11. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是A(1,1),B(3,1),C(2,2),当直线$y=\frac{1}{2}x+b$与△ABC有交点时,b的取值范围是 （）

A.$-1≤ b≤ 1$
B.$-\frac{1}{2}≤ b≤ 1$
C.$-\frac{1}{2}≤ b≤ \frac{1}{2}$
D.$-1≤ b≤ \frac{1}{2}$

11.B

【分析】
已知直线$y=\frac{1}{2}x+b$的斜率$k$固定为$\frac{1}{2}$，直线平移时$b$为$y$轴截距，随上下平移变化。当直线与$△ ABC$有交点时，临界情况是直线刚好经过$△ ABC$的三个顶点，因此只需将三个顶点坐标分别代入直线解析式，求出对应的$b$值，再取$b$的最小值和最大值，即可得到$b$的取值范围。
【解析】
分别将$△ ABC$三个顶点的坐标代入直线$y=\frac{1}{2}x+b$，计算对应的$b$值：
1. 把点$C(2,2)$代入解析式：
$2=\frac{1}{2}×2 + b$，解得$b=1$；
2. 把点$A(1,1)$代入解析式：
$1=\frac{1}{2}×1 + b$，解得$b=\frac{1}{2}$；
3. 把点$B(3,1)$代入解析式：
$1=\frac{1}{2}×3 + b$，解得$b=-\frac{1}{2}$。
比较三个$b$值，最大为$1$，最小为$-\frac{1}{2}$，因此当直线与$△ ABC$有交点时，$b$的取值范围是$-\frac{1}{2}≤ b≤1$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质，点在函数图象上的坐标特征，一次函数与几何交点问题
【点评】
本题属于一次函数与几何结合的基础题，解题的核心是抓住斜率固定的直线平移时，与三角形相交的临界状态为经过三角形顶点，代入计算极值即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7

12.已知过点$(1,3)$的直线$y=ax+b(a≠0)$不经过第四象限，设$S=a+2b$，则$S$的取值范围为________.

12.$3≤S＜6$

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先，直线过点$(1,3)$，将点代入直线解析式即可得到$a$和$b$的等量关系；其次，根据直线不经过第四象限的性质，可得到$a$、$b$的取值限制；最后将$S=a+2b$用单个变量表示，结合变量的取值范围就能求出$S$的取值范围。
【解析】
1. 把点$(1,3)$代入直线解析式$y=ax+b$，可得：
$a×1 + b = 3$，即$a+b=3$，变形得$b=3-a$。
2. 由直线$y=ax+b(a≠0)$不经过第四象限，可得：
斜率$a＞0$，截距$b≥0$。
3. 把$b=3-a$代入$b≥0$，得$3-a≥0$，解得$a≤3$，结合$a＞0$，得$a$的取值范围为$0＜a≤3$。
4. 将$b=3-a$代入$S=a+2b$，化简得：
$S=a+2(3-a)=6-a$。
5. 对$0＜a≤3$变形求$S$的范围：
不等式两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$-3≤ -a＜0$，两边同时加6，得$3≤ 6-a＜6$，即$3≤ S＜6$。
【答案】
$3≤S＜6$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系；不等式的性质
【点评】
本题属于一次函数与不等式结合的基础综合题，核心是利用一次函数图象的性质确定参数的取值范围，再通过代换将目标式转化为单变量代数式求范围，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

13.如图,在平面直角坐标系中,点 A 在直线 $y=\frac{1}{2}x$ 上,过点 A 作 y 轴的平行线交直线 $y=2x$ 于点 B,点 A,B 均在第一象限,以 AB 为边向右作正方形 ABCD,若 $AB=1$,则点 C 的坐标为________.

