【例3】 把下列各式分解因式。
(1)$x(x-y)+y(y-x)$。 (2)$(2a+b)(2a-3b)+a(2a+b)$。
解:(1)$x(x-y)+y(y-x)=x(x-y)+(x-y)· (-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)^{2}$。
(2)$(2a+b)(2a-3b)+a(2a+b)=(2a+b)(2a-3b+a)=(2a+b)(3a-3b)=3(2a+b)(a-b)$。
【评析】 (1)中把$(y-x)$变化为$-(x-y)$,可找出公因式为$(x-y)$,结果中相同的因式,要写成幂的形式。(2)中提取公因式合并同类项后还有公因式,应继续提出,保证因式分解彻底,直到不能再继续分解为止。

解：
(1)$x(x-y)+y(y-x)$
$=x(x-y)-y(x-y)$
$=(x-y)(x-y)$
$=(x-y)^2$
(2)$(2a+b)(2a-3b)+a(2a+b)$
$=(2a+b)(2a-3b+a)$
$=(2a+b)(3a-3b)$
$=3(2a+b)(a-b)$

【例4】 下列各式中,不能用平方差公式分解因式的是()
A. $-x^{2}-y^{2}$ B. $-a^{2}+b^{2}$ C. $49x^{2}y^{2}-z^{2}$ D. $16m^{4}-25n^{2}p^{2}$
答案:A
【评析】 判断一个多项式能否用平方差公式分解因式的基本方法:一是多项式只有两项,二是两项的符号必须相反,三是这两项能否看做是两数的平方的形式。

解：
平方差公式分解因式的条件：多项式为两项，两项符号相反，且两项均能表示成两数的平方形式。
A. $-x^{2}-y^{2}=-(x^{2}+y^{2})$，两项符号相同，不符合条件，不能用平方差公式分解因式；
B. $-a^{2}+b^{2}=b^{2}-a^{2}=(b+a)(b-a)$，符合条件，能用平方差公式分解因式；
C. $49x^{2}y^{2}-z^{2}=(7xy)^{2}-z^{2}=(7xy+z)(7xy-z)$，符合条件，能用平方差公式分解因式；
D. $16m^{4}-25n^{2}p^{2}=(4m^{2})^{2}-(5np)^{2}=(4m^{2}+5np)(4m^{2}-5np)$，符合条件，能用平方差公式分解因式。
综上，答案选A。

【例5】 把下列各式分解因式。
(1)$-a^{2}-49b^{2}+14ab$。 (2)$\frac{1}{4}x+x^{3}-x^{2}$。
(3)$9(a-b)^{2}+12(a^{2}-b^{2})+4(a+b)^{2}$。
解:(1)原式$=-(a^{2}+49b^{2}-14ab)=-(a-7b)^{2}$。
(2)原式$=\frac{1}{4}x(1+4x^{2}-4x)=\frac{1}{4}x(1-2x)^{2}$。
(3)原式$=[3(a-b)]^{2}+12(a+b)(a-b)+[2(a+b)]^{2}=[3(a-b)+2(a+b)]^{2}=(5a-b)^{2}$。

解：
(1)原式$=-(a^{2}+49b^{2}-14ab)$
$=-(a-7b)^{2}$
(2)原式$=x(x^{2}-x+\frac{1}{4})$
$=x(x-\frac{1}{2})^{2}$
(3)原式$=[3(a-b)]^{2}+2×3(a-b)×2(a+b)+[2(a+b)]^{2}$
$=[3(a-b)+2(a+b)]^{2}$
$=(3a-3b+2a+2b)^{2}$
$=(5a-b)^{2}$