23.如图,点M,N分别代表两个村庄,直线l代表两个村庄之间的一条燃气管道,根据村民们对燃气的需求,计划在管道l上某处修建一座燃气管理站,向两个村庄接入管道.

(1)若计划修建一个离村庄M最近的燃气管理站,请画出燃气管理站的位置(用点P表示),这样做的依据是;
(2)若考虑到管道铺设费用问题,希望燃气管理站的位置到村庄M、村庄N的距离之和最小,画出燃气管理站的位置(用点Q表示),这样做的依据是.

解：
(1) 过点M作直线l的垂线，垂足即为所求的点P。
依据：垂线段最短。
(2) 连接M、N两点，线段MN与直线l的交点即为所求的点Q。
依据：两点之间，线段最短。

24.已知O是直线AB上一点，OC⊥OD，垂足为O，OE平分∠BOC。
(1)如图①，若∠AOC=25°，求∠DOE的度数；
(2)将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，猜想∠AOC与∠DOE之间的数量关系，并说明理由。

解：(1)
∵ O是直线AB上一点，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，
∵ ∠AOC = 25°，
∴ ∠BOC = 180° - 25° = 155°，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = 77.5°，
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD = 90°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 90° - 77.5° = 12.5°。
(2) 猜想：$\boldsymbol{∠AOC = 2∠DOE}$，理由如下：
∵ O是直线AB上一点，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，即∠BOC = 180° - ∠AOC，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}(180° - ∠AOC) = 90° - \frac{1}{2}∠AOC$，
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD = 90°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 90° - $(90° - \frac{1}{2}∠AOC) = \frac{1}{2}∠AOC$，
即∠AOC = 2∠DOE。