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1. 下列各式成立的是(
A.$\sqrt{4} × \sqrt{2}= 8$
B.$\frac{1}{2}\sqrt{3} × \sqrt{2}= \sqrt{3}$
C.$\frac{1}{2}\sqrt{3} × \frac{1}{3}\sqrt{2}= 1$
D.$\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{6}= 2$
D
)A.$\sqrt{4} × \sqrt{2}= 8$
B.$\frac{1}{2}\sqrt{3} × \sqrt{2}= \sqrt{3}$
C.$\frac{1}{2}\sqrt{3} × \frac{1}{3}\sqrt{2}= 1$
D.$\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{6}= 2$
答案
解：
A. $\sqrt{4} × \sqrt{2} = 2 × \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \neq 8$，不成立。
B. $\frac{1}{2}\sqrt{3} × \sqrt{2} = \frac{1}{2}\sqrt{6} \neq \sqrt{3}$，不成立。
C. $\frac{1}{2}\sqrt{3} × \frac{1}{3}\sqrt{2} = \frac{1}{6}\sqrt{6} \neq 1$，不成立。
D. $\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{6} = \sqrt{\frac{2}{3}×6} = \sqrt{4} = 2$，成立。
答案：D
A. $\sqrt{4} × \sqrt{2} = 2 × \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \neq 8$，不成立。
B. $\frac{1}{2}\sqrt{3} × \sqrt{2} = \frac{1}{2}\sqrt{6} \neq \sqrt{3}$，不成立。
C. $\frac{1}{2}\sqrt{3} × \frac{1}{3}\sqrt{2} = \frac{1}{6}\sqrt{6} \neq 1$，不成立。
D. $\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{6} = \sqrt{\frac{2}{3}×6} = \sqrt{4} = 2$，成立。
答案：D
2. 计算$\sqrt{12} × \sqrt{\frac{1}{2}}$的结果是(
A.6
B.$\sqrt{24}$
C.$\sqrt{6}$
D.$12\sqrt{2}$
C
)A.6
B.$\sqrt{24}$
C.$\sqrt{6}$
D.$12\sqrt{2}$
答案
【解析】：
本题考查二次根式的乘法法则，即$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（其中$a \geq 0$，$b \geq 0$）。
根据这一法则，我们可以将原式$\sqrt{12} × \sqrt{\frac{1}{2}}$进行化简。
首先，将12和$\frac{1}{2}$相乘，得到$12 × \frac{1}{2} = 6$。
然后，对6开平方，即$\sqrt{6}$。
所以，原式的结果为$\sqrt{6}$。
【答案】：
C. $\sqrt{6}$。
本题考查二次根式的乘法法则，即$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（其中$a \geq 0$，$b \geq 0$）。
根据这一法则，我们可以将原式$\sqrt{12} × \sqrt{\frac{1}{2}}$进行化简。
首先，将12和$\frac{1}{2}$相乘，得到$12 × \frac{1}{2} = 6$。
然后，对6开平方，即$\sqrt{6}$。
所以，原式的结果为$\sqrt{6}$。
【答案】：
C. $\sqrt{6}$。
3. 如果$\sqrt{x} \cdot \sqrt{x-6}= \sqrt{x(x-6)}$,那么(
A.$x \geq 0$
B.$x \geq 6$
C.$0 \leq x \leq 6$
D.$x$为一切实数
B
)A.$x \geq 0$
B.$x \geq 6$
C.$0 \leq x \leq 6$
D.$x$为一切实数
答案
【解析】：
题目考查了二次根式的乘法法则及其成立条件。
根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，即：
$x \geq 0$
$x - 6 \geq 0$
解这两个不等式，我们得到：
$x \geq 0$ （从第一个不等式）
$x \geq 6$ （从第二个不等式）
由于需要同时满足这两个条件，因此取交集，得到 $x \geq 6$。
接下来，我们验证选项：
A. $x \geq 0$：这个条件只满足了第一个不等式，没有满足第二个不等式，所以A选项错误。
B. $x \geq 6$：这个条件同时满足了两个不等式，所以B选项正确。
C. $0 \leq x \leq 6$：这个范围没有包括所有满足条件的x值（例如x=7就不在这个范围内），所以C选项错误。
D. $x$为一切实数：这个选项明显错误，因为不是所有实数都满足题目中的条件。
【答案】：
B. $x \geq 6$
题目考查了二次根式的乘法法则及其成立条件。
根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，即：
