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4. 求图中各角的度数。
答案
4.∠1=55° ∠2=35° ∠3=145°
解析
【分析】
首先观察图形中角的关系：
1. ∠2与右侧35°角是对顶角，根据对顶角相等可直接确定∠2的度数；
2. ∠1和∠2组成直角（90°），用直角的度数减去∠2的度数即可得到∠1的度数；
3. ∠3与右侧35°角组成平角（180°），用平角的度数减去35°就能算出∠3的度数。
【解析】
1. 计算∠2的度数：
因为∠2和35°角是对顶角，根据对顶角相等，可得$\boldsymbol{∠2=35°}$。
2. 计算∠1的度数：
已知∠1+∠2=90°（直角），将∠2=35°代入，得$\boldsymbol{∠1=90°-35°=55°}$。
3. 计算∠3的度数：
因为∠3+35°=180°（平角），所以$\boldsymbol{∠3=180°-35°=145°}$。
【答案】
∠1=55°，∠2=35°，∠3=145°
【知识点】
对顶角相等；直角、平角的性质
【点评】
本题主要考查对顶角、直角和平角的性质的实际应用，解题关键是准确识别图中角的和差关系，利用相关性质进行角度计算。
【难度系数】
0.8
首先观察图形中角的关系：
1. ∠2与右侧35°角是对顶角，根据对顶角相等可直接确定∠2的度数；
2. ∠1和∠2组成直角（90°），用直角的度数减去∠2的度数即可得到∠1的度数；
3. ∠3与右侧35°角组成平角（180°），用平角的度数减去35°就能算出∠3的度数。
【解析】
1. 计算∠2的度数：
因为∠2和35°角是对顶角，根据对顶角相等，可得$\boldsymbol{∠2=35°}$。
2. 计算∠1的度数：
已知∠1+∠2=90°（直角），将∠2=35°代入，得$\boldsymbol{∠1=90°-35°=55°}$。
3. 计算∠3的度数：
因为∠3+35°=180°（平角），所以$\boldsymbol{∠3=180°-35°=145°}$。
【答案】
∠1=55°，∠2=35°，∠3=145°
【知识点】
对顶角相等；直角、平角的性质
【点评】
本题主要考查对顶角、直角和平角的性质的实际应用，解题关键是准确识别图中角的和差关系，利用相关性质进行角度计算。
【难度系数】
0.8
5. 画一画。
过点$P$作直线$a$的平行线，作直线$b$的垂线。
过点$P$作直线$a$的平行线，作直线$b$的垂线。
答案
1. 画直线$a$的平行线：
① 把三角板的一条直角边与直线$a$重合；
② 用直尺紧贴三角板的另一条直角边；
③ 平移三角板，使与直线$a$重合的直角边经过点$P$；
④ 沿该直角边过点$P$画直线，此直线即为直线$a$的平行线。
2. 画直线$b$的垂线：
① 把三角板的一条直角边与直线$b$重合；
② 移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点$P$；
③ 沿该直角边过点$P$画直线，与直线$b$相交，在交点处标注垂直符号，此直线即为直线$b$的垂线。
答：已按要求画出过点$P$的直线$a$的平行线和直线$b$的垂线。
① 把三角板的一条直角边与直线$a$重合；
② 用直尺紧贴三角板的另一条直角边；
③ 平移三角板，使与直线$a$重合的直角边经过点$P$；
④ 沿该直角边过点$P$画直线，此直线即为直线$a$的平行线。
2. 画直线$b$的垂线：
① 把三角板的一条直角边与直线$b$重合；
② 移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点$P$；
③ 沿该直角边过点$P$画直线，与直线$b$相交，在交点处标注垂直符号，此直线即为直线$b$的垂线。
答：已按要求画出过点$P$的直线$a$的平行线和直线$b$的垂线。
解析
【分析】
要解决这个问题，需分别明确平行线和垂线的规范画法思路：
1. 画平行线时，借助三角板和直尺的配合，利用“平移法”保证角度不变，从而画出过点$P$且与直线$a$平行的直线；
2. 画垂线时，利用三角板的直角特性，让三角板的一条直角边与直线$b$重合，另一条直角边经过点$P$，以此保证画出的直线与直线$b$垂直，最后要标注垂直符号。思考时要明确每一步工具的作用，比如直尺是固定平移方向，三角板直角边是保证平行或垂直的角度。
