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10 整体思想 [2025 苏州]若 $ y = x + 1 $，则代数式 $ 2y - 2x + 3 $ 的值为 ______.
答案
10. 5
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构特征，不需要单独求出x、y的具体值，可采用整体代入的思想简化计算：首先将已知等式$ y=x+1 $移项得到$ y-x=1 $，再将所求代数式提取公因式，变形为含有$ y-x $的形式，最后将$ y-x=1 $整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$ y = x + 1 $，
移项可得：$ y - x = 1 $，
对代数式$ 2y - 2x + 3 $提取公因式2，变形得：
$ 2y - 2x + 3 = 2(y - x) + 3 $，
把$ y - x = 1 $代入上式：
$ 2×1 + 3 = 5 $。
【答案】
5
【知识点】
代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的解题思想，通过观察式子的共同特征将部分式子作为整体代入，可大幅降低计算量，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.9
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构特征，不需要单独求出x、y的具体值，可采用整体代入的思想简化计算：首先将已知等式$ y=x+1 $移项得到$ y-x=1 $，再将所求代数式提取公因式，变形为含有$ y-x $的形式，最后将$ y-x=1 $整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$ y = x + 1 $，
移项可得：$ y - x = 1 $，
对代数式$ 2y - 2x + 3 $提取公因式2，变形得：
$ 2y - 2x + 3 = 2(y - x) + 3 $，
把$ y - x = 1 $代入上式：
$ 2×1 + 3 = 5 $。
【答案】
5
【知识点】
代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的解题思想，通过观察式子的共同特征将部分式子作为整体代入，可大幅降低计算量，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.9
11（1）已知$ a + b = 4 $，则代数式$ 1 - \frac{a}{2} - \frac{b}{2} $的值为________；
（2）[2025 扬州]若$ a^2 - 2b + 1 = 0 $，则代数式$ 2a^2 - 4b + 3 $的值是________；
（3）代数式$ 2026 - (m + 2026)^2 $的值最大为________；
（4）已知$ \frac{x - 3y}{2x + y} = -6 $，则$ \frac{2x + y}{x - 3y} $的值为________，$ \frac{2x - 6y}{2x + y} $的值为________。
（2）[2025 扬州]若$ a^2 - 2b + 1 = 0 $，则代数式$ 2a^2 - 4b + 3 $的值是________；
（3）代数式$ 2026 - (m + 2026)^2 $的值最大为________；
（4）已知$ \frac{x - 3y}{2x + y} = -6 $，则$ \frac{2x + y}{x - 3y} $的值为________，$ \frac{2x - 6y}{2x + y} $的值为________。
答案
11. (1) $-1$ (2) $1$ (3) $2026$ (4) $-\dfrac{1}{6}$，$-12$
解析
【分析】
本题均为代数式求值类题目，核心解题思路是运用整体代入思想，无需单独求解每个未知数的值，只需找到已知条件和待求代数式之间的关联即可：
（1）观察待求式可变形为含$a+b$的结构，直接将已知的$a+b=4$整体代入计算；
（2）先从已知等式变形得到$a^2-2b$的值，再将待求式提取公因式转化为含$a^2-2b$的形式后代入计算；
（3）利用平方的非负性，即任意数的平方都大于等于0，要使原式值最大，需让减去的平方项取最小值0，即可求出最大值；
（4）第一空直接利用互为倒数的两个数乘积为1，求已知比值的倒数即可；第二空将待求式的分子变形为$2(x-3y)$，转化为已知比值的2倍后代入计算。
【解析】
（1）对$1-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}$变形得：$1-\frac{a+b}{2}$，将$a+b=4$代入得：$1-\frac{4}{2}=1-2=-1$；
（2）由$a^2-2b+1=0$移项得：$a^2-2b=-1$，对$2a^2-4b+3$变形得：$2(a^2-2b)+3$，代入得：$2×(-1)+3=1$；
（3）由平方的非负性可知$(m+2026)^2≥0$，因此当$(m+2026)^2=0$时，$2026-(m+2026)^2$取最大值，最大值为$2026-0=2026$；
（4）① 已知$\frac{x-3y}{2x+y}=-6$，$\frac{2x+y}{x-3y}$是已知比值的倒数，故值为$-\frac{1}{6}$；
② 对$\frac{2x-6y}{2x+y}$变形得：$\frac{2(x-3y)}{2x+y}=2×\frac{x-3y}{2x+y}$，代入已知得：$2×(-6)=-12$。
