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1. 下列运算正确的是()
A.$a^2 - a = a$
B.$a · a^2 = a^3$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$(2ab^2)^3 = 6a^3b^6$
A.$a^2 - a = a$
B.$a · a^2 = a^3$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$(2ab^2)^3 = 6a^3b^6$
答案
B
解析
【分析】本题考查整式运算中的幂的相关法则，需逐一分析每个选项对应的运算法则，判断运算是否正确：先明确各选项涉及的运算类型，再依据对应法则验证结果，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】A选项：$a^2$与$a$不是同类项，不能合并，故A运算错误；B选项：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a·a^2=a^{1+2}=a^3$，故B运算正确；C选项：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠a^5$，故C运算错误；D选项：根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式分别乘方再相乘，可得$(2ab^2)^3=2^3·a^3·(b^2)^3=8a^3b^6≠6a^3b^6$，故D运算错误。综上，正确的是B。
【答案】B
【知识点】整式的运算、同底数幂乘法、幂的乘方
【点评】本题为初中数学基础题型，考查幂的相关运算法则，需熟练掌握各类幂运算的规则，区分不同运算的指数变化规律，难度较低，是常考的基础知识点题目。
【难度系数】0.8
【解析】A选项：$a^2$与$a$不是同类项，不能合并，故A运算错误；B选项：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a·a^2=a^{1+2}=a^3$，故B运算正确；C选项：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠a^5$，故C运算错误；D选项：根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式分别乘方再相乘，可得$(2ab^2)^3=2^3·a^3·(b^2)^3=8a^3b^6≠6a^3b^6$，故D运算错误。综上，正确的是B。
【答案】B
【知识点】整式的运算、同底数幂乘法、幂的乘方
【点评】本题为初中数学基础题型，考查幂的相关运算法则，需熟练掌握各类幂运算的规则，区分不同运算的指数变化规律，难度较低，是常考的基础知识点题目。
【难度系数】0.8
2. 如图,将一个大正方形分割成4部分,根据图形面积关系可以证明()
A.$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
B.$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
C.$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
D.$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$
A.$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
B.$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
C.$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
D.$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用“同一个图形的总面积相等”的思路，通过计算大正方形和分割后各部分的面积推导代数恒等式。首先确定大正方形的边长，再分别计算大正方形的面积与分割后四部分的面积之和，对比两者表达式即可得到对应公式。
【解析】
1. 确定大正方形的边长：从图中可知，大正方形的横向长度为$x+y$，纵向长度也为$x+y$，因此大正方形的面积为$(x+y)^2$。
2. 计算分割后四部分的面积和：
左下角是边长为$x$的正方形，面积为$x^2$；
右上角是边长为$y$的正方形，面积为$y^2$；
剩余两部分均为长$x$、宽$y$的长方形，每个面积为$xy$，两部分总面积为$2xy$；
因此四部分的面积和为$x^2 + y^2 + 2xy = x^2 + 2xy + y^2$。
3. 由于大正方形的总面积等于四部分的面积和，故$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、图形面积与代数恒等式
【点评】
本题通过几何图形的面积关系验证代数公式，体现了数形结合的数学思想，是初中代数中利用几何直观理解公式的典型题目，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需利用“同一个图形的总面积相等”的思路，通过计算大正方形和分割后各部分的面积推导代数恒等式。首先确定大正方形的边长，再分别计算大正方形的面积与分割后四部分的面积之和，对比两者表达式即可得到对应公式。