13.$(\frac{5}{3},\frac{4}{3})$

【分析】
解题可按三步思考：第一步，点A在直线$y=\frac{1}{2}x$上，可设A的横坐标为$a$，则A的纵坐标为$\frac{1}{2}a$，得到A的坐标表达式；第二步，AB平行于y轴，因此B点横坐标与A相同，结合B在直线$y=2x$上，可写出B的坐标表达式，再根据AB长度为1，列方程求出$a$的值，即可得到B的坐标；第三步，正方形ABCD以AB为边向右作，AB为竖直方向的边，边长为1，因此BC为水平向右的边，C点纵坐标和B相同，横坐标为B的横坐标加1，即可求出C的坐标。
【解析】
设点A的横坐标为$a$（$a＞0$，因A在第一象限），
∵点A在直线$y=\frac{1}{2}x$上，
∴A点坐标为$(a,\frac{1}{2}a)$。
∵AB平行于y轴，
∴点B的横坐标与A相等，为$a$，
又
∵点B在直线$y=2x$上，
∴B点坐标为$(a,2a)$。
∵$AB=1$，且B在A的上方，
∴$2a-\frac{1}{2}a=1$，
化简得$\frac{3}{2}a=1$，解得$a=\frac{2}{3}$。
代入得B点坐标为$(\frac{2}{3},2×\frac{2}{3})=(\frac{2}{3},\frac{4}{3})$。
∵四边形ABCD是正方形，向右作正方形，AB为竖直边，边长为1，
∴BC为水平向右的线段，长度为1，点C的纵坐标与B相同，横坐标为$\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$，
即点C的坐标为$(\frac{5}{3},\frac{4}{3})$。
【答案】
$(\frac{5}{3},\frac{4}{3})$
【知识点】
1.一次函数图象上点的特征
2.正方形的性质
3.平行于坐标轴的点的坐标特点
【点评】
本题是一次函数与几何图形结合的基础综合题，解题关键是利用一次函数解析式表示点坐标，结合平行于坐标轴的点的坐标特征和线段长度列方程求解，再结合正方形的性质推导目标点坐标，整体逻辑清晰，侧重对基础知识的综合应用考查。
【难度系数】
0.7

14. 已知点$A(1,5)$，$B(3,1)$，点$M$在$x$轴上，当$AM+BM$最小时，点$M$的坐标为$\underline{\hspace{5em}}$.

14.$(\frac{8}{3},0)$

【分析】
这是典型的同侧两点到直线上一点距离和最小的问题，解题核心是利用轴对称转化线段：首先将x轴同侧的其中一个点通过轴对称转化为x轴另一侧的对称点，根据两点之间线段最短，对称点与另一个点的连线和x轴的交点就是使AM+BM最小的M点。后续只需用待定系数法求直线解析式，再计算直线与x轴的交点坐标即可。
【解析】
解：根据轴对称最短路径原理，作点A关于x轴的对称点A'。
∵点A的坐标为$(1,5)$，关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，
∴A'的坐标为$(1,-5)$。
连接$A'B$，此时$AM=A'M$，故$AM+BM=A'M+BM=A'B$，值最小，$A'B$与x轴的交点即为所求M点。
设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b\ (k≠0)$，将$A'(1,-5)$、$B(3,1)$代入得：
$\begin{cases} k + b = -5 \\ 3k + b = 1 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$2k=6$，解得$k=3$；
将$k=3$代入$k+b=-5$，得$b=-8$，
∴直线$A'B$的解析式为$y=3x-8$。
∵点M在x轴上，纵坐标为0，令$y=0$，则$3x-8=0$，解得$x=\frac{8}{3}$，
∴点M的坐标为$(\frac{8}{3},0)$。
【答案】
$(\frac{8}{3},0)$
【知识点】
轴对称最短路径；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是最短路径问题与一次函数的综合题，通过轴对称将同侧线段和转化为异侧线段和，把复杂的最值问题简化为直线与坐标轴交点的计算问题，掌握转化思想和一次函数基本计算方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

15.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l_1:y=kx+b$和直线$l_2:y=bx+k$(其中$k,b$是不为0的常数,$k≠b$)相交于点$P$,分别交$y$轴于点$A,B$.
(1)求证:点$P$在直线$x=1$上;
(2)若$0＜k＜1,∠APB=45°,AB=4$,求$k·b$的值.

15.(1)证明:由$y=kx+b$和$y=bx+k$,消去$y$,得$kx+b=bx+k$,整理,得$(k-b)x=k-b$,
$\because k≠b$,$\therefore k-b≠0$,$\therefore x=1$,
$\therefore$点$P$在直线$x=1$上.
(2)解:如答图,过点 A 作$AC⊥AP$交 BP 于点 C,过点 C,P 分别作 y 轴的垂线,垂足分别为 D,E,$\therefore ∠AEP=∠CDA=90°$.

