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1 [2026 海门段测]如图所示为一张长与宽之比为$2:1$的矩形纸板,在其四个角各剪去一个边长为20 cm 的小正方形(涂色部分),并用剩下的纸板做一个无盖的长方体包装盒. 若要使包装盒的容积为${12000}\ \ce{cm^3}$(纸板的厚度忽略不计),设矩形纸板的长为$x\ \ce{cm}$,则可列方程为（
A.$20(x-20)(\dfrac{x}{2}-20)={12000}$
B.$20(2x-20)(x-20)={12000}$
C.$20(2x-40)(x-40)={12000}$
D.$20(x-40)(\dfrac{x}{2}-40)={12000}$
D
）A.$20(x-20)(\dfrac{x}{2}-20)={12000}$
B.$20(2x-20)(x-20)={12000}$
C.$20(2x-40)(x-40)={12000}$
D.$20(x-40)(\dfrac{x}{2}-40)={12000}$
答案
1. D
解析
【分析】
首先根据矩形纸板长与宽的比例关系，由长为$x\ \ce{cm}$得出宽为$\frac{x}{2}\ \ce{cm}$；再分析剪去小正方形后，无盖长方体包装盒的长、宽、高：高为小正方形边长20cm，长是原长减去2个小正方形边长，宽是原宽减去2个小正方形边长；最后根据长方体容积公式，结合题目给定的容积值即可列出方程。
【解析】
已知矩形纸板的长为$x\ \ce{cm}$，因长与宽之比为$2:1$，故矩形纸板的宽为$\frac{x}{2}\ \ce{cm}$。
四个角各剪去边长20cm的小正方形后，制作的无盖长方体包装盒：
高：小正方形的边长，即$20\ \ce{cm}$；
长：原长减去2个小正方形边长，即$x - 2×20 = (x - 40)\ \ce{cm}$；
宽：原宽减去2个小正方形边长，即$\frac{x}{2} - 2×20 = (\frac{x}{2} - 40)\ \ce{cm}$。
根据长方体容积公式：容积$=$长$×$宽$×$高，结合容积为$12000\ \ce{cm^3}$，可列方程：$20(x - 40)(\frac{x}{2} - 40) = 12000$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用、长方体容积计算
【点评】
本题考查一元一次方程在几何问题中的应用，核心是确定制作后长方体的长、宽、高，需注意原长和宽需减去2个小正方形边长，避免因漏乘导致错误，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.5
首先根据矩形纸板长与宽的比例关系，由长为$x\ \ce{cm}$得出宽为$\frac{x}{2}\ \ce{cm}$；再分析剪去小正方形后，无盖长方体包装盒的长、宽、高：高为小正方形边长20cm，长是原长减去2个小正方形边长，宽是原宽减去2个小正方形边长；最后根据长方体容积公式，结合题目给定的容积值即可列出方程。
【解析】
已知矩形纸板的长为$x\ \ce{cm}$，因长与宽之比为$2:1$，故矩形纸板的宽为$\frac{x}{2}\ \ce{cm}$。
四个角各剪去边长20cm的小正方形后，制作的无盖长方体包装盒：
高：小正方形的边长，即$20\ \ce{cm}$；
长：原长减去2个小正方形边长，即$x - 2×20 = (x - 40)\ \ce{cm}$；
宽：原宽减去2个小正方形边长，即$\frac{x}{2} - 2×20 = (\frac{x}{2} - 40)\ \ce{cm}$。
根据长方体容积公式：容积$=$长$×$宽$×$高，结合容积为$12000\ \ce{cm^3}$，可列方程：$20(x - 40)(\frac{x}{2} - 40) = 12000$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用、长方体容积计算
【点评】
本题考查一元一次方程在几何问题中的应用，核心是确定制作后长方体的长、宽、高，需注意原长和宽需减去2个小正方形边长，避免因漏乘导致错误，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.5
2 如图,矩形$ABCD$是某会展中心一楼展区的平面示意图,其中边$AB$的长为40 m,边$BC$的长为25 m,该展区内有三个全等的矩形展位,每个展位的面积都为$200\ \mathrm{m}^2$,阴影部分为宽度相等的人行通道,求人行通道的宽度.设人行通道的宽度为$x\ \mathrm{m}$,下列方程正确的是（
A.$(40-3x)(25-2x)=200$
B.$(40-4x)(25-2x)=200×3$
C.$40×25-80x-100x+8x^2=200$
D.$40×25-80x-100x=200×3$
B
）A.$(40-3x)(25-2x)=200$
B.$(40-4x)(25-2x)=200×3$
C.$40×25-80x-100x+8x^2=200$
D.$40×25-80x-100x=200×3$
答案
2. B
解析
【分析】