【答案】
(1) $-1$；(2) $1$；(3) $2026$；(4) $-\dfrac{1}{6}$，$-12$
【知识点】
代数式求值、整体代入思想、平方的非负性
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，重点考查对整体代入思想的运用，不需要求出未知数的具体值，通过观察已知条件和待求式的结构关联，结合倒数性质、平方非负性等基础知识点即可快速求解，能有效锻炼学生的代数式变形能力。
【难度系数】
0.8
本题均为代数式求值类题目，核心解题思路是运用整体代入思想，无需单独求解每个未知数的值，只需找到已知条件和待求代数式之间的关联即可：
（1）观察待求式可变形为含$a+b$的结构，直接将已知的$a+b=4$整体代入计算；
（2）先从已知等式变形得到$a^2-2b$的值，再将待求式提取公因式转化为含$a^2-2b$的形式后代入计算；
（3）利用平方的非负性，即任意数的平方都大于等于0，要使原式值最大，需让减去的平方项取最小值0，即可求出最大值；
（4）第一空直接利用互为倒数的两个数乘积为1，求已知比值的倒数即可；第二空将待求式的分子变形为$2(x-3y)$，转化为已知比值的2倍后代入计算。
【解析】
（1）对$1-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}$变形得：$1-\frac{a+b}{2}$，将$a+b=4$代入得：$1-\frac{4}{2}=1-2=-1$；
（2）由$a^2-2b+1=0$移项得：$a^2-2b=-1$，对$2a^2-4b+3$变形得：$2(a^2-2b)+3$，代入得：$2×(-1)+3=1$；
（3）由平方的非负性可知$(m+2026)^2≥0$，因此当$(m+2026)^2=0$时，$2026-(m+2026)^2$取最大值，最大值为$2026-0=2026$；
（4）① 已知$\frac{x-3y}{2x+y}=-6$，$\frac{2x+y}{x-3y}$是已知比值的倒数，故值为$-\frac{1}{6}$；
② 对$\frac{2x-6y}{2x+y}$变形得：$\frac{2(x-3y)}{2x+y}=2×\frac{x-3y}{2x+y}$，代入已知得：$2×(-6)=-12$。
【答案】
(1) $-1$；(2) $1$；(3) $2026$；(4) $-\dfrac{1}{6}$，$-12$
【知识点】
代数式求值、整体代入思想、平方的非负性
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，重点考查对整体代入思想的运用，不需要求出未知数的具体值，通过观察已知条件和待求式的结构关联，结合倒数性质、平方非负性等基础知识点即可快速求解，能有效锻炼学生的代数式变形能力。
【难度系数】
0.8
12 按照如图所示的程序计算,若输入$ x $的值为 2,则输出的结果是________。
(第 12 题)
(第 12 题)
答案
12. $-26$
解析
【分析】
首先明确程序的运算逻辑：输入x后先计算代数式10-x²的值，再判断该值是否小于0；若小于0则直接输出结果，若不小于0，就将计算得到的结果作为新的x值，再次代入10-x²计算，重复判断步骤，直到结果小于0时输出即可。我们按这个逻辑将x=2逐步代入计算即可得到答案。
【解析】
第一步：第一次输入x=2，代入代数式计算：
$10 - x^2 = 10 - 2^2 = 10 - 4 = 6$
因为$6＞0$，不满足小于0的输出条件，所以将6作为新的x值再次代入计算。
第二步：代入x=6计算：
$10 - x^2 = 10 - 6^2 = 10 - 36 = -26$
因为$-26＜0$，满足输出条件，所以输出-26。
【答案】
$-26$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题考查根据程序规则计算代数式的值，解题时要注意读懂程序的循环规则，若首次计算结果不符合输出要求，需循环代入计算，避免只计算一次就盲目输出导致出错。
【难度系数】
0.7
首先明确程序的运算逻辑：输入x后先计算代数式10-x²的值，再判断该值是否小于0；若小于0则直接输出结果，若不小于0，就将计算得到的结果作为新的x值，再次代入10-x²计算，重复判断步骤，直到结果小于0时输出即可。我们按这个逻辑将x=2逐步代入计算即可得到答案。
【解析】
第一步：第一次输入x=2，代入代数式计算：
$10 - x^2 = 10 - 2^2 = 10 - 4 = 6$
因为$6＞0$，不满足小于0的输出条件，所以将6作为新的x值再次代入计算。
第二步：代入x=6计算：
$10 - x^2 = 10 - 6^2 = 10 - 36 = -26$
因为$-26＜0$，满足输出条件，所以输出-26。
【答案】
$-26$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题考查根据程序规则计算代数式的值，解题时要注意读懂程序的循环规则，若首次计算结果不符合输出要求，需循环代入计算，避免只计算一次就盲目输出导致出错。
【难度系数】
0.7
13 如图,每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的,根据此规律可以确定代数式 $ mn - x $ 的值为 ______。
(第 13 题)
(第 13 题)
答案
13. $-180$ 【解析】根据题意,得 $2n=20,m=20-1,x=20m-n$,所以 $m=19,n=10,x=370$. 所以 $mn-x=19×10-370=-180$.