$x \geq 0$
$x - 6 \geq 0$
解这两个不等式，我们得到：
$x \geq 0$ （从第一个不等式）
$x \geq 6$ （从第二个不等式）
由于需要同时满足这两个条件，因此取交集，得到 $x \geq 6$。
接下来，我们验证选项：
A. $x \geq 0$：这个条件只满足了第一个不等式，没有满足第二个不等式，所以A选项错误。
B. $x \geq 6$：这个条件同时满足了两个不等式，所以B选项正确。
C. $0 \leq x \leq 6$：这个范围没有包括所有满足条件的x值（例如x=7就不在这个范围内），所以C选项错误。
D. $x$为一切实数：这个选项明显错误，因为不是所有实数都满足题目中的条件。
【答案】：
B. $x \geq 6$
4. $\sqrt{5} × \sqrt{a}$的积是一个整数,那么正整数$a$的最小值为(
A.2
B.5
C.20
D.50
B
)A.2
B.5
C.20
D.50
答案
【解析】：
本题主要考查二次根式的乘法运算和二次根式的性质。
首先，根据二次根式的乘法法则，有：
$\sqrt{5} × \sqrt{a} = \sqrt{5a}$
题目要求$\sqrt{5a}$是一个整数，那么$5a$必须是一个完全平方数。
为了找到满足条件的最小的正整数$a$，需要考虑5的倍数中哪个是最小的完全平方数的因子。
显然，5本身不是完全平方数，但$5 × 5 = 25$是一个完全平方数。
因此，当$a = 5$时，$5a = 25$，此时$\sqrt{5a} = \sqrt{25} = 5$，是一个整数。
所以，满足条件的最小的正整数$a$是5。
【答案】：B. 5。
本题主要考查二次根式的乘法运算和二次根式的性质。
首先，根据二次根式的乘法法则，有：
$\sqrt{5} × \sqrt{a} = \sqrt{5a}$
题目要求$\sqrt{5a}$是一个整数，那么$5a$必须是一个完全平方数。
为了找到满足条件的最小的正整数$a$，需要考虑5的倍数中哪个是最小的完全平方数的因子。
显然，5本身不是完全平方数，但$5 × 5 = 25$是一个完全平方数。
因此，当$a = 5$时，$5a = 25$，此时$\sqrt{5a} = \sqrt{25} = 5$，是一个整数。
所以，满足条件的最小的正整数$a$是5。
【答案】：B. 5。
1. 计算:$\sqrt{2} × \sqrt{7}= $
$\sqrt{14}$
;$-\sqrt{3} × \sqrt{\frac{2}{3}}= $$-\sqrt{2}$
.答案
【解析】：
本题考查二次根式的乘法法则，即$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（其中$a \geq 0$，$b \geq 0$）。
对于第一个表达式$\sqrt{2} × \sqrt{7}$，可以直接应用二次根式的乘法法则进行计算。
对于第二个表达式$-\sqrt{3} × \sqrt{\frac{2}{3}}$，需要先将$\sqrt{\frac{2}{3}}$进行化简，得到$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，然后再与$-\sqrt{3}$相乘。
【答案】：
解：
1. $\sqrt{2} × \sqrt{7} = \sqrt{2 × 7} = \sqrt{14}$
2. $-\sqrt{3} × \sqrt{\frac{2}{3}} = -\sqrt{3} × \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{2}$
故答案为：$\sqrt{14}$；$-\sqrt{2}$。
本题考查二次根式的乘法法则，即$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（其中$a \geq 0$，$b \geq 0$）。
对于第一个表达式$\sqrt{2} × \sqrt{7}$，可以直接应用二次根式的乘法法则进行计算。
对于第二个表达式$-\sqrt{3} × \sqrt{\frac{2}{3}}$，需要先将$\sqrt{\frac{2}{3}}$进行化简，得到$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，然后再与$-\sqrt{3}$相乘。
【答案】：
解：
1. $\sqrt{2} × \sqrt{7} = \sqrt{2 × 7} = \sqrt{14}$
2. $-\sqrt{3} × \sqrt{\frac{2}{3}} = -\sqrt{3} × \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{2}$
故答案为：$\sqrt{14}$；$-\sqrt{2}$。
2. 化简:$\sqrt{3} × \sqrt{27}=$
9
;$-\sqrt{2} × (-\sqrt{8})=$4
.答案
解：$\sqrt{3} × \sqrt{27}=\sqrt{3×27}=\sqrt{81}=9$；
$-\sqrt{2} × (-\sqrt{8})=\sqrt{2}×\sqrt{8}=\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$。
9；4
$-\sqrt{2} × (-\sqrt{8})=\sqrt{2}×\sqrt{8}=\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$。
9；4
3. 一个矩形的长为$\sqrt{6}\ \text{cm}$,宽为$\sqrt{5}\ \text{cm}$,则这个矩形的面积是
$\sqrt{30}$
