10.(10分)已知一元二次方程$ax^{2}+bx+2=0(a＜0).$
(1)求证:该方程总有两个不相等的实数根;
(2)设该方程两个不相等的实数根分别为$x_{1},x_{2}$,且$x_{2}=-2x_{1}$,求证:$a+b^{2}=0.$

(1)$\because b^2-4a×2=b^2-8a,a＜0$,
$\therefore b^2-8a＞0$,$\therefore$ 该方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because x_1,x_2$是方程$ax^2+bx+2=0(a＜0)$的两根,
$\therefore x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},x_1x_2=\dfrac{2}{a}$.
$\because x_2=-2x_1$,$\therefore x_1+(-2x_1)=-\dfrac{b}{a},x_1·(-2x_1)=\dfrac{2}{a}$,即$x_1=\dfrac{b}{a},x_1^2=-\dfrac{1}{a}$,
$\therefore (\dfrac{b}{a})^2=-\dfrac{1}{a}$,即$a+b^2=0$.

11.(10分)(2025·鼓楼区月考)如图,用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈,每个长方形都有一个1米宽的门,墙的最大可用长度为30米.
(1)如果羊圈的总面积为300平方米,求边AB的长.
(2)请问羊圈的总面积能为440平方米吗?若能,请求出边AB的长;若不能,请说明理由.

(1)设边AB的长为x米,则$AD=77-4x+3=(80-4x)$米,
根据题意,得$x(80-4x)=300$,解得$x_1=5,x_2=15$,
$\because$ 墙的最大可用长度为30米,且当$x=5$时,$AD=80-4×5=60$(米),不合题意,$\therefore x=15$.
答:边AB的长为15米.
(2)不能.理由:若羊圈的总面积能为440平方米,
则结合(1)可得$x(80-4x)=440$,
整理,得$x^2-20x+110=0$,
$\because (-20)^2-4×1×110=-40＜0$,$\therefore$ 方程无实数根,
$\therefore$ 羊圈的总面积不能为440平方米.

12.(12分)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件,每件的利润为6元,每提高一个档次,每件的利润增加2元,但一天产量减少5件.若生产的产品一天的总利润为1120元,且同一天所生产的产品为同一档次,求该产品的质量档次.

设该产品的质量档次是第x档次,则每天的产量为$[95-5(x-1)]$件,每件的利润是$[6+2(x-1)]$元,
根据题意,得$[6+2(x-1)][95-5(x-1)]=1120$,
整理,得$x^2-18x+72=0$,解得$x_1=6,x_2=12$(舍去).
答:该产品的质量档次为第6档次.

13.(12分)已知关于 $x$ 的方程 $mx^2+(4m-2)x+4m-4=0$($m$ 为常数,且 $m≠0$).
(1)求证:方程总有实数根.
(2)若该方程有两个实数根.
①不论 $m$ 取何实数,该方程总有一个不变的实数根为;
②若 $m$ 为整数,且方程的两个实数根都是整数,求 $m$ 的值.

(1)证明:$\because m≠0$,$\therefore$ 方程为一元二次方程.
$\because b^2-4ac=(4m-2)^2-4m(4m-4)=4＞0$,
$\therefore$ 方程总有实数根.
(2)①$-2$
②解:$\because x=\dfrac{-(4m-2)\pm2}{2m}$,$\therefore x_1=-2$,$x_2=-2+\dfrac{2}{m}$.
$\because$ 当$m=\pm1$或$m=\pm2$时,$-2+\dfrac{2}{m}$为整数,
$\therefore m$的值为$\pm1$,$\pm2$时,方程的两个实数根都是整数.