将$x=1$代入$y=kx+b$,得$y=k+b$,$\therefore OE=k+b$.
在$y=kx+b$中,令$x=0$,得$y=b$,$\therefore OA=b$,$\therefore AE=k$.
$\because ∠APB=45°$,$AC⊥AP$,$\therefore AP=AC$.
$\because ∠APE=90°-∠PAE=∠CAD$,
$\therefore △APE≌△CAD(AAS)$,
$\therefore CD=AE=k$,$AD=PE=1$,
$\therefore$点 C 的坐标为$(k,b-1)$.
$\because$点 C 在直线$y=bx+k$上,
$\therefore b-1=kb+k$,即$kb=b-1-k$①.
$\because AB=4$,$\therefore b=k+4$②,
将②代入①,得$kb=(k+4)-1-k=3$,$\therefore k·b$的值为 3.

【分析】
(1) 要证明点P在直线x=1上，只需证明两条直线交点的横坐标恒为1即可。解题时先联立两条直线的解析式，消去y得到关于x的方程，再结合已知条件k≠b求解x，即可完成证明。
(2) 针对∠APB=45°的条件，可通过构造等腰直角三角形转化关系：过点A作AC⊥AP交BP于点C，得到等腰直角△APC，即AP=AC；再过点C、P作y轴的垂线构造直角三角形，利用同角的余角相等证明△APE和△CAD全等，得到点C的坐标；将点C代入直线l2的解析式得到k、b的关系式，再结合AB=4的条件得到b和k的等量关系，代入即可求出k·b的值。
【解析】
(1) 证明：联立直线$l_1$和$l_2$的解析式$\begin{cases}y=kx+b\\y=bx+k\end{cases}$，消去$y$可得$kx+b=bx+k$，整理得$(k-b)x=k-b$。
$\because k≠ b$，$\therefore k-b≠0$，等式两边同时除以$k-b$得$x=1$，即交点$P$的横坐标恒为1，因此点$P$在直线$x=1$上。
(2) 解：如答图，过点$A$作$AC⊥ AP$交$BP$于点$C$，过点$C$、$P$分别作$y$轴的垂线，垂足分别为$D$、$E$，则$∠ AEP=∠ CDA=90°$。

将$x=1$代入$y=kx+b$，得$y=k+b$，即$P(1,k+b)$，因此$PE=1$，$OE=k+b$。
在$y=kx+b$中令$x=0$，得$y=b$，即$A(0,b)$，$OA=b$，因此$AE=OE-OA=k$。
$\because ∠ APB=45°$，$AC⊥ AP$，$\therefore △ APC$为等腰直角三角形，$AP=AC$。
$\because ∠ PAE+∠ APE=90°$，$∠ PAE+∠ CAD=90°$，$\therefore ∠ APE=∠ CAD$。
在$△ APE$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}∠ AEP=∠ CDA\\∠ APE=∠ CAD\\AP=AC\end{cases}$
$\therefore △ APE≌△ CAD(AAS)$，可得$CD=AE=k$，$AD=PE=1$。
由$0＜k＜1$可知$b＞k$，点$C$在点$A$下方，因此$C$点坐标为$(k,b-1)$。
$\because$点$C$在直线$l_2:y=bx+k$上，将$C(k,b-1)$代入解析式得$b-1=bk+k$，整理得$kb=b-1-k$①。
直线$l_2$交$y$轴于$B$点，在$y=bx+k$中令$x=0$得$y=k$，即$B(0,k)$，因此$AB=OA-OB=b-k=4$，即$b=k+4$②。
将②代入①得$kb=(k+4)-1-k=3$。
【答案】
(1) 证明见解析，点$P$在直线$x=1$上成立；
(2) $k·b$的值为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
一次函数交点求解，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题第一问较为基础，考察一次函数交点的基本求解方法，联立解析式即可解决；第二问为一次函数与几何的综合题，需要结合45°角的特点构造辅助线，通过全等三角形转化线段关系得到点坐标，再结合一次函数解析式建立等量关系求解，较好地考察了数形结合思想和辅助线构造能力，是一次函数综合类的典型题型。
【难度系数】
0.4

16.如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=-\frac{1}{2}x+m$的图象$l_1$分别与$x$轴,$y$轴交于点$A$,$B$,正比例函数的图象$l_2$与$l_1$交于点$C(2,4)$.
(1)求$m$的值及$l_2$的函数表达式;
(2)若$M$是直线$y=-\frac{1}{2}x+m$上的一个动点,连接$OM$,当$△ AOM$的面积是$△ BOC$的面积的$2$倍时,请求出符合条件的点$M$的坐标;
(3)一次函数$y=kx+2$的图象为$l_3$,且$l_1$,$l_2$,$l_3$不能围成三角形,求$k$的值.

