6. 设 a，b，c是一个三角形的三条边的长，且 a是最长边，可以利用 a，b，c三边长间的关系来判断这个三角形的形状。若 $ a^{2}=b^{2}+c^{2} $ ，则该三角形是直角三角形；若 $ a^{2}＞b^{2}+c^{2} $ ，则该三角形是钝角三角形；若 $ a^{2}＜b^{2}+c^{2} $ ，则该三角形是锐角三角形. 请解答以下问题.
(1) 若一个三角形的三条边长分别是6， 7，8，则该三角形是_______三角形(填 “锐角”“直角”或“钝角”)；
(2) 若一个三角形的三条边长分别是5， 12， x，且这个三角形是直角三角形，则 x的值为_______.

6.（1）锐角 （2）13或$\sqrt{119}$