9. 如图,$ BD 为 \angle ABC $的平分线,$ AD // BC $,$ \angle BDC = 90 ^ { \circ } $,$ \angle A 与 \angle C $的数量关系为()

A. $ \angle A + \angle C = 180 ^ { \circ } $
B. $ \angle A = 2 \angle C $
C. $ \angle A - \frac { 1 } { 2 } \angle C = 90 ^ { \circ } $
D. $ \frac { 1 } { 2 } \angle A + \angle C = 90 ^ { \circ } $

B 【解析】因为 $ AD // BC $,所以 $ \angle A + \angle ABC = 180^\circ $,所以 $ \angle A = 180^\circ - \angle ABC $。因为BD为 $ \angle ABC $ 的平分线,所以 $ \angle DBC = \frac{1}{2} \angle ABC $。因为 $ \angle BDC = 90^\circ $,所以 $ \angle DBC + \angle C = \frac{1}{2} \angle ABC + \angle C = 90^\circ $,所以 $ \angle C = 90^\circ - \frac{1}{2} \angle ABC $,所以 $ \angle A = 2 \angle C $。

10. 七年级某班有48名学生,所在教室有6行8列座位,用$ ( m, n ) 表示第 m 行第 n $列的座位。新学期准备调整座位,设某个学生原来的座位为$ ( m, n ) $,若调整后的座位为$ ( i, j ) $,则称该生作了平移$ [ a, b ] = [ m - i, n - j ] $,并称$ a + b $为该生的位置数。已知某生的位置数为8,当$ m + n $取最小值时,$ m n $的最大值为()
A. 25
B. 30
C. 36
D. 48

A 【解析】因为 $ [a,b] = [m - i,n - j] $,所以 $ a + b = m - i + n - j = m + n - (i + j) $。又因为 $ a + b = 8 $,所以 $ m + n - (i + j) = 8 $,即 $ m + n = i + j + 8 $。因为 $ 1 \leq i \leq 6 $, $ 1 \leq j \leq 8 $,且 $ i,j $ 都是整数,所以 $ m + n $ 的最小值为 10。当 $ m = 2 $, $ n = 8 $ 时, $ mn = 16 $;当 $ m = 3 $, $ n = 7 $ 时, $ mn = 21 $;当 $ m = 4 $, $ n = 6 $ 时, $ mn = 24 $;当 $ m = 5 $, $ n = 5 $ 时, $ mn = 25 $;当 $ m = 6 $, $ n = 4 $ 时, $ mn = 24 $,所以 $ mn $ 的最大值为 25。

11. 若要使分式$ \frac { x } { x - 2 } $有意义,则$ x $的取值范围是______。

$ x \neq 2 $

12. 若代数式$ x ^ { 2 } - a $在有理数范围内可以因式分解,则整数$ a $的值可以为______。(写出一个即可)

1(答案不唯一)

13. 统计得到的一组数据有80个,其中最大值为139,最小值为49,取组距为10,可分成______组。

10 【解析】因为 $ (139 - 49) \div 10 = 9 $,大于 9 的最小整数为 10,所以这组数据可分成 10 组。

14. 已知二元一次方程组$ \left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 7, } \\ { x + 2 y = 8, } \end{array} \right. 则 x - y = $______。

-1

15. 如图,将一副三角尺和一张对边平行的纸条按如图方式摆放,两把三角尺的一直角边重合,含$ 30 ^ { \circ } $角的直角三角尺的斜边与纸条一边重合,含$ 45 ^ { \circ } $角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上,则$ \angle 1 $的度数是______。

$ 15^\circ $ 【解析】如图,过点A作 $ AB // a $,则 $ a // AB // b $,所以 $ \angle 1 = \angle 2 $, $ \angle 3 = \angle 4 = 30^\circ $。因为 $ \angle 2 + \angle 3 = 45^\circ $,所以 $ \angle 1 = \angle 2 = 15^\circ $。

16. 将两张边长分别为6和5的正方形纸片按图1和图2两种方式放置在长方形$ ABCD $内,长方形$ ABCD $内未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中的阴影面积为$ S _ { 1 } $,图2中的阴影面积为$ S _ { 2 } $。若$ A D - A B = 4 $,则$ S _ { 2 } - S _ { 1 } = $______。

20 【解析】如图,设 $ AB = CD = x $, $ AD = BC = y $,则 $ S_1 = 6(AB - 6) + (CD - 5)(BC - 6) = 6(x - 6) + (x - 5)(y - 6) = xy - 5y - 6 $, $ S_2 = 6(AD - 6) + (BC - 5)(CD - 6) = 6(y - 6) + (y - 5)(x - 6) = xy - 5x - 6 $,所以 $ S_2 - S_1 = 5y - 5x = 5(y - x) $。又因为 $ AD - AB = y - x = 4 $,所以 $ S_2 - S_1 = 5 \times 4 = 20 $。 点评:本题主要考查整式的混合运算,把不规则图形转化为规则图形再计算面积是解题的关键。