要确定正确方程，需先明确三个展位组成的大矩形的长和宽：人行通道宽度为$x\ \mathrm{m}$，观察图形，水平方向（AB方向）包含左右各1个宽度为$x$的通道，以及三个展位间2个宽度为$x$的分隔通道，共4个$x$；垂直方向（BC方向）包含上下各1个宽度为$x$的通道，共2个$x$。再结合三个展位的总面积，即可列出对应方程。
【解析】
设人行通道的宽度为$x\ \mathrm{m}$：
1. 求三个展位组成的矩形的长：总长度$AB=40\ \mathrm{m}$，减去水平方向4个通道的宽度，得长为$(40 - 4x)\ \mathrm{m}$；
2. 求三个展位组成的矩形的宽：总宽度$BC=25\ \mathrm{m}$，减去垂直方向2个通道的宽度，得宽为$(25 - 2x)\ \mathrm{m}$；
3. 三个展位的总面积为$200×3\ \mathrm{m}^2$，而展位组成的矩形面积=长×宽，因此列方程：$(40 - 4x)(25 - 2x)=200×3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题考查利用一元二次方程解决几何面积问题，核心是找准展位组成矩形的长和宽，明确通道数量与宽度的关系，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.5
要确定正确方程，需先明确三个展位组成的大矩形的长和宽：人行通道宽度为$x\ \mathrm{m}$，观察图形，水平方向（AB方向）包含左右各1个宽度为$x$的通道，以及三个展位间2个宽度为$x$的分隔通道，共4个$x$；垂直方向（BC方向）包含上下各1个宽度为$x$的通道，共2个$x$。再结合三个展位的总面积，即可列出对应方程。
【解析】
设人行通道的宽度为$x\ \mathrm{m}$：
1. 求三个展位组成的矩形的长：总长度$AB=40\ \mathrm{m}$，减去水平方向4个通道的宽度，得长为$(40 - 4x)\ \mathrm{m}$；
2. 求三个展位组成的矩形的宽：总宽度$BC=25\ \mathrm{m}$，减去垂直方向2个通道的宽度，得宽为$(25 - 2x)\ \mathrm{m}$；
3. 三个展位的总面积为$200×3\ \mathrm{m}^2$，而展位组成的矩形面积=长×宽，因此列方程：$(40 - 4x)(25 - 2x)=200×3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题考查利用一元二次方程解决几何面积问题，核心是找准展位组成矩形的长和宽，明确通道数量与宽度的关系，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.5
3 如图,在宽为 20 m、长为 38 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分铺成草坪,要使草坪的面积为 $540\ \mathrm{m}^2$,求道路的宽. 设道路的宽为 $x\ \mathrm{m}$. 根据题意,所列方程正确的是（
A.$(20-x)(38-x)=540$
B.$(20-x)(38-x)=38×20-540$
C.$(20-2x)(38-2x)=540$
D.$(20-2x)(38-2x)=38×20-540$
A
）A.$(20-x)(38-x)=540$
B.$(20-x)(38-x)=38×20-540$
C.$(20-2x)(38-2x)=540$
D.$(20-2x)(38-2x)=38×20-540$
答案
3. A
解析
【分析】
本题需利用平移法将不规则的草坪面积转化为规则矩形的面积。观察图形，阴影道路宽度均为x，将水平道路向上平移、竖直道路向右平移后，草坪可拼接成新矩形，只需确定新矩形的长和宽，结合草坪面积即可列出方程。
【解析】
解：处理此类道路面积问题采用平移法：
1. 平移道路：把水平方向的阴影道路向上平移，竖直方向的阴影道路向右平移；
2. 确定新矩形边长：原矩形长38m、宽20m，道路宽为x m，平移后草坪组成的新矩形长为(38 - x) m，宽为(20 - x) m；
3. 列方程：根据矩形面积公式，草坪面积等于新矩形面积，已知草坪面积为540 m²，因此方程为(20 - x)(38 - x) = 540，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、平移法求面积
【点评】
本题考查一元二次方程在几何面积问题中的应用，核心是用平移法转化不规则图形，将复杂道路问题简化为规则矩形面积计算，属于基础应用题，需掌握此类题型的解题技巧。
【难度系数】
0.6
本题需利用平移法将不规则的草坪面积转化为规则矩形的面积。观察图形，阴影道路宽度均为x，将水平道路向上平移、竖直道路向右平移后，草坪可拼接成新矩形，只需确定新矩形的长和宽，结合草坪面积即可列出方程。
【解析】
解：处理此类道路面积问题采用平移法：
1. 平移道路：把水平方向的阴影道路向上平移，竖直方向的阴影道路向右平移；
2. 确定新矩形边长：原矩形长38m、宽20m，道路宽为x m，平移后草坪组成的新矩形长为(38 - x) m，宽为(20 - x) m；
3. 列方程：根据矩形面积公式，草坪面积等于新矩形面积，已知草坪面积为540 m²，因此方程为(20 - x)(38 - x) = 540，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、平移法求面积