【解析】
1. 确定大正方形的边长：从图中可知，大正方形的横向长度为$x+y$，纵向长度也为$x+y$，因此大正方形的面积为$(x+y)^2$。
2. 计算分割后四部分的面积和：
左下角是边长为$x$的正方形，面积为$x^2$；
右上角是边长为$y$的正方形，面积为$y^2$；
剩余两部分均为长$x$、宽$y$的长方形，每个面积为$xy$，两部分总面积为$2xy$；
因此四部分的面积和为$x^2 + y^2 + 2xy = x^2 + 2xy + y^2$。
3. 由于大正方形的总面积等于四部分的面积和，故$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、图形面积与代数恒等式
【点评】
本题通过几何图形的面积关系验证代数公式，体现了数形结合的数学思想，是初中代数中利用几何直观理解公式的典型题目，难度适中。
【难度系数】
0.7
3.在同一平面内,将直尺、含$30°$角的三角尺和木工角尺($CD⊥ DE$)按如图所示的方式摆放。
若$AB// CD$,则$∠ 1=\_\_\_\_\_\_°$。
若$AB// CD$,则$∠ 1=\_\_\_\_\_\_°$。
答案
30
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行线的性质、垂直的定义以及直角三角尺的角度特征来推导。首先根据含30°角的直角三角尺确定相关角的度数，再利用平行线的性质得到内错角相等，最后结合垂直的定义计算∠1的度数。
【解析】
1. 确定三角尺的角度：该三角尺是含30°角的直角三角尺，因此∠ABD = 60°（直角三角尺中，30°角对应的邻角为60°）。
2. 利用平行线性质：因为AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠CDB = ∠ABD = 60°。
3. 结合垂直定义计算：已知CD⊥DE，根据垂直的定义，∠CDE = 90°，即∠1 + ∠CDB = 90°，因此∠1 = 90° - ∠CDB = 90° - 60° = 30°。
【答案】
30
【知识点】
平行线的性质、垂直的定义、直角三角尺的角度
【点评】
本题结合实际摆放的图形，将几何知识应用于生活场景，核心考查平行线的性质和垂直的定义，解题关键是理清角之间的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行线的性质、垂直的定义以及直角三角尺的角度特征来推导。首先根据含30°角的直角三角尺确定相关角的度数，再利用平行线的性质得到内错角相等，最后结合垂直的定义计算∠1的度数。
【解析】
1. 确定三角尺的角度：该三角尺是含30°角的直角三角尺，因此∠ABD = 60°（直角三角尺中，30°角对应的邻角为60°）。
2. 利用平行线性质：因为AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠CDB = ∠ABD = 60°。
3. 结合垂直定义计算：已知CD⊥DE，根据垂直的定义，∠CDE = 90°，即∠1 + ∠CDB = 90°，因此∠1 = 90° - ∠CDB = 90° - 60° = 30°。
【答案】
30
【知识点】
平行线的性质、垂直的定义、直角三角尺的角度
【点评】
本题结合实际摆放的图形，将几何知识应用于生活场景，核心考查平行线的性质和垂直的定义，解题关键是理清角之间的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
4.如图,直线 $ a // b $,直线 $ l ⊥ a $。若$ ∠ 1 = 120° $,则$ ∠ 2 = $$ ° $。
答案
30
解析
【分析】
要解决这道题，需结合平行线的性质和直角三角形的角度关系思考：首先，根据平行线的性质，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条，可确定直线$l$与$b$垂直；其次，利用邻补角的关系求出$∠1$的邻补角；最后，在直角三角形中，根据三角形内角和为$180°$，计算出$∠2$的度数。
【解析】
1. 因为直线$a // b$，且直线$l ⊥ a$，根据“垂直于两条平行线中的一条直线，必垂直于另一条直线”，可得$l ⊥ b$，即直线$l$与$b$的夹角为$90°$。
2. $∠1$与它的邻补角组成平角，所以该邻补角的度数为：$180° - ∠1 = 180° - 120° = 60°$。
3. 在由直线$a$、$b$、$l$构成的直角三角形中，三个内角和为$180°$，其中一个角为$90°$，另一个角为步骤2求出的$60°$，因此：
$∠2 = 180° - 90° - 60° = 30°$。
【答案】
30
【知识点】
平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和
【点评】