【解析】
1. 画直线$a$的平行线：
① 把三角板的一条直角边与直线$a$重合；
② 用直尺紧贴三角板的另一条直角边；
③ 平移三角板，使与直线$a$重合的直角边经过点$P$；
④ 沿该直角边过点$P$画直线，此直线即为直线$a$的平行线。
2. 画直线$b$的垂线：
① 把三角板的一条直角边与直线$b$重合；
② 移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点$P$；
③ 沿该直角边过点$P$画直线，与直线$b$相交，在交点处标注垂直符号，此直线即为直线$b$的垂线。
【答案】
已按要求画出过点$P$的直线$a$的平行线和直线$b$的垂线。
【知识点】
平行线的画法、垂线的画法
【点评】
本题考查平行线和垂线的实操画法，关键是熟练掌握三角板与直尺的配合技巧，画平行线时要保证平移过程中三角板不偏移，画垂线后标注垂直符号是易遗漏的细节，需注意。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需分别明确平行线和垂线的规范画法思路：
1. 画平行线时，借助三角板和直尺的配合，利用“平移法”保证角度不变，从而画出过点$P$且与直线$a$平行的直线；
2. 画垂线时，利用三角板的直角特性，让三角板的一条直角边与直线$b$重合，另一条直角边经过点$P$，以此保证画出的直线与直线$b$垂直，最后要标注垂直符号。思考时要明确每一步工具的作用，比如直尺是固定平移方向，三角板直角边是保证平行或垂直的角度。
【解析】
1. 画直线$a$的平行线：
① 把三角板的一条直角边与直线$a$重合；
② 用直尺紧贴三角板的另一条直角边；
③ 平移三角板，使与直线$a$重合的直角边经过点$P$；
④ 沿该直角边过点$P$画直线，此直线即为直线$a$的平行线。
2. 画直线$b$的垂线：
① 把三角板的一条直角边与直线$b$重合；
② 移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点$P$；
③ 沿该直角边过点$P$画直线，与直线$b$相交，在交点处标注垂直符号，此直线即为直线$b$的垂线。
【答案】
已按要求画出过点$P$的直线$a$的平行线和直线$b$的垂线。
【知识点】
平行线的画法、垂线的画法
【点评】
本题考查平行线和垂线的实操画法，关键是熟练掌握三角板与直尺的配合技巧，画平行线时要保证平移过程中三角板不偏移，画垂线后标注垂直符号是易遗漏的细节，需注意。
【难度系数】
0.8
6. 已知$∠ E=15°$，$∠ ABE=110°$，$∠ ADC=65°$，求$∠ A$的度数。
答案
6.∠A=20°
解析
【分析】
首先观察图形，AD与BE相交形成对顶角，可借助三角形内角和定理及对顶角相等的性质建立角度关系。解题思路如下：
1. 设AD与BE的交点为O，先在△EDO中，利用∠ADC与∠EDO的互补关系求出∠EDO，再根据三角形内角和定理算出∠EOD的度数；
2. 依据对顶角相等的性质，得到∠AOB=∠EOD；
3. 最后在△ABO中，运用三角形内角和定理，代入已知角度计算出∠A的度数。
【解析】
设AD与BE相交于点O。
1. 由∠ADC与∠EDO互补，可得∠EDO=180°-∠ADC=180°-65°=115°；
在△EDO中，根据三角形内角和为180°，则：
∠EOD=180°-∠E-∠EDO=180°-15°-115°=50°。
2. 因为∠AOB与∠EOD是对顶角，根据对顶角相等，所以∠AOB=∠EOD=50°。
3. 在△ABO中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A=180°-∠ABE-∠AOB=180°-110°-50°=20°。
【答案】
∠A=20°
【知识点】
三角形内角和定理、对顶角相等
【点评】
本题主要考查三角形内角和定理与对顶角性质的综合应用，解题关键是通过互补角、对顶角搭建已知角与未知角的联系，利用角度等式求解未知角，需要学生具备基本的角度关系转化能力。
【难度系数】
0.6
首先观察图形，AD与BE相交形成对顶角，可借助三角形内角和定理及对顶角相等的性质建立角度关系。解题思路如下：
1. 设AD与BE的交点为O，先在△EDO中，利用∠ADC与∠EDO的互补关系求出∠EDO，再根据三角形内角和定理算出∠EOD的度数；
