1. 如图,在长方形纸片$ABCD$中,$E$为$BC$的中点,连接$AE$,将$△ ABE$沿$AE$所在的直线翻折得到$△ AFE$,连接$CF$.若$AB=4,BC=6$,则$CF$的长为（）

A.3
B.3.4
C.3.5
D.3.6

1. D 提示:连接 BF,交 AE 于点 G. 由翻折的性质,得 $BE=EF$,AE 垂直平分 BF,即 $AE⊥BF,BG=FG$. 因为 $AB=4,BC=6,E$ 为 $BC$ 的中点,所以$BE=CE=\frac{1}{2}BC=3$. 由勾股定理,得 $AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=5$. 因为 $S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·BE=\frac{1}{2}AE·BG$,即 $\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5BG$,解得 $BG=2.4$,所以$BF=2BG=4.8$. 因为 $CE=BE=FE$,所以$∠EBF=∠EFB,∠EFC=∠ECF$,所以 $∠BFC=∠EFB+∠EFC=\frac{1}{2}(∠FBE+∠BFC+∠FCB)=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△BFC$ 中,$CF=\sqrt{BC^2-BF^2}=3.6$.

2.（2025南京市玄武区期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形$MNPQ$拼成的一个大正方形$ABCD$. 连接$AQ,BP,CN,DM$.若大正方形$ABCD$的面积为$2a$，阴影部分的面积为$2b$，则$AN$的长为 （）

A.$a+b$
B.$a^{2}+b^{2}$
C.$\sqrt{a+b}$
D.$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

2. C 提示:设 $MN=x,DN=AM=y$, 则 $AN=AM+MN=y+x$. 因为 $S_{正方形ABCD}=AD^2=AN^2+DN^2=(y+x)^2+y^2$, 所以 $2a=(y+x)^2+y^2$ ①.
因为 $S_{阴影}=4S_{△MND}+S_{正方形MNPQ}$, 所以 $2b=4×\frac{1}{2}xy+x^2$ ②. 由 $\frac{1}{2}$(①+②),得 $a+b=(x+y)^2$.
所以 $AN=\sqrt{a+b}$.

3. 如图,在数轴上,点 A,B 表示的数分别为$0,2,BC ⊥ AB$于点 B,且$BC=1$,连接 AC,在 AC 上截取$CD=BC$,以点 A 为圆心,AD 的长为半径画弧,交线段 AB 于点 E,则点 E 表示的实数是(精确到0.01,参考数据:$\sqrt{5} \approx 2.236$).

3. 1.24

4. 如图,已知$△ ABC$与$△ ADC$均是直角三角形,$∠ B=∠ D=90°$,$BC=6$,$CD=5$.若$∠ BAC+2∠ CAD=180°$,则$AB$的长是.

4. $\frac{7}{4}$ 提示:延长 CD,BA 交于点 E. 因为 $∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°,∠BAC+2∠CAD=180°$,所以 $∠CAD=∠DAE$. 易证$△CDA≌△EDA$,所以$AC=AE,CD=ED=5$,所以 $CE=10$. 在 $\mathrm{Rt}△BCE$中,由勾股定理,得 $BE=8$. 设 $AB=x$, 则 $AC=AE=8-x$. 因为 $AB^2+BC^2=AC^2$,所以 $x^2+6^2=(8-x)^2$,解得 $x=\frac{7}{4}$. 所以 $AB$ 的长是 $\frac{7}{4}$.

5. 在$△ ABC$中,$AB=5,AC=4,BC=3$.若点$P$在$△ ABC$内部(含边界)且满足$PC ≤$$PA ≤ PB$,则所有点$P$组成区域的面积为.

5. $\frac{27}{32}$ 提示: 由 $AB=5,AC=4,BC=3$, 得 $AB^2=AC^2+BC^2$, 所以 $△ABC$ 为直角三角形, 且 $∠C=90°$. 如图,作 $AB$ 的垂直平分线 $EF$,分别交边 $AB$,$AC$ 于点 $E,F$,作 $AC$ 的垂直平分线 $DE$,分别交边$AC,AB$ 于点 $D,E$,连接 $BF$,所以 $AD=CD=2$,$AE=\frac{5}{2},∠ADE=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 中,由勾股定理,得 $DE=\frac{3}{2}$. 因为点 $P$ 在 $△ABC$ 内部(含边界)且满足 $PC≤PA≤PB$, 当 $PC=PA$ 时,点 $P$ 在线段 $DE$ 上;当 $PC＜PA$ 时,点 $P$ 在线段 $DE$ 下方区域. 同理当 $PA=PB$ 时,点 $P$ 在线段 $EF$ 上;当$PA＜PB$ 时,点 $P$ 在线段 $EF$ 上方区域. 综上所述,点 $P$ 在 $△DEF$ 内部(含边界). 设 $CF=x$, 则 $BF=AF=4-x$. 在 $\mathrm{Rt}△BCF$ 中,$BF^2=CF^2+BC^2$,即$(4-x)^2=x^2+3^2$,解得 $x=\frac{7}{8}$. 所以 $CF=\frac{7}{8}$,所以$DF=CD-CF=\frac{9}{8}$. 所以 $△DEF$ 的面积为 $\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{9}{8}=\frac{27}{32}$. 所以所有点 $P$ 组成区域的面积为 $\frac{27}{32}$.