16.解:(1)$\because$一次函数$y=-\frac{1}{2}x+m$的图象$l_1$与$l_2$交于点$C(2,4)$,
$\therefore 4=-\frac{1}{2}×2+m$,解得$m=5$.
设$l_2$的函数表达式为$y=nx$,将$C(2,4)$代入,得$4=2n$,解得$n=2$,故$l_2$的函数表达式为$y=2x$.
(2)由(1)得$m=5$,$\therefore y=-\frac{1}{2}x+5$,
$\therefore A(10,0)$,$B(0,5)$.
$\because C(2,4)$,$\therefore S_{△BOC}=\frac{1}{2}×5×2=5$.
设$M(a,-\frac{1}{2}a+5)$,
$\because S_{△AOM}=2S_{△BOC}=10$,
$\therefore S_{△AOM}=\frac{1}{2}×10×|-\frac{1}{2}a+5|=10$,
解得$a=6$或$a=14$,
$\therefore$点$M$的坐标为$(6,2)$或$(14,-2)$.
(3)当$l_1// l_3$或$l_2// l_3$时,$l_1$,$l_2$,$l_3$不能围成三角形,
$\therefore k=-\frac{1}{2}$或$k=2$.
当$l_3$过点$C(2,4)$时,$l_1$,$l_2$,$l_3$不能围成三角形,将点$C$的坐标代入$y=kx+2$,得$4=2k+2$,解得$k=1$.
综上,$k$的值为$-\frac{1}{2}$或$2$或$1$.

【分析】
(1) 已知点C在$l_1$上，将C点坐标代入$l_1$的解析式即可求出m的值；$l_2$是正比例函数，可设解析式为$y=nx$，再将C点坐标代入即可求出n，得到$l_2$的表达式。
(2) 先根据求出的m值得到$l_1$的完整解析式，分别求A、B两点的坐标。计算$△ BOC$的面积时，以OB为底，C点的横坐标为高即可算出。设动点M的坐标为$(a,-\frac{1}{2}a+5)$，$△ AOM$以OA为底，M点纵坐标的绝对值为高，根据面积关系列方程求解即可，注意绝对值需分两种情况计算。
(3) 三条直线不能围成三角形分两类情况：一是其中两条直线互相平行（一次项系数相等），即$l_3$平行于$l_1$或$l_3$平行于$l_2$；二是三条直线交于同一点，即$l_3$经过$l_1$和$l_2$的交点C，分三种情况计算k的值即可，避免漏解。
【解析】
(1)
∵ 点$C(2,4)$在一次函数$y=-\frac{1}{2}x+m$的图象上，
∴ 代入得$4=-\frac{1}{2}×2+m$，解得$m=5$。
设$l_2$的函数表达式为$y=nx(n≠0)$，
将$C(2,4)$代入得$4=2n$，解得$n=2$，故$l_2$的函数表达式为$y=2x$。
(2) 由(1)得$l_1$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+5$，
令$y=0$，解得$x=10$，即$A(10,0)$；令$x=0$，解得$y=5$，即$B(0,5)$。
$△ BOC$的面积：$S_{△BOC}=\frac{1}{2}×5×2=5$。
设$M(a,-\frac{1}{2}a+5)$，由题意得$S_{△AOM}=2×5=10$，
$△ AOM$的面积：$\frac{1}{2}×10×|-\frac{1}{2}a+5|=10$，
化简得$|-\frac{1}{2}a+5|=2$，
解得$a=6$或$a=14$，
对应M点坐标为$(6,2)$或$(14,-2)$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$l_3// l_1$时，一次项系数相等，即$k=-\frac{1}{2}$；
② 当$l_3// l_2$时，一次项系数相等，即$k=2$；
③ 当$l_3$过点$C(2,4)$时，三条直线交于同一点，代入得$4=2k+2$，解得$k=1$。
综上，k的值为$-\frac{1}{2}$或$2$或$1$。
【答案】
(1) $m=5$，$l_2$的函数表达式为$y=2x$；
(2) 点M的坐标为$(6,2)$或$(14,-2)$；
(3) $k$的值为$-\frac{1}{2}$、$2$或$1$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与面积，一次函数图象的位置关系
【点评】
本题是一次函数综合题型，考查了待定系数法、三角形面积计算、分类讨论思想，解题时要注意不要漏解，是一次函数的典型考法。
【难度系数】
0.6