解析
【分析】解题时先分步寻找方格内四个位置的数字规律：首先观察左下角与左上角数字的关系，推导得出n的值；再观察右上角与左下角数字的关系，得出m的值；接着验证右下角数字的运算规律，求出x的值；最后代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求n的值：
观察前4个方格的数字，左下角数字依次为2、4、6、8，对应左上角数字依次为1、2、3、4，可得到规律：左下角数字=2×左上角数字。
已知最后一个方格左下角为20，左上角为n，因此：
$2n=20$，解得$n=10$
2. 求m的值：
观察前4个方格的右上角数字依次为1、3、5、7，对应左下角数字依次为2、4、6、8，可得到规律：右上角数字=左下角数字-1。
因此最后一个方格的右上角$m=20-1=19$
3. 求x的值：
验证前4个方格的右下角数字规律：
第1个：$2×1 -1=1$
第2个：$4×3 -2=10$
第3个：$6×5 -3=27$
第4个：$8×7 -4=52$
可得规律：右下角数字=左下角数字×右上角数字 - 左上角数字。
因此最后一个方格的$x=20×m -n=20×19 -10=370$
4. 计算代数式的值：
$mn -x=19×10 -370=190-370=-180$
【答案】$-180$
【知识点】数字规律探究，代数式求值
【点评】本题属于数字规律类探究题，需要分步观察不同位置数字的对应关系，先推导简单位置的规律，再推导复杂运算类的规律，代入数值计算时注意运算的准确性。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 求n的值：
观察前4个方格的数字，左下角数字依次为2、4、6、8，对应左上角数字依次为1、2、3、4，可得到规律：左下角数字=2×左上角数字。
已知最后一个方格左下角为20，左上角为n，因此：
$2n=20$，解得$n=10$
2. 求m的值：
观察前4个方格的右上角数字依次为1、3、5、7，对应左下角数字依次为2、4、6、8，可得到规律：右上角数字=左下角数字-1。
因此最后一个方格的右上角$m=20-1=19$
3. 求x的值：
验证前4个方格的右下角数字规律：
第1个：$2×1 -1=1$
第2个：$4×3 -2=10$
第3个：$6×5 -3=27$
第4个：$8×7 -4=52$
可得规律：右下角数字=左下角数字×右上角数字 - 左上角数字。
因此最后一个方格的$x=20×m -n=20×19 -10=370$
4. 计算代数式的值：
$mn -x=19×10 -370=190-370=-180$
【答案】$-180$
【知识点】数字规律探究，代数式求值
【点评】本题属于数字规律类探究题，需要分步观察不同位置数字的对应关系，先推导简单位置的规律，再推导复杂运算类的规律，代入数值计算时注意运算的准确性。
【难度系数】0.6
14 整体思想 当$x=1$时,代数式$\frac{1}{2}ax^3 - 3bx + 4$的值是7. 当$x=-1$时,求这个代数式的值.