2. 依据对顶角相等的性质，得到∠AOB=∠EOD；
3. 最后在△ABO中，运用三角形内角和定理，代入已知角度计算出∠A的度数。
【解析】
设AD与BE相交于点O。
1. 由∠ADC与∠EDO互补，可得∠EDO=180°-∠ADC=180°-65°=115°；
在△EDO中，根据三角形内角和为180°，则：
∠EOD=180°-∠E-∠EDO=180°-15°-115°=50°。
2. 因为∠AOB与∠EOD是对顶角，根据对顶角相等，所以∠AOB=∠EOD=50°。
3. 在△ABO中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A=180°-∠ABE-∠AOB=180°-110°-50°=20°。
【答案】
∠A=20°
【知识点】
三角形内角和定理、对顶角相等
【点评】
本题主要考查三角形内角和定理与对顶角性质的综合应用，解题关键是通过互补角、对顶角搭建已知角与未知角的联系，利用角度等式求解未知角，需要学生具备基本的角度关系转化能力。
【难度系数】
0.6
7. 直线、射线和线段有什么区别？同一平面内的两条直线有几种位置关系？
答案
7.直线没有端点，不可度量；射线有一个端点，不可度量；线段有两个端点，可以度量。同一平面内的两条直线有两种位置关系：平行，相交（垂直是相交的特殊情形）。
解析
【分析】
要解决这个问题，可分两部分梳理思路：
第一部分区分直线、射线和线段：从端点数量和能否度量长度这两个核心维度分析。直线向两端无限延伸，无端点，不可度量；射线向一端无限延伸，仅有一个端点，不可度量；线段有固定长度，具备两个端点，可以度量。
第二部分分析同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线要么永不相交（即平行），要么会相交，其中垂直是相交时夹角为90°的特殊情况，属于相交的范畴，因此只有两种位置关系。
【解析】
1. 直线、射线和线段的区别：
直线：无端点，向两端无限延伸，无法度量长度；
射线：有1个端点，向一端无限延伸，无法度量长度；
线段：有2个端点，长度固定，可度量长度。
2. 同一平面内两条直线的位置关系：
同一平面内，两条直线的位置关系为平行（永不相交）和相交，垂直是相交的特殊情形（相交且夹角为90°）。
【答案】
直线没有端点，不可度量；射线有一个端点，不可度量；线段有两个端点，可以度量。同一平面内的两条直线有两种位置关系：平行，相交（垂直是相交的特殊情形）。
【知识点】
1. 直线射线线段的特征
2. 同一平面内直线的位置关系
【点评】
本题是几何基础概念题，直线、射线、线段的区别以及同一平面内直线的位置关系是后续几何学习的重要铺垫，需准确理解记忆，特别要注意垂直属于相交的特殊情况，不能独立作为一种位置关系。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，可分两部分梳理思路：
第一部分区分直线、射线和线段：从端点数量和能否度量长度这两个核心维度分析。直线向两端无限延伸，无端点，不可度量；射线向一端无限延伸，仅有一个端点，不可度量；线段有固定长度，具备两个端点，可以度量。
第二部分分析同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线要么永不相交（即平行），要么会相交，其中垂直是相交时夹角为90°的特殊情况，属于相交的范畴，因此只有两种位置关系。
【解析】
1. 直线、射线和线段的区别：
直线：无端点，向两端无限延伸，无法度量长度；
射线：有1个端点，向一端无限延伸，无法度量长度；
线段：有2个端点，长度固定，可度量长度。
2. 同一平面内两条直线的位置关系：
同一平面内，两条直线的位置关系为平行（永不相交）和相交，垂直是相交的特殊情形（相交且夹角为90°）。
【答案】
直线没有端点，不可度量；射线有一个端点，不可度量；线段有两个端点，可以度量。同一平面内的两条直线有两种位置关系：平行，相交（垂直是相交的特殊情形）。
【知识点】
1. 直线射线线段的特征
2. 同一平面内直线的位置关系
【点评】
本题是几何基础概念题，直线、射线、线段的区别以及同一平面内直线的位置关系是后续几何学习的重要铺垫，需准确理解记忆，特别要注意垂直属于相交的特殊情况，不能独立作为一种位置关系。
【难度系数】
0.9
