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1. 在每个分数后面的括号中写出分子和分母的最大公因数。
(1) $\frac{7}{14}$()
(2) $\frac{12}{36}$()
(3) $\frac{10}{15}$()
(4) $\frac{30}{42}$()
(1) $\frac{7}{14}$()
(2) $\frac{12}{36}$()
(3) $\frac{10}{15}$()
(4) $\frac{30}{42}$()
答案
(1)7；(2)12；(3)5；(4)6
解析
我们可以用列举法，结合倍数关系的规律找分子和分母的最大公因数：
1. $\frac{7}{14}$：14是7的倍数，当两个数是倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数，因此7和14的最大公因数是7；
2. $\frac{12}{36}$：36是12的倍数，同理可得12和36的最大公因数是12；
3. $\frac{10}{15}$：10的因数有1、2、5、10，15的因数有1、3、5、15，公有因数中最大的是5，因此10和15的最大公因数是5；
4. $\frac{30}{42}$：30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，公有因数中最大的是6，因此30和42的最大公因数是6。
1. $\frac{7}{14}$：14是7的倍数，当两个数是倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数，因此7和14的最大公因数是7；
2. $\frac{12}{36}$：36是12的倍数，同理可得12和36的最大公因数是12；
3. $\frac{10}{15}$：10的因数有1、2、5、10，15的因数有1、3、5、15，公有因数中最大的是5，因此10和15的最大公因数是5；
4. $\frac{30}{42}$：30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，公有因数中最大的是6，因此30和42的最大公因数是6。
2. 在每组数后面的()里写出它们的最大公因数，[]里写出它们的最小公倍数。
(1) 9和3()[]
(2) 1和8()[]
(3) 7和9()[]
(4) 10和2()[]
(5) 24和8()[]
(6) 18和13()[]
(1) 9和3()[]
(2) 1和8()[]
(3) 7和9()[]
(4) 10和2()[]
(5) 24和8()[]
(6) 18和13()[]
答案
(1) 3，9；(2) 1，8；(3) 1，63；(4) 2，10；(5) 8，24；(6) 1，234
解析
我们可以用五年级所学的两种特殊规律快速计算：①若两个数是倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；②若两个数互质（只有公因数1），最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。
1. 9和3是倍数关系，9是3的3倍，因此最大公因数是3，最小公倍数是9；
2. 1和8互质，因此最大公因数是1，最小公倍数是1×8=8；
3. 7和9互质，因此最大公因数是1，最小公倍数是7×9=63；
4. 10和2是倍数关系，10是2的5倍，因此最大公因数是2，最小公倍数是10；
5. 24和8是倍数关系，24是8的3倍，因此最大公因数是8，最小公倍数是24；
6. 18和13互质，因此最大公因数是1，最小公倍数是18×13=234。
1. 9和3是倍数关系，9是3的3倍，因此最大公因数是3，最小公倍数是9；
2. 1和8互质，因此最大公因数是1，最小公倍数是1×8=8；
3. 7和9互质，因此最大公因数是1，最小公倍数是7×9=63；
4. 10和2是倍数关系，10是2的5倍，因此最大公因数是2，最小公倍数是10；
5. 24和8是倍数关系，24是8的3倍，因此最大公因数是8，最小公倍数是24；
6. 18和13互质，因此最大公因数是1，最小公倍数是18×13=234。
3. 一个等腰三角形的一条边是5分米，另一条边的长度是这条边的$\frac{2}{5}$。这个三角形的周长是()分米。
答案
12
解析
1. 先计算已知的另一条边的长度：已知一条边为5分米，另一条边长度是它的$\frac{2}{5}$，可得该边长为$5×\frac{2}{5}=2$分米。
2. 结合等腰三角形性质和三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断合法的三边组合：