答案
14. 根据题意,得 $\dfrac{1}{2}a · 1^3 - 3b · 1 + 4 = 7$,即 $\dfrac{1}{2}a - 3b = 3$,所以$-\dfrac{1}{2}a + 3b = -3$. 当 $x=-1$ 时, $\dfrac{1}{2}ax^3 - 3bx + 4 = \dfrac{1}{2}a · (-1)^3 - 3b · (-1) + 4 = -\dfrac{1}{2}a + 3b + 4 = -3 + 4 = 1$
解析
【分析】
本题无法直接求出a、b的具体数值，需运用整体思想求解。第一步先将x=1代入已知代数式，整理得到关于a、b的整式的值；第二步将x=-1代入待求的代数式，通过变形将其转化为含有第一步得到的整式的形式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：当$x=1$时，代入代数式$\frac{1}{2}ax^3 - 3bx + 4$得：
$\dfrac{1}{2}a · 1^3 - 3b · 1 + 4 = 7$
整理得：$\dfrac{1}{2}a - 3b = 3$，两边同时乘$-1$可得$-\dfrac{1}{2}a + 3b = -3$。
当$x=-1$时，代入代数式$\frac{1}{2}ax^3 - 3bx + 4$得：
$\dfrac{1}{2}a · (-1)^3 - 3b · (-1) + 4$
$=-\dfrac{1}{2}a + 3b + 4$
将$-\dfrac{1}{2}a + 3b = -3$整体代入上式，得：
$-3 + 4 = 1$
【答案】
1
【知识点】
代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心考查整体代入的解题思想，解题时不需要求出单个字母的具体取值，只需观察代数式结构，将含字母的部分作为整体代入运算，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
本题无法直接求出a、b的具体数值，需运用整体思想求解。第一步先将x=1代入已知代数式，整理得到关于a、b的整式的值；第二步将x=-1代入待求的代数式，通过变形将其转化为含有第一步得到的整式的形式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：当$x=1$时，代入代数式$\frac{1}{2}ax^3 - 3bx + 4$得：
$\dfrac{1}{2}a · 1^3 - 3b · 1 + 4 = 7$
整理得：$\dfrac{1}{2}a - 3b = 3$，两边同时乘$-1$可得$-\dfrac{1}{2}a + 3b = -3$。
当$x=-1$时，代入代数式$\frac{1}{2}ax^3 - 3bx + 4$得：
$\dfrac{1}{2}a · (-1)^3 - 3b · (-1) + 4$
$=-\dfrac{1}{2}a + 3b + 4$
将$-\dfrac{1}{2}a + 3b = -3$整体代入上式，得：
$-3 + 4 = 1$
【答案】
1
【知识点】
代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心考查整体代入的解题思想，解题时不需要求出单个字母的具体取值，只需观察代数式结构，将含字母的部分作为整体代入运算，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
15 新考向 阅读理解题【知识呈现】已知$(2x-1)^5=a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$.其中，$a_5$表示$x^5$的系数，$a_4$表示$x^4$的系数，以此类推.当$x=2$时，$(2×2-1)^5=a_5×2^5+a_4×2^4+a_3×2^3+a_2×2^2+a_1×2+a_0$，即$3^5=2^5a_5+2^4a_4+2^3a_3+2^2a_2+2a_1+a_0$.
【解决问题】（1）若$x=0$，则可知$a_0=$
（2）利用取特殊值法，求$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$的值；
（3）利用取特殊值法，求$-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$的值；
【拓展延伸】（4）求$a_4+a_2$的值.
【解决问题】（1）若$x=0$，则可知$a_0=$
-1
；（2）利用取特殊值法，求$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$的值；
（3）利用取特殊值法，求$-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$的值；
【拓展延伸】（4）求$a_4+a_2$的值.
