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19. 计算:
(1) $2x^4 · x^2 - (x^2)^3$;
(2) $(3x^3y^3)^2 + (-2x^2y^2)^3$。
(1) $2x^4 · x^2 - (x^2)^3$;
(2) $(3x^3y^3)^2 + (-2x^2y^2)^3$。
答案
解：
(1) 原式$=2x^{4+2} - x^{2×3}$
$=2x^6 - x^6$
$=x^6$
(2) 原式$=3^2 · (x^3)^2 · (y^3)^2 + (-2)^3 · (x^2)^3 · (y^2)^3$
$=9x^6y^6 - 8x^6y^6$
$=x^6y^6$
(1) 原式$=2x^{4+2} - x^{2×3}$
$=2x^6 - x^6$
$=x^6$
(2) 原式$=3^2 · (x^3)^2 · (y^3)^2 + (-2)^3 · (x^2)^3 · (y^2)^3$
$=9x^6y^6 - 8x^6y^6$
$=x^6y^6$
20. $(-0.125)^{2025} × 8^{2026}$ 的值等于 （）
A.$-8$
B.$8$
C.$0.125$
D.$-0.125$
A.$-8$
B.$8$
C.$0.125$
D.$-0.125$
答案
A
解析
先将$8^{2026}$变形为$8^{2025} × 8$，原式改写为$(-0.125)^{2025} × 8^{2025} × 8$，逆用积的乘方法则可得$[(-0.125) × 8]^{2025} × 8$，计算括号内部分得$(-0.125)×8=-1$，进一步计算得$(-1)^{2025} × 8 = -1 × 8 = -8$。
21. 实数$a,b,c$满足$2^a=3,2^b=6,2^c=24$,则代数式$201a - 561b + 360c$的值为（）
A.517
B.518
C.519
D.520
A.517
B.518
C.519
D.520
答案
C
解析
利用同底数幂的运算性质推导a、b、c的关系：
1. 由$2^b=6=2×3=2×2^a=2^{a+1}$，可得$b=a+1$；
2. 由$2^c=24=4×6=2^2×2^b=2^{b+2}$，可得$c=b+2$，即$c=a+3$；
3. 将$b=a+1$，$c=a+3$代入代数式：
$\begin{aligned}201a - 561b + 360c&=201a -561(a+1)+360(a+3)\\&=201a -561a -561 + 360a + 1080\\&=(201-561+360)a + (1080-561)\\&=519\end{aligned}$
1. 由$2^b=6=2×3=2×2^a=2^{a+1}$，可得$b=a+1$；
2. 由$2^c=24=4×6=2^2×2^b=2^{b+2}$，可得$c=b+2$，即$c=a+3$；
3. 将$b=a+1$，$c=a+3$代入代数式：
$\begin{aligned}201a - 561b + 360c&=201a -561(a+1)+360(a+3)\\&=201a -561a -561 + 360a + 1080\\&=(201-561+360)a + (1080-561)\\&=519\end{aligned}$
22.若$3y - 2x + 2 = 0$，则$9^x ÷ 27^y$的值为。
答案
$\boldsymbol{9}$
解析
解：
将原式转化为以3为底的幂的运算：
$9^x ÷ 27^y = (3^2)^x ÷ (3^3)^y = 3^{2x} ÷ 3^{3y} = 3^{2x-3y}$
由已知$3y - 2x + 2 = 0$，移项整理得：
$2x - 3y = 2$
把$2x-3y=2$代入$3^{2x-3y}$，得：
$3^{2x-3y} = 3^2 = 9$
将原式转化为以3为底的幂的运算：
$9^x ÷ 27^y = (3^2)^x ÷ (3^3)^y = 3^{2x} ÷ 3^{3y} = 3^{2x-3y}$
由已知$3y - 2x + 2 = 0$，移项整理得：
$2x - 3y = 2$
把$2x-3y=2$代入$3^{2x-3y}$，得：
$3^{2x-3y} = 3^2 = 9$
23. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，两条对角线相交于点O，以OB，OC为邻边作第1个平行四边形OBB₁C，对角线相交于点A₁，以A₁B₁，A₁C邻边作第2个平行四边形A₁B₁C₁C，对角线相交于点O₁；再以O₁B₁，O₁C₁为邻边作第3个平行四边形O₁B₁B₂C₁，……以此类推，第2026个平行四边形的面积为。
答案
$\boldsymbol{\dfrac{ab}{2^{2026}}}$
解析
解：
矩形ABCD的面积为 $S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB· BC=ab$。
∵ 点O是矩形ABCD对角线的交点，
∴ $△ OBC$ 的面积是矩形ABCD面积的 $\frac{1}{4}$，即 $S_{△ OBC}=\frac{1}{4}ab$。
∵ 平行四边形$OBB_1C$的对角线将其分为两个面积相等的与$△ OBC$全等的三角形，
∴ 第1个平行四边形的面积 $S_1=2S_{△ OBC}=\frac{1}{2}ab=\frac{ab}{2^1}$。
同理可得：
第2个平行四边形的面积 $S_2=\frac{1}{2}S_1=\frac{ab}{2^2}$，
第3个平行四边形的面积 $S_3=\frac{1}{2}S_2=\frac{ab}{2^3}$，
……
以此类推，第$n$个平行四边形的面积为 $S_n=\frac{ab}{2^n}$。
将$n=2026$代入，得第2026个平行四边形的面积为 $\frac{ab}{2^{2026}}$。
最终
矩形ABCD的面积为 $S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB· BC=ab$。
∵ 点O是矩形ABCD对角线的交点，
∴ $△ OBC$ 的面积是矩形ABCD面积的 $\frac{1}{4}$，即 $S_{△ OBC}=\frac{1}{4}ab$。
∵ 平行四边形$OBB_1C$的对角线将其分为两个面积相等的与$△ OBC$全等的三角形，
∴ 第1个平行四边形的面积 $S_1=2S_{△ OBC}=\frac{1}{2}ab=\frac{ab}{2^1}$。
同理可得：
第2个平行四边形的面积 $S_2=\frac{1}{2}S_1=\frac{ab}{2^2}$，
第3个平行四边形的面积 $S_3=\frac{1}{2}S_2=\frac{ab}{2^3}$，
……
以此类推，第$n$个平行四边形的面积为 $S_n=\frac{ab}{2^n}$。
将$n=2026$代入，得第2026个平行四边形的面积为 $\frac{ab}{2^{2026}}$。
最终
24.已知$a^m=64,a^n=16$,求$a^{3m-4n}$的值。
答案
解：
根据同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，可得：
$a^{3m-4n}=a^{3m}÷ a^{4n}=(a^m)^3÷(a^n)^4$
将$a^m=64$，$a^n=16$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=64^3÷16^4\\&=(2^6)^3÷(2^4)^4\\&=2^{18}÷2^{16}\\&=2^2\\&=4\end{aligned}$
根据同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，可得：
$a^{3m-4n}=a^{3m}÷ a^{4n}=(a^m)^3÷(a^n)^4$
将$a^m=64$，$a^n=16$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=64^3÷16^4\\&=(2^6)^3÷(2^4)^4\\&=2^{18}÷2^{16}\\&=2^2\\&=4\end{aligned}$