本题是基础几何角度计算题，综合考查平行线的性质和直角三角形的内角和应用，解题思路清晰，步骤简单，属于初中几何的基础题型，主要检验学生对基础几何定理的掌握情况。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合平行线的性质和直角三角形的角度关系思考：首先，根据平行线的性质，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条，可确定直线$l$与$b$垂直；其次，利用邻补角的关系求出$∠1$的邻补角；最后，在直角三角形中，根据三角形内角和为$180°$，计算出$∠2$的度数。
【解析】
1. 因为直线$a // b$，且直线$l ⊥ a$，根据“垂直于两条平行线中的一条直线，必垂直于另一条直线”，可得$l ⊥ b$，即直线$l$与$b$的夹角为$90°$。
2. $∠1$与它的邻补角组成平角，所以该邻补角的度数为：$180° - ∠1 = 180° - 120° = 60°$。
3. 在由直线$a$、$b$、$l$构成的直角三角形中，三个内角和为$180°$，其中一个角为$90°$，另一个角为步骤2求出的$60°$，因此：
$∠2 = 180° - 90° - 60° = 30°$。
【答案】
30
【知识点】
平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和
【点评】
本题是基础几何角度计算题，综合考查平行线的性质和直角三角形的内角和应用，解题思路清晰，步骤简单，属于初中几何的基础题型，主要检验学生对基础几何定理的掌握情况。
【难度系数】
0.7
5.某商场开业举行庆祝活动，凡是到商场的人均可参加“意外惊喜”的游戏，游戏规则：一个布袋中装有除颜色外完全相同的白球和红球共20个，任意摸出一个球，如果摸到红球就可获得商场免费提供的一份礼品。据统计，当天参加活动的约有5 000人，商场发放了1 000份礼品，估计布袋中红球的个数为。
答案
4
解析
【分析】本题考查用频率估计概率的实际应用，解题思路是：先通过参加活动的总人数和获得礼品的人数计算摸到红球的频率，再利用大量重复试验中频率近似等于概率的规律，结合概率公式求出红球的个数。
【解析】解：当天参加活动的总人数为5000人，获得礼品（摸到红球）的人数为1000人，因此摸到红球的频率为$\frac{1000}{5000}=0.2$。根据大量重复试验下，事件发生的频率稳定于该事件的概率，可知布袋中红球的概率约为0.2。设布袋中红球的个数为$x$，已知总球数为20个，根据概率公式可得：$\frac{x}{20}=0.2$，解得$x=4$。
【答案】4
【知识点】用频率估计概率、概率的计算
【点评】本题结合商场活动的实际场景，考查概率的基础应用，难度较低，只要掌握频率与概率的关系即可解答，贴近生活，易于理解。
【难度系数】0.8
【解析】解：当天参加活动的总人数为5000人，获得礼品（摸到红球）的人数为1000人，因此摸到红球的频率为$\frac{1000}{5000}=0.2$。根据大量重复试验下，事件发生的频率稳定于该事件的概率，可知布袋中红球的概率约为0.2。设布袋中红球的个数为$x$，已知总球数为20个，根据概率公式可得：$\frac{x}{20}=0.2$，解得$x=4$。
【答案】4
【知识点】用频率估计概率、概率的计算
【点评】本题结合商场活动的实际场景，考查概率的基础应用，难度较低，只要掌握频率与概率的关系即可解答，贴近生活，易于理解。
【难度系数】0.8
6. 先化简，再求值：$[(2a+b)^2-(2a+b)(2a-b)]÷2b$，其中 $a=2,b=-1$。
答案
3
解析
【分析】
这是整式的化简求值题，解题思路为：先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的式子，再合并同类项，接着进行整式除法化简，最后代入给定的a、b值计算结果。
【解析】
1. 利用公式展开括号内的部分：
完全平方公式：$(2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2$；
平方差公式：$(2a+b)(2a-b)=4a^2-b^2$；
2. 合并同类项化简括号内：
$[(4a^2+4ab+b^2)-(4a^2-b^2)]=4a^2+4ab+b^2-4a^2+b^2=4ab+2b^2$；
3. 整式除法化简：
$(4ab+2b^2)÷2b=4ab÷2b + 2b^2÷2b=2a+b$；
4. 代入$a=2,b=-1$求值：
$2×2 + (-1)=4-1=3$。
【答案】
3
【知识点】
整式的混合运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查整式的化简求值，需熟练运用公式和运算法则，是基础题型，侧重考查运算能力。
【难度系数】
0.7
这是整式的化简求值题，解题思路为：先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的式子，再合并同类项，接着进行整式除法化简，最后代入给定的a、b值计算结果。
【解析】
1. 利用公式展开括号内的部分：
完全平方公式：$(2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2$；
平方差公式：$(2a+b)(2a-b)=4a^2-b^2$；
2. 合并同类项化简括号内：
$[(4a^2+4ab+b^2)-(4a^2-b^2)]=4a^2+4ab+b^2-4a^2+b^2=4ab+2b^2$；
3. 整式除法化简：
$(4ab+2b^2)÷2b=4ab÷2b + 2b^2÷2b=2a+b$；