答案
15. (1) $-1$ (2) 当 $x=1$ 时, $(2×1-1)^5=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$,所以 $a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=1$ (3) 当 $x=-1$ 时, $[2×(-1)-1]^5=-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$,所以 $-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=(-3)^5=-243$ (4) 由(2)知, $a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=1$①,由(3)知, $-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=-243$②,所以①+②,得 $2a_4+2a_2+2a_0=-242$,即 $a_4+a_2+a_0=-121$. 由(1)知, $a_0=-1$,所以 $a_4+a_2=-120$
解析
【分析】
本题考查利用特殊值法求整式展开式的系数，解题思路如下：1. 求常数项$a_0$时，只需代入$x=0$，此时所有含$x$的项均为0，可直接得到$a_0$的值；2. 求所有系数的和时，代入$x=1$，此时$x$的任意正整数次幂均为1，原式即可化简为所有系数相加的形式；3. 求正负交替的系数和时，代入$x=-1$，此时$x$的奇数次幂为-1、偶数次幂为1，刚好匹配所求式子的符号特征；4. 求偶次项系数和时，将第(2)(3)问得到的两个等式相加，可消去奇次项系数，再结合$a_0$的值即可求出$a_4+a_2$的结果。
【解析】
(1) 把$x=0$代入$(2x-1)^5=a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$，得：
$(2×0-1)^5=a_0$，即$a_0=(-1)^5=-1$。
(2) 把$x=1$代入原式，得：
$(2×1-1)^5=a_5×1^5+a_4×1^4+a_3×1^3+a_2×1^2+a_1×1+a_0$
化简得$1^5=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$，即$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=1$。
(3) 把$x=-1$代入原式，得：
$[2×(-1)-1]^5=a_5×(-1)^5+a_4×(-1)^4+a_3×(-1)^3+a_2×(-1)^2+a_1×(-1)+a_0$
化简得$(-3)^5=-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$，即$-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=-243$。
(4) 记(2)的结果为①式：$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=1$，
记(3)的结果为②式：$-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=-243$，
将①+②，得：$2a_4+2a_2+2a_0=1+(-243)=-242$，
两边同时除以2得：$a_4+a_2+a_0=-121$，
由(1)知$a_0=-1$，代入得：$a_4+a_2=-121-(-1)=-120$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{1}$；(3) $\boldsymbol{-243}$；(4) $\boldsymbol{-120}$
【知识点】
代数式求值，特殊值法，整式的系数
【点评】
本题是代数式求值的创新应用题型，核心考查特殊值法的灵活运用，解题的关键是根据所求系数和的符号特征选择合适的$x$值代入，再通过整式的加减运算消去不需要的项，进而求出结果，能较好地考查逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.65
本题考查利用特殊值法求整式展开式的系数，解题思路如下：1. 求常数项$a_0$时，只需代入$x=0$，此时所有含$x$的项均为0，可直接得到$a_0$的值；2. 求所有系数的和时，代入$x=1$，此时$x$的任意正整数次幂均为1，原式即可化简为所有系数相加的形式；3. 求正负交替的系数和时，代入$x=-1$，此时$x$的奇数次幂为-1、偶数次幂为1，刚好匹配所求式子的符号特征；4. 求偶次项系数和时，将第(2)(3)问得到的两个等式相加，可消去奇次项系数，再结合$a_0$的值即可求出$a_4+a_2$的结果。
【解析】
(1) 把$x=0$代入$(2x-1)^5=a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$，得：
$(2×0-1)^5=a_0$，即$a_0=(-1)^5=-1$。
(2) 把$x=1$代入原式，得：
$(2×1-1)^5=a_5×1^5+a_4×1^4+a_3×1^3+a_2×1^2+a_1×1+a_0$
化简得$1^5=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$，即$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=1$。
(3) 把$x=-1$代入原式，得：
$[2×(-1)-1]^5=a_5×(-1)^5+a_4×(-1)^4+a_3×(-1)^3+a_2×(-1)^2+a_1×(-1)+a_0$
化简得$(-3)^5=-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$，即$-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=-243$。
(4) 记(2)的结果为①式：$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=1$，
记(3)的结果为②式：$-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=-243$，
将①+②，得：$2a_4+2a_2+2a_0=1+(-243)=-242$，
两边同时除以2得：$a_4+a_2+a_0=-121$，
由(1)知$a_0=-1$，代入得：$a_4+a_2=-121-(-1)=-120$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{1}$；(3) $\boldsymbol{-243}$；(4) $\boldsymbol{-120}$
【知识点】
代数式求值，特殊值法，整式的系数
【点评】
本题是代数式求值的创新应用题型，核心考查特殊值法的灵活运用，解题的关键是根据所求系数和的符号特征选择合适的$x$值代入，再通过整式的加减运算消去不需要的项，进而求出结果，能较好地考查逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.65
