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10. 如图，在$Rt△ AEB$和$Rt△ AFC$中，$BE$与$AC$相交于点$M$，与$CF$相交于点$D$，$AB$与$CF$相交于点$N$，$∠ E=∠ F=90°$，$∠ EAC=∠ FAB$，$AE=AF$。给出下列结论：①$∠ B=∠ C$；②$CD=DN$；③$BE=CF$；④$△ ACN≌△ ABM$。其中正确的结论是（）
A.①③④
B.①②③④
C.①②③
D.①②④
A.①③④
B.①②③④
C.①②③
D.①②④
答案
A
解析
1. 证明①③：
由∠EAC=∠FAB，得∠EAC+∠CAB=∠FAB+∠CAB，即∠EAB=∠FAC。
又∠E=∠F=90°，AE=AF，根据ASA判定得Rt△AEB≌Rt△AFC，因此∠B=∠C，BE=CF，①③正确。
2. 证明④：
由Rt△AEB≌Rt△AFC得AB=AC，又∠CAB是公共角，∠B=∠C，根据ASA判定得△ACN≌△ABM，④正确。
3. 判断②：
题目没有给出足够条件证明CD和DN相等，无法推出CD=DN，②错误。
综上正确结论为①③④。
由∠EAC=∠FAB，得∠EAC+∠CAB=∠FAB+∠CAB，即∠EAB=∠FAC。
又∠E=∠F=90°，AE=AF，根据ASA判定得Rt△AEB≌Rt△AFC，因此∠B=∠C，BE=CF，①③正确。
2. 证明④：
由Rt△AEB≌Rt△AFC得AB=AC，又∠CAB是公共角，∠B=∠C，根据ASA判定得△ACN≌△ABM，④正确。
3. 判断②：
题目没有给出足够条件证明CD和DN相等，无法推出CD=DN，②错误。
综上正确结论为①③④。
11. 如图，已知∠1=∠2，要根据AAS判定△ABD≌△ACD，则需要补充的一个条件为。
答案
$\boldsymbol{∠B=∠C}$
解析
解：
在△ABD和△ACD中，已知∠1=∠2，AD是两个三角形的公共边。
根据AAS全等判定的要求，需要补充一组对应角相等，且该组角为已知边AD的对角，即∠B=∠C。
此时满足：
$\begin{cases}∠B=∠C \\∠1=∠2 \\AD=AD\end{cases}$
符合AAS的全等判定条件，可证△ABD≌△ACD。
在△ABD和△ACD中，已知∠1=∠2，AD是两个三角形的公共边。
根据AAS全等判定的要求，需要补充一组对应角相等，且该组角为已知边AD的对角，即∠B=∠C。
此时满足：
$\begin{cases}∠B=∠C \\∠1=∠2 \\AD=AD\end{cases}$
符合AAS的全等判定条件，可证△ABD≌△ACD。
12.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带去。
答案
③
解析
解：要配出和原三角形完全相同的玻璃，本质是构造与原三角形全等的三角形。
根据全等三角形的“角边角（ASA）”判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
第①块仅保留了原三角形的1个内角，无法确定原三角形的形状大小；
第②块没有保留完整的角和边，无法确定原三角形；
第③块保留了原三角形的两个内角以及这两个角的夹边，满足ASA的全等判定条件，可以唯一确定和原三角形完全一致的三角形。
因此最省事的方法是带③去。
根据全等三角形的“角边角（ASA）”判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
第①块仅保留了原三角形的1个内角，无法确定原三角形的形状大小；
第②块没有保留完整的角和边，无法确定原三角形；
第③块保留了原三角形的两个内角以及这两个角的夹边，满足ASA的全等判定条件，可以唯一确定和原三角形完全一致的三角形。
因此最省事的方法是带③去。
13.如图，在$6×4$的正方形网格中，$△ ABC$与$△ CDE$均是格点三角形，则$∠ CDE - ∠ BAC = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$\boldsymbol{90°}$
解析
解：设每个小正方形的边长为1，
过点C作CM垂直于直线DE，交DE的延长线于点M，
则∠CMD=90°，CM=4，DM=2。
在Rt△CDM中，$\tan∠ CDM = \frac{CM}{DM} = \frac{4}{2}=2$。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，
$\tan∠ BAC = \frac{BC}{AC} = \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
由正切性质可知，$∠ CDM + ∠ BAC = 90°$。
又∵ 点D、E、M共线，∠CDE + ∠CDM = 180°，
∴ $∠ CDE - ∠ BAC = 180° - ∠ CDM - ∠ BAC = 180° - 90° = 90°$。
过点C作CM垂直于直线DE，交DE的延长线于点M，
则∠CMD=90°，CM=4，DM=2。
在Rt△CDM中，$\tan∠ CDM = \frac{CM}{DM} = \frac{4}{2}=2$。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，