4. 代入$a=2,b=-1$求值：
$2×2 + (-1)=4-1=3$。
【答案】
3
【知识点】
整式的混合运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查整式的化简求值，需熟练运用公式和运算法则，是基础题型，侧重考查运算能力。
【难度系数】
0.7
7.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客一次性消费300元及以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，那么顾客就可以获得对应的优惠；如果指针恰好停在分割线上，那么需重新转动转盘。
（1）某顾客正好消费220元，他可以转动转盘吗？
（2）某顾客正好消费420元，他转一次转盘，获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？
（3）某顾客消费时获得了一次转动转盘的机会，实际付费252元，该顾客所购物品的原价应为多少元？
（1）某顾客正好消费220元，他可以转动转盘吗？
（2）某顾客正好消费420元，他转一次转盘，获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？
（3）某顾客消费时获得了一次转动转盘的机会，实际付费252元，该顾客所购物品的原价应为多少元？
答案
（1）不可以；
（2）获得九折优惠的概率为$\frac{1}{2}$，获得八折优惠的概率为$\frac{1}{3}$，获得七折优惠的概率为$\frac{1}{6}$；
（3）该顾客所购物品的原价为315元或360元。
（2）获得九折优惠的概率为$\frac{1}{2}$，获得八折优惠的概率为$\frac{1}{3}$，获得七折优惠的概率为$\frac{1}{6}$；
（3）该顾客所购物品的原价为315元或360元。
解析
【分析】
本题需结合题目规则和转盘图形信息解决三个问题：（1）根据消费门槛判断是否可转动转盘；（2）利用转盘圆心角计算各优惠的概率；（3）结合折扣公式和消费门槛求原价。
【解析】
（1）题目规定：只有一次性消费300元及以上，才能获得转动转盘的机会。该顾客消费220元，220元＜300元，因此他不可以转动转盘。
（2）整个转盘的圆心角为360°，观察图形可得：
九折区域总圆心角：90°+90°=180°；
八折区域总圆心角：60°+60°=120°；
七折区域圆心角：360°-180°-120°=60°；
概率=对应区域圆心角÷360°，因此：
获得九折优惠的概率=180°÷360°=$\frac{1}{2}$；
获得八折优惠的概率=120°÷360°=$\frac{1}{3}$；
获得七折优惠的概率=60°÷360°=$\frac{1}{6}$；
（3）设原价为x元，实际付费=原价×折扣，结合“消费300元及以上才能转动转盘”的条件：
①若享受八折优惠：0.8x=252，解得x=315元，315≥300，符合条件；
②若享受七折优惠：0.7x=252，解得x=360元，360≥300，符合条件；
③若享受九折优惠：0.9x=252，解得x=280元，280＜300，不符合条件，舍去；
因此原价为315元或360元。
【答案】
（1）不可以；（2）九折概率$\frac{1}{2}$，八折概率$\frac{1}{3}$，七折概率$\frac{1}{6}$；（3）315元或360元
【知识点】
概率计算、折扣问题、圆心角应用
【点评】
本题结合转盘概率与实际消费规则，需准确读取图形圆心角，同时注意消费门槛的限制，是基础的数学应用题目，难度适中。
【难度系数】
0.3
本题需结合题目规则和转盘图形信息解决三个问题：（1）根据消费门槛判断是否可转动转盘；（2）利用转盘圆心角计算各优惠的概率；（3）结合折扣公式和消费门槛求原价。
【解析】
（1）题目规定：只有一次性消费300元及以上，才能获得转动转盘的机会。该顾客消费220元，220元＜300元，因此他不可以转动转盘。
（2）整个转盘的圆心角为360°，观察图形可得：
九折区域总圆心角：90°+90°=180°；
八折区域总圆心角：60°+60°=120°；
七折区域圆心角：360°-180°-120°=60°；
概率=对应区域圆心角÷360°，因此：
获得九折优惠的概率=180°÷360°=$\frac{1}{2}$；
获得八折优惠的概率=120°÷360°=$\frac{1}{3}$；
获得七折优惠的概率=60°÷360°=$\frac{1}{6}$；
（3）设原价为x元，实际付费=原价×折扣，结合“消费300元及以上才能转动转盘”的条件：
①若享受八折优惠：0.8x=252，解得x=315元，315≥300，符合条件；
②若享受七折优惠：0.7x=252，解得x=360元，360≥300，符合条件；
③若享受九折优惠：0.9x=252，解得x=280元，280＜300，不符合条件，舍去；
因此原价为315元或360元。
【答案】
（1）不可以；（2）九折概率$\frac{1}{2}$，八折概率$\frac{1}{3}$，七折概率$\frac{1}{6}$；（3）315元或360元
【知识点】
概率计算、折扣问题、圆心角应用
【点评】
本题结合转盘概率与实际消费规则，需准确读取图形圆心角，同时注意消费门槛的限制，是基础的数学应用题目，难度适中。
【难度系数】
0.3
