21.(8分)2024年4月13日,以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕,吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢.某商家购进一批“元元”和“宵宵”,已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元,并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍.
(1)商家购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元?
(2)若商家购进“元元”和“宵宵”各1000个,先按进价的120%标价销售,宵宵很快就售完,剩下的200个元元按照标价的八折销售完,请问商家共盈利多少元?

解：
(1)设每个“宵宵”的进价为$ x $元，则每个“元元”的进价为$ (x+20) $元。
根据题意列方程：
$ 4(x+20)=2×3x $
展开得：$ 4x+80=6x $
移项得：$ 6x-4x=80 $
合并同类项得：$ 2x=80 $
解得：$ x=40 $
则$ x+20=40+20=60 $
答：每个“元元”的进价为60元，每个“宵宵”的进价为40元。
(2)宵宵的标价：$ 40×120\%=48 $（元）
宵宵的销售额：$ 1000×48=48000 $（元）
元元的标价：$ 60×120\%=72 $（元）
元元按标价销售的销售额：$ (1000-200)×72=800×72=57600 $（元）
元元按八折销售的销售额：$ 200×72×80\%=11520 $（元）
总销售额：$ 48000+57600+11520=117120 $（元）
总进价：$ 1000×60+1000×40=100000 $（元）
盈利：$ 117120-100000=17120 $（元）
答：商家共盈利17120元。

22.(8分)解方程组$\{\begin{array}{l} 5(x+y)-3(x-y)=2,\\ 2(x+y)+4(x-y)=6.\end{array} $若设$x+y=A$,$x-y=B$,则原方程组可变形为$\{\begin{array}{l} 5A-3B=2,\\ 2A+4B=6.\end{array} $解方程组得$\{\begin{array}{l} A=1,\\ B=1.\end{array} $所以$\{\begin{array}{l} x+y=1,\\ x-y=1.\end{array} $解方程组得$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=0.\end{array} $我们把某个式子看成一个整体,用一个字母代替它,这种解方程组的方法叫换元法.
请用这种方法解方程组$\{\begin{array}{l} \frac {x+y}{2}+\frac {x-y}{3}=6,\\ 2(x+y)-3x+3y=24.\end{array} $

解：设$x+y=A$，$x-y=B$，则原方程组可变形为：
$\begin{cases}\frac{A}{2}+\frac{B}{3}=6 \\2A - 3B=24\end{cases}$
将第一个方程去分母，两边同乘6得：
$3A + 2B=36$
则方程组变为：
$\begin{cases}3A + 2B=36 ① \\2A - 3B=24 ②\end{cases}$
①×3得：$9A + 6B=108$ ③
②×2得：$4A - 6B=48$ ④
③+④得：$13A=156$
解得：$A=12$
将$A=12$代入①得：$3×12 + 2B=36$
$36 + 2B=36$
解得：$B=0$
所以$\begin{cases}x+y=12 \\x-y=0\end{cases}$
两式相加得：$2x=12$，解得$x=6$
将$x=6$代入$x-y=0$得：$6-y=0$，解得$y=6$
原方程组的解为$\begin{cases}x=6 \\y=6\end{cases}$