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23. 已知菱形的周长为24 cm,且有一个内角为$120°$,那么它的一条较长的对角线和面积分别是()
A.$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm},18\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$
B.$6\ \mathrm{cm},18\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm},36\ \mathrm{cm}^2$
D.$6\ \mathrm{cm},18\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
A.$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm},18\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$
B.$6\ \mathrm{cm},18\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm},36\ \mathrm{cm}^2$
D.$6\ \mathrm{cm},18\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
答案
A
解析
1. 菱形四条边相等，由周长24cm得边长为24÷4=6cm；2. 菱形一个内角为120°，则相邻内角为60°，较短对角线与两条邻边构成边长为6cm的等边三角形，即较短对角线长为6cm；3. 菱形对角线互相垂直平分，由勾股定理得较长对角线的一半为$\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，因此较长对角线长为$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；4. 菱形面积为对角线乘积的一半，计算得$S=\frac{1}{2}×6×6\sqrt{3}=18\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
24. 如图所示，将$△ ABC$沿$BC$方向平移得到$△ DCE$，连接$AD$，下列条件中能够判定四边形$ACED$为菱形的是()
A.$AB = BC$
B.$AC = BC$
C.$∠ B = 60°$
D.$∠ ACB = 60°$
A.$AB = BC$
B.$AC = BC$
C.$∠ B = 60°$
D.$∠ ACB = 60°$
答案
B
解析
由平移的性质可得：$AC// DE$，$AD// CE$，且$BC=CE$，因此四边形$ACED$是平行四边形。根据菱形的判定，一组邻边相等的平行四边形是菱形，已知$CE=BC$，当$AC=BC$时，可得$AC=CE$，此时平行四边形$ACED$邻边相等，即可判定它为菱形，其余选项的条件均无法推出该结论。
25. 如图所示,在矩形$ABCD$中,$AC$,$BD$相交于点$O$,$OF ⊥ AB$,若$AC=2AD$,$OF=9$,则$BD$的长为()
A.$90$
B.$36$
C.$9\sqrt{3}$
D.$18\sqrt{3}$
A.$90$
B.$36$
C.$9\sqrt{3}$
D.$18\sqrt{3}$
答案
B
解析
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，AD⊥AB，对角线AC=BD，且OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD。
∵OF⊥AB，∴OF//AD，又O是AC中点，
∴OF是△ABC的中位线，可得OF=1/2 AD。
已知OF=9，因此AD=2×9=18。
由题设AC=2AD，得AC=2×18=36，
结合矩形对角线相等的性质，BD=AC=36。
∴∠DAB=90°，AD⊥AB，对角线AC=BD，且OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD。
∵OF⊥AB，∴OF//AD，又O是AC中点，
∴OF是△ABC的中位线，可得OF=1/2 AD。
已知OF=9，因此AD=2×9=18。
由题设AC=2AD，得AC=2×18=36，
结合矩形对角线相等的性质，BD=AC=36。
26. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是()
A.对角线相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.四条边相等
A.对角线相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.四条边相等
答案
A
解析
根据正方形和菱形的性质逐一判断：菱形的性质为四条边相等，对角线互相垂直平分、且每条对角线平分一组对角，但其对角线长度不一定相等；正方形属于特殊的菱形，除具备菱形的所有性质外，对角线还相等，因此对角线相等是正方形具有而菱形不一定具有的性质。
27. 若一个菱形的一个内角为$120°$,且边长为5,则较长的对角线长为.
答案
$\boldsymbol{5\sqrt{3}}$
解析
解：
∵ 菱形的邻角互补，一个内角为120°，
∴ 与该内角相邻的内角为$180°-120°=60°$。
∵ 菱形的四条边相等，边长为5，
∴ $60°$内角所对的对角线与菱形的两条邻边构成边长为5的等边三角形，即较短的对角线长为5。
又∵ 菱形的对角线互相垂直平分，
∴ 两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形。
设较长对角线的一半长为$x$，由勾股定理得：
$x^2 + (\frac{5}{2})^2 = 5^2$
解得$x=\frac{5\sqrt{3}}{2}$（边长为正，舍去负根），
∴ 较长的对角线长为$2x=5\sqrt{3}$。
∵ 菱形的邻角互补，一个内角为120°，
∴ 与该内角相邻的内角为$180°-120°=60°$。
∵ 菱形的四条边相等，边长为5，
∴ $60°$内角所对的对角线与菱形的两条邻边构成边长为5的等边三角形，即较短的对角线长为5。
又∵ 菱形的对角线互相垂直平分，
∴ 两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形。
设较长对角线的一半长为$x$，由勾股定理得：
$x^2 + (\frac{5}{2})^2 = 5^2$
解得$x=\frac{5\sqrt{3}}{2}$（边长为正，舍去负根），
∴ 较长的对角线长为$2x=5\sqrt{3}$。
28.若一个直角三角形斜边上的中线长是6,则它的两条直角边中点的连线长是.A
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：
∵ 直角三角形斜边上的中线长是6，
∴ 该直角三角形的斜边长为 $ 2×6=12 $。
根据三角形中位线定理，直角三角形两条直角边中点的连线是三角形的中位线，长度等于斜边长度的一半，
∴ 所求连线长为 $ \frac{1}{2}×12=6 $。
∵ 直角三角形斜边上的中线长是6，
∴ 该直角三角形的斜边长为 $ 2×6=12 $。
根据三角形中位线定理，直角三角形两条直角边中点的连线是三角形的中位线，长度等于斜边长度的一半，
∴ 所求连线长为 $ \frac{1}{2}×12=6 $。
29. 如图所示,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对称中心O处,折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm,∠A=120°,则EF= cm. 
答案
$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
解析
解：
连接BD、AC。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，AO=OC，BO=OD，AC平分∠BAD。
∵ ∠BAD=120°，
∴ ∠BAC=60°，
∴ △ABC为等边三角形，
又∵ AB=2 cm，
∴ AO = $\frac{1}{2}$AB = 1 cm。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$ cm，
∴ $BD=2BO=2\sqrt{3}$ cm。
由折叠性质可知：EF垂直平分AO，
∴ EF//BD，
∴ E是AB的中点，F是AD的中点，
即EF是△ABD的中位线，
∴ $EF=\frac{1}{2}BD=\sqrt{3}$ cm。
最终
连接BD、AC。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，AO=OC，BO=OD，AC平分∠BAD。
∵ ∠BAD=120°，
∴ ∠BAC=60°，
∴ △ABC为等边三角形，
又∵ AB=2 cm，
∴ AO = $\frac{1}{2}$AB = 1 cm。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$ cm，
∴ $BD=2BO=2\sqrt{3}$ cm。
由折叠性质可知：EF垂直平分AO，
∴ EF//BD，
∴ E是AB的中点，F是AD的中点，
即EF是△ABD的中位线，
∴ $EF=\frac{1}{2}BD=\sqrt{3}$ cm。
最终
