4. 二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 的图像如图所示,试求这个二次函数的表达式.

(第4题)

解：由图像可知，二次函数图像过点$(1,0)$、$(3,0)$、$(0,3)$。
设二次函数的表达式为$y=a(x-1)(x-3)\ (a≠0)$，
将点$(0,3)$代入得：
$3=a(0-1)(0-3)$，
解得$a=1$。
将$a=1$代入表达式，得：
$y=(x-1)(x-3)$，
展开得：$y=x^2-4x+3$。
所以这个二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-4x+3}$。

5. 已知二次函数 $y=x^{2}+bx+c$ 的图像顶点$M$的坐标是$(0,-1)$,求这个二次函数的表
达式.

解：
将顶点$M(0,-1)$代入二次函数$y=x^2+bx+c$，得：
$-1=0^2 + b×0 + c$，
解得$c=-1$。
二次函数$y=x^2+bx+c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=1$，
因为顶点横坐标为0，所以：
$-\frac{b}{2×1}=0$，
解得$b=0$。
所以这个二次函数的表达式为$y=x^2-1$。

6. 已知二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 的图像与$x$轴交于点$(1,0)$和$(2,0)$,且过点$(3,4)$.
(1) 求这个二次函数的表达式.
(2) 求这个二次函数图像的顶点坐标.
(3)$x$取什么值时,$y$随$x$的增大而增大?$x$取什么值时,$y$随$x$的增大而减小?

解：
(1) 因为二次函数图像与$x$轴交于$(1,0)$和$(2,0)$，设二次函数表达式为$y=a(x-1)(x-2)$（$a≠0$）。
将点$(3,4)$代入得：$4=a(3-1)(3-2)$，
即$4=2a$，解得$a=2$。
则$y=2(x-1)(x-2)$，展开得$y=2x^2-6x+4$。
(2) $y=2x^2-6x+4$
$=2(x^2-3x)+4$
$=2(x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})+4$
$=2(x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{2}$
所以顶点坐标为$(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$。
(3) 因为$a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，
所以当$x＞\frac{3}{2}$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＜\frac{3}{2}$时，$y$随$x$的增大而减小。

7. 已知二次函数的图像过点$(2,-4)$,且顶点坐标为$(1,1)$.
(1) 求这个二次函数的表达式.
(2) 写出它的开口方向、对称轴.
(3) 这个函数有最大值还是最小值? 这个值是多少?

解：
(1) 设二次函数的表达式为$ y=a(x-1)^2+1 $（$ a≠0 $），
将点$(2,-4)$代入表达式得：
$ -4=a(2-1)^2+1 $，
解得$ a=-5 $，
因此，这个二次函数的表达式为$ y=-5(x-1)^2+1 $（或整理为$ y=-5x^2+10x-4 $）。
(2) 因为$ a=-5＜0 $，所以该二次函数图像的开口方向向下；
对称轴为直线$ x=1 $。
(3) 因为$ a=-5＜0 $，所以这个函数有最大值，
当$ x=1 $时，函数的最大值为1。