$\tan∠ BAC = \frac{BC}{AC} = \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
由正切性质可知，$∠ CDM + ∠ BAC = 90°$。
又∵ 点D、E、M共线，∠CDE + ∠CDM = 180°，
∴ $∠ CDE - ∠ BAC = 180° - ∠ CDM - ∠ BAC = 180° - 90° = 90°$。
14. 如图，在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$，以点$B$为圆心，$AB$长为半径画弧，交$BC$于点$E$，连接$DE$，已知$∠ A=70°$，则$∠ CED$的度数为________。
答案
$\boldsymbol{110°}$
解析
解：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠EBD。
由作图可知：AB = BE。
在△ABD和△EBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BE \\∠ABD = ∠EBD \\BD = BD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △EBD（SAS）。
∴ ∠BED = ∠A = 70°。
又∵ ∠CED + ∠BED = 180°，
∴ ∠CED = 180° - 70° = 110°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠EBD。
由作图可知：AB = BE。
在△ABD和△EBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BE \\∠ABD = ∠EBD \\BD = BD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △EBD（SAS）。
∴ ∠BED = ∠A = 70°。
又∵ ∠CED + ∠BED = 180°，
∴ ∠CED = 180° - 70° = 110°。
15.如图，在△ABC中，∠B=∠C，BC=3。将△ABC从点D处沿虚线剪开，若BE=1，CF=2，当线段BD的长度为时，剪下的两个三角形全等。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：设BD=x，
∵ BC=3，
∴ CD=BC-BD=3-x。
∵ ∠B=∠C，要使剪下的△BDE和△CFD全等，由SAS全等判定可知，夹等角∠B、∠C的两组对应边需满足：BE=CD，BD=CF。
已知BE=1，CF=2，
可得CD=1，BD=2，
此时BD+CD=2+1=3，与BC=3一致，符合条件。
即线段BD的长度为2。
∵ BC=3，
∴ CD=BC-BD=3-x。
∵ ∠B=∠C，要使剪下的△BDE和△CFD全等，由SAS全等判定可知，夹等角∠B、∠C的两组对应边需满足：BE=CD，BD=CF。
已知BE=1，CF=2，
可得CD=1，BD=2，
此时BD+CD=2+1=3，与BC=3一致，符合条件。
即线段BD的长度为2。
16.如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长AB为6.8米，高BC始终与水平地面垂直。现有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面EC推送至重心处在适当位置时，无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱。此时，正方体货物点H到直线BC的距离为1米，则正方体货物点G到直线AD的距离为米。
答案
$\boldsymbol{5.8}$
解析
解：过点G作GM⊥BC于点M，过点H作HN⊥BC于点N。
由题意得∠GCM + ∠HCN = 90°，∠CHN + ∠HCN = 90°，
∴∠GCM = ∠CHN。
又∵∠GMC = ∠CNH = 90°，CG = CH，
∴△GCM ≌ △CHN（AAS）。
∴GM = CN，CM = HN。
由题可知点H到直线BC的距离HN=1米。
均匀正方体的重心在其几何中心，此时重心的竖直线恰好过支点C，即重心的水平投影与点C重合，因此G、H两点的水平坐标中点与点C一致，可得GM = HN = 1米。
∵货箱水平长度AB=6.8米，即直线AD到直线BC的水平距离为6.8米，
∴点G到直线AD的距离为6.8 - GM = 6.8 - 1 = 5.8米。
由题意得∠GCM + ∠HCN = 90°，∠CHN + ∠HCN = 90°，
∴∠GCM = ∠CHN。
又∵∠GMC = ∠CNH = 90°，CG = CH，
∴△GCM ≌ △CHN（AAS）。
∴GM = CN，CM = HN。
由题可知点H到直线BC的距离HN=1米。
均匀正方体的重心在其几何中心，此时重心的竖直线恰好过支点C，即重心的水平投影与点C重合，因此G、H两点的水平坐标中点与点C一致，可得GM = HN = 1米。
∵货箱水平长度AB=6.8米，即直线AD到直线BC的水平距离为6.8米，
∴点G到直线AD的距离为6.8 - GM = 6.8 - 1 = 5.8米。