【点评】
本题考查一元二次方程在几何面积问题中的应用，核心是用平移法转化不规则图形，将复杂道路问题简化为规则矩形面积计算，属于基础应用题，需掌握此类题型的解题技巧。
【难度系数】
0.6
4 教材变式题 [2024 青岛]如图,某小区要在长为16 m、宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛(阴影部分),使花坛四周小路的宽度相等,且花坛所占面积为空地面积的一半,则小路的宽为
2
m.答案
4. 2
解析
【分析】
要解决这个问题，首先设小路的宽度为$ x $米，由于四周小路宽度相等，花坛的长和宽需要分别减去左右、上下两侧的小路宽度，即花坛的长为$(16 - 2x)$米，宽为$(12 - 2x)$米。根据“花坛面积是空地面积的一半”这一条件，先计算空地总面积，再表示出花坛面积，据此列出一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不符合的解即可。
【解析】
设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $（$ x＞0 $），则花坛的长为$(16 - 2x) \, \mathrm{m}$，宽为$(12 - 2x) \, \mathrm{m}$。
空地的面积为：$16 × 12 = 192 \, \mathrm{m}^2$，
因为花坛面积是空地面积的一半，所以花坛面积为：$\frac{1}{2} × 192 = 96 \, \mathrm{m}^2$。
根据长方形面积公式，列方程：
$(16 - 2x)(12 - 2x) = 96$
展开并整理方程：
$192 - 56x + 4x^2 = 96 \\4x^2 - 56x + 96 = 0 \\两边除以4得：x^2 -14x +24 =0$
因式分解得：$(x - 2)(x -12)=0$，
解得：$x_1=2$，$x_2=12$。
当$x=12$时，$12 - 2x=12 -24=-12$，不符合实际意义，舍去。
因此小路的宽为$2 \, \mathrm{m}$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程的实际几何应用题，核心是根据小路宽度表示花坛的长和宽，利用面积关系建立方程，需注意解的实际合理性，舍去不符合题意的解，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先设小路的宽度为$ x $米，由于四周小路宽度相等，花坛的长和宽需要分别减去左右、上下两侧的小路宽度，即花坛的长为$(16 - 2x)$米，宽为$(12 - 2x)$米。根据“花坛面积是空地面积的一半”这一条件，先计算空地总面积，再表示出花坛面积，据此列出一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不符合的解即可。
【解析】
设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $（$ x＞0 $），则花坛的长为$(16 - 2x) \, \mathrm{m}$，宽为$(12 - 2x) \, \mathrm{m}$。
空地的面积为：$16 × 12 = 192 \, \mathrm{m}^2$，
因为花坛面积是空地面积的一半，所以花坛面积为：$\frac{1}{2} × 192 = 96 \, \mathrm{m}^2$。
根据长方形面积公式，列方程：
$(16 - 2x)(12 - 2x) = 96$
展开并整理方程：
$192 - 56x + 4x^2 = 96 \\4x^2 - 56x + 96 = 0 \\两边除以4得：x^2 -14x +24 =0$
因式分解得：$(x - 2)(x -12)=0$，
解得：$x_1=2$，$x_2=12$。
当$x=12$时，$12 - 2x=12 -24=-12$，不符合实际意义，舍去。
因此小路的宽为$2 \, \mathrm{m}$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程的实际几何应用题，核心是根据小路宽度表示花坛的长和宽，利用面积关系建立方程，需注意解的实际合理性，舍去不符合题意的解，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5
5 如图,李叔叔想用长为 70 m 的栅栏,借助房屋外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈 ABCD,并在边 BC 上留一个 2 m 宽的门(建在 EF 处,另用其他材料).
(1) 当羊圈的边 AD,AB 的长分别为多少米时,能围成一个面积为 $640\ \mathrm{m}^2$ 的羊圈?
(2) 羊圈的面积能达到 $650\ \mathrm{m}^2$ 吗? 如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
(1) 当羊圈的边 AD,AB 的长分别为多少米时,能围成一个面积为 $640\ \mathrm{m}^2$ 的羊圈?