假设腰长为2分米，底边长为5分米，此时$2+2=4＜5$，不满足三边关系，无法构成三角形，该情况排除。
假设腰长为5分米，底边长为2分米，此时$2+5＞5$，满足三边关系，可以构成三角形。
3. 计算周长：$5+5+2=12$分米。
2. 结合等腰三角形性质和三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断合法的三边组合：
假设腰长为2分米，底边长为5分米，此时$2+2=4＜5$，不满足三边关系，无法构成三角形，该情况排除。
假设腰长为5分米，底边长为2分米，此时$2+5＞5$，满足三边关系，可以构成三角形。
3. 计算周长：$5+5+2=12$分米。
4. 若小正方体的棱长是大正方体棱长的$\frac{2}{3}$，则小正方体的体积是大正方体体积的（$\quad$）。
答案
$\frac{8}{27}$
解析
我们可以用赋值法方便计算，假设大正方体的棱长为3，那么小正方体的棱长为$3×\frac{2}{3}=2$。根据正方体体积公式：正方体体积=棱长×棱长×棱长，可得大正方体体积为$3×3×3=27$，小正方体体积为$2×2×2=8$，因此小正方体的体积是大正方体体积的$8÷27=\frac{8}{27}$。
5. 学号为1~50号的50名同学做游戏，第一轮请学号是3的倍数的同学跺跺脚，第二轮请学号是5的倍数的同学拍拍手。两轮游戏中既跺脚又拍手的同学有（）名。
答案
3
解析
要找出既跺脚又拍手的同学数量，首先明确这类同学的学号需要同时是3和5的倍数，也就是求3和5在1~50范围内的公倍数的个数。3和5是互质数，它们的最小公倍数是3×5=15。接下来列举1~50中15的倍数：15、30、45，一共3个，因此符合条件的同学有3名。
1. 有两根钢管，一根长42分米，另一根长63分米。现在要把它们锯成同样长的小段，每段钢管要尽可能长，且没有剩余。每段钢管长多少分米？一共能锯成几段？
答案
每段钢管长21分米，一共能锯成5段。
解析
这是最大公因数的实际应用问题，要求每段钢管尽可能长且没有剩余，本质是求42和63的最大公因数。
1. 求最大公因数：用分解质因数的方法计算，42=2×3×7，63=3×3×7，两个数公有质因数的乘积就是它们的最大公因数，即3×7=21，因此符合要求的每段钢管最长为21分米。
2. 计算总段数：
长42分米的钢管可锯段数：42÷21=2（段）
长63分米的钢管可锯段数：63÷21=3（段）
总段数：2+3=5（段）
1. 求最大公因数：用分解质因数的方法计算，42=2×3×7，63=3×3×7，两个数公有质因数的乘积就是它们的最大公因数，即3×7=21，因此符合要求的每段钢管最长为21分米。
2. 计算总段数：
长42分米的钢管可锯段数：42÷21=2（段）
长63分米的钢管可锯段数：63÷21=3（段）
总段数：2+3=5（段）
2. 有4个小朋友，他们的年龄恰好是4个连续的自然数，他们年龄的乘积是360，最大的小朋友多少岁？
答案
6岁
解析
我们用分解质因数的方法解题，步骤如下：
1. 先对乘积360分解质因数：360 = 2×2×2×3×3×5
2. 把得到的质因数重新组合，凑出4个连续的自然数：可以得到3、4、5、6，其中4=2×2，6=2×3，验证可得3×4×5×6=360，完全符合题目条件。
3. 对比这四个连续自然数，最大的数是6。
1. 先对乘积360分解质因数：360 = 2×2×2×3×3×5
2. 把得到的质因数重新组合，凑出4个连续的自然数：可以得到3、4、5、6，其中4=2×2，6=2×3，验证可得3×4×5×6=360，完全符合题目条件。
3. 对比这四个连续自然数，最大的数是6。
3. 把一张长 15 厘米、宽 10 厘米的长方形纸剪成同样大小、面积尽可能大的正方形,纸没有剩余,可以剪多少个? 剪出的正方形的边长是多少?(下图中每个小方格表示 1 平方厘米,先在图中画一画,再回答)
答案
可以剪6个，剪出的正方形的边长是5厘米。
解析
要剪出同样大小、面积尽可能大且纸没有剩余的正方形，正方形的边长需要是长方形长和宽的最大公因数。
1. 求边长：15的因数有1、3、5、15，10的因数有1、2、5、10，15和10的最大公因数是5，因此剪出的正方形边长为5厘米。
2. 计算总个数：长方形长的方向可以剪出15÷5=3个正方形，宽的方向可以剪出10÷5=2个正方形，总个数为3×2=6个。
（画图：在方格图中画出边长占5个小方格的正方形，共2行3列，合计6个即可）
1. 求边长：15的因数有1、3、5、15，10的因数有1、2、5、10，15和10的最大公因数是5，因此剪出的正方形边长为5厘米。
2. 计算总个数：长方形长的方向可以剪出15÷5=3个正方形，宽的方向可以剪出10÷5=2个正方形，总个数为3×2=6个。
（画图：在方格图中画出边长占5个小方格的正方形，共2行3列，合计6个即可）