6.（2026聊城市期末）【问题提出】
勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着极其广泛的应用，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁. 因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$BC=6$，$AB=10$.
【新知初探】
（1）如图1，点$P$从点$A$出发，以每秒1个单位长度的速度沿$AC$方向向点$C$运动，连接$BP$. 当点$P$运动 s时，$PA=PB$.
【类比分析】
（2）如图2，点$P$从点$A$出发，以每秒2个单位长度的速度沿$AC$方向向点$C$运动，连接$BP$. 当点$P$运动 s时，点$P$在$∠ ABC$的平分线上.
【学以致用】
（3）如图3，点$P$从点$B$出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线$BC$方向运动，设运动的时间为$t$ s.
①当$△ ABP$为以$BP$为腰的等腰三角形时，求$t$的值；
②当$△ ABP$为直角三角形时，直接写出$t$的值.

6. 解:(1) $\frac{25}{4}$ 提示:在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$∠ACB=90°$,$BC=6,AB=10$, 由勾股定理,得 $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=8$. 因为点 $P$ 从点 $A$ 出发,以每秒 1个单位长度的速度沿 $AC$ 方向向点 $C$ 运动,设运动时间为 $x$ s,则 $PA=PB=x$, 所以 $PC=8-x$. 在$\mathrm{Rt}△BPC$ 中,由勾股定理,得 $BP^2=CP^2+BC^2$,所以 $x^2=(8-x)^2+6^2$,解得 $x=\frac{25}{4}$. 所以 $PA=\frac{25}{4}$. 所以点 $P$ 运动 $\frac{25}{4}$ s 时,$PA=PB$.
(2) $\frac{5}{2}$ 提示:如图 1,过点 $P$ 作 $PE⊥AB$ 于点 $E$.
因为点 $P$ 恰好在 $∠ABC$ 的平分线上,$∠ACB=90°$,所以 $PC=PE$. 在 $\mathrm{Rt}△BCP$ 和 $\mathrm{Rt}△BEP$ 中,$\begin{cases}PC=PE,\\PB=PB,\end{cases}$ 所以 $\mathrm{Rt}△BCP≌\mathrm{Rt}△BEP$(HL),所以$BE=BC=6,AE=AB-BE=4$. 设点 $P$ 的运动时间为 $x$ s. 由题意,得 $PA=2x,PE=PC=8-2x$. 在$\mathrm{Rt}△AEP$ 中,由勾股定理,得 $(2x)^2=(8-2x)^2+4^2$,解得 $x=\frac{5}{2}$. 所以当点 $P$ 运动 $\frac{5}{2}$ s 时,点 $P$ 在$∠ABC$ 的平分线上.
(3) ①当 $AB=BP$ 时,$2t=10$,解得 $t=5$;
当 $BP=AP$ 时,$CP=2t-6$, 所以 $(2t-6)^2+8^2=(2t)^2$,解得 $t=\frac{25}{6}$. 综上所述,当$△ABP$ 为以 $BP$ 为腰的等腰三角形时,$t$的值为 5 或 $\frac{25}{6}$.
②$t=\frac{25}{3}$ 或 3. 提示:当 $∠PAB=90°$ 时,如图 2,$BP=2t,CP=2t-6$. 在 $\mathrm{Rt}△APC$ 中,由勾股定理,得 $AP^2=CP^2+AC^2$. 在 $\mathrm{Rt}△APB$ 中,由勾股定理,得 $BP^2=AP^2+AB^2$. 所以 $BP^2=CP^2+AC^2+AB^2$,所以 $(2t)^2=(2t-6)^2+8^2+10^2$,解得 $t=\frac{25}{3}$.
当 $∠APB=90°$ 时,点 $P$ 与点 $C$ 重合,所以 $2t=6$,解得 $t=3$. 综上所述,当 $△ABP$ 为直角三角形时,$t$ 的值为 $\frac{25}{3}$ 或 3.