(2) 羊圈的面积能达到 $650\ \mathrm{m}^2$ 吗? 如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
答案
5. (1) 设矩形 $ABCD$ 的边$AB=x\ \mathrm{m}$,则边 $AD=70-2x+2=(72-2x)\ \mathrm{m}$. 根据题意,得 $x(72-2x)=640$. 整理,得 $x^2-36x+320=0$,解得 $x_1=16,x_2=20$. 当 $x=16$ 时,$72-2x=40$. 当 $x=20$ 时,$72-2x=32$. $\therefore$ 当羊圈的边 $AD$ 的长为 40 m、边 $AB$ 的长为 16 m 或边 $AD$ 的长为 32 m、边 $AB$ 的长为 20 m 时,能围成一个面积为 $640\ \mathrm{m}^2$ 的羊圈
(2) 不能 理由:由题意,得 $x(72-2x)=650$. 整理,得 $x^2-36x+325=0$. $\because \Delta=(-36)^2-4×1×325=-4＜0$,$\therefore$ 此一元二次方程无实数根. $\therefore$ 羊圈的面积不能达到 $650\ \mathrm{m}^2$.
(2) 不能 理由:由题意,得 $x(72-2x)=650$. 整理,得 $x^2-36x+325=0$. $\because \Delta=(-36)^2-4×1×325=-4＜0$,$\therefore$ 此一元二次方程无实数根. $\therefore$ 羊圈的面积不能达到 $650\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先结合栅栏总长度和门的位置，正确推导矩形羊圈的边长表达式。设AB的长为$x$米，由于BC边上有2米宽的门，栅栏实际围合的长度对应2个AB的长度加上（AD - 2）米，据此得出AD的表达式；再利用矩形面积公式列一元二次方程求解，第二问通过计算对应方程的判别式，判断方程是否有实根，确定面积能否达到目标值。
【解析】
(1) 设矩形羊圈的边$AB = x\ \mathrm{m}$，根据栅栏总长度70m和BC处2m宽的门，可得：$2x + (AD - 2) = 70$，整理得$AD = (72 - 2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，面积为$AB × AD$，已知面积为$640\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x(72 - 2x) = 640$
整理得：$x^2 - 36x + 320 = 0$
解得：$x_1 = 16$，$x_2 = 20$。
当$x = 16$时，$AD = 72 - 2×16 = 40\ \mathrm{m}$；当$x = 20$时，$AD = 72 - 2×20 = 32\ \mathrm{m}$，两个解均满足边长为正数的实际要求。
(2) 假设羊圈面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x(72 - 2x) = 650$
整理得：$x^2 - 36x + 325 = 0$
计算判别式：$\Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = 1296 - 1300 = -4 ＜ 0$，该方程无实数根，不存在符合条件的边长，因此羊圈面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 当$AD = 40\ \mathrm{m}$、$AB = 16\ \mathrm{m}$或$AD = 32\ \mathrm{m}$、$AB = 20\ \mathrm{m}$时，能围成面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈；(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程在实际问题中的典型应用，核心是准确结合栅栏长度和门的位置推导边长，避免忽略门的长度导致错误；第二问通过判别式判断方程解的情况，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，体现数学的严谨性。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先结合栅栏总长度和门的位置，正确推导矩形羊圈的边长表达式。设AB的长为$x$米，由于BC边上有2米宽的门，栅栏实际围合的长度对应2个AB的长度加上（AD - 2）米，据此得出AD的表达式；再利用矩形面积公式列一元二次方程求解，第二问通过计算对应方程的判别式，判断方程是否有实根，确定面积能否达到目标值。
【解析】
(1) 设矩形羊圈的边$AB = x\ \mathrm{m}$，根据栅栏总长度70m和BC处2m宽的门，可得：$2x + (AD - 2) = 70$，整理得$AD = (72 - 2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，面积为$AB × AD$，已知面积为$640\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x(72 - 2x) = 640$
整理得：$x^2 - 36x + 320 = 0$
解得：$x_1 = 16$，$x_2 = 20$。
当$x = 16$时，$AD = 72 - 2×16 = 40\ \mathrm{m}$；当$x = 20$时，$AD = 72 - 2×20 = 32\ \mathrm{m}$，两个解均满足边长为正数的实际要求。
(2) 假设羊圈面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x(72 - 2x) = 650$
整理得：$x^2 - 36x + 325 = 0$
计算判别式：$\Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = 1296 - 1300 = -4 ＜ 0$，该方程无实数根，不存在符合条件的边长，因此羊圈面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 当$AD = 40\ \mathrm{m}$、$AB = 16\ \mathrm{m}$或$AD = 32\ \mathrm{m}$、$AB = 20\ \mathrm{m}$时，能围成面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈；(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程在实际问题中的典型应用，核心是准确结合栅栏长度和门的位置推导边长，避免忽略门的长度导致错误；第二问通过判别式判断方程解的情况，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，体现数学的严谨性。
【难度系数】
0.6