$\text{cm}^2$.答案
【解析】：
本题主要考查二次根式的乘法运算和矩形面积的计算。
首先，矩形的面积计算公式是：面积 = 长 × 宽。
在本题中，矩形的长为$\sqrt{6}\ \text{cm}$，宽为$\sqrt{5}\ \text{cm}$。
矩形的面积 $S$ 可以通过以下公式计算：
$S = \sqrt{6} × \sqrt{5}$，
利用二次根式的乘法运算法则，即$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a × b}$，进行计算：
$S = \sqrt{6 × 5} = \sqrt{30}\ \text{cm}^2$。
【答案】：
$\sqrt{30}\ \text{cm}^2$。
本题主要考查二次根式的乘法运算和矩形面积的计算。
首先，矩形的面积计算公式是：面积 = 长 × 宽。
在本题中，矩形的长为$\sqrt{6}\ \text{cm}$，宽为$\sqrt{5}\ \text{cm}$。
矩形的面积 $S$ 可以通过以下公式计算：
$S = \sqrt{6} × \sqrt{5}$，
利用二次根式的乘法运算法则，即$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a × b}$，进行计算：
$S = \sqrt{6 × 5} = \sqrt{30}\ \text{cm}^2$。
【答案】：
$\sqrt{30}\ \text{cm}^2$。
4. 观察下列各式:$\sqrt{3^2 - 1}= \sqrt{2} × \sqrt{4}$,$\sqrt{4^2 - 1}= \sqrt{3} × \sqrt{5}$,$\sqrt{5^2 - 1}= \sqrt{4} × \sqrt{6}$,…,将你观察得到的规律用一个含正整数$n$的等式来表示:
$\sqrt{(n + 2)^{2} - 1} = \sqrt{n + 1} × \sqrt{n + 3}$（$n$为正整数）
.答案
【解析】：
观察给出的各式，我们可以发现它们都遵循一个共同的规律。
首先，我们注意到每个等式的左边都是形如$\sqrt{(n+2)^2 - 1}$的形式，其中$n$是一个正整数，并且从1开始递增。
接着，我们观察等式的右边，发现它们都是两个根号的乘积，且这两个根号内的数分别是$n+1$和$n+3$。
综合以上观察，我们可以得出一个含正整数$n$的等式来表示这个规律：
$\sqrt{(n + 2)^{2} - 1} = \sqrt{n + 1} × \sqrt{n + 3}$
其中，$n$为正整数。
【答案】：
$\sqrt{(n + 2)^{2} - 1} = \sqrt{n + 1} × \sqrt{n + 3}$（$n$为正整数）
观察给出的各式，我们可以发现它们都遵循一个共同的规律。
首先，我们注意到每个等式的左边都是形如$\sqrt{(n+2)^2 - 1}$的形式，其中$n$是一个正整数，并且从1开始递增。
接着，我们观察等式的右边，发现它们都是两个根号的乘积，且这两个根号内的数分别是$n+1$和$n+3$。
综合以上观察，我们可以得出一个含正整数$n$的等式来表示这个规律：
$\sqrt{(n + 2)^{2} - 1} = \sqrt{n + 1} × \sqrt{n + 3}$
其中，$n$为正整数。
【答案】：
$\sqrt{(n + 2)^{2} - 1} = \sqrt{n + 1} × \sqrt{n + 3}$（$n$为正整数）
1. 计算:
(1)$\sqrt{3} × \sqrt{5}$;
(2)$\sqrt{4} × \sqrt{\frac{1}{9}}$;
(3)$\sqrt{3} × \sqrt{12}$;
(4)$\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{24}$;
(5)$\sqrt{3} × \sqrt{\frac{4}{75}}$;
(6)$6\sqrt{27} × (-2\sqrt{3})$.
(1)$\sqrt{3} × \sqrt{5}$;
(2)$\sqrt{4} × \sqrt{\frac{1}{9}}$;
(3)$\sqrt{3} × \sqrt{12}$;
(4)$\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{24}$;
(5)$\sqrt{3} × \sqrt{\frac{4}{75}}$;
(6)$6\sqrt{27} × (-2\sqrt{3})$.
答案
(1)解：$\sqrt{3} × \sqrt{5}=\sqrt{3×5}=\sqrt{15}$
(2)解：$\sqrt{4} × \sqrt{\frac{1}{9}}=\sqrt{4×\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$
(3)解：$\sqrt{3} × \sqrt{12}=\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$
(4)解：$\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{24}=\sqrt{\frac{2}{3}×24}=\sqrt{16}=4$
(5)解：$\sqrt{3} × \sqrt{\frac{4}{75}}=\sqrt{3×\frac{4}{75}}=\sqrt{\frac{12}{75}}=\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$
(6)解：$6\sqrt{27} × (-2\sqrt{3})=6×(-2)×\sqrt{27×3}=-12×\sqrt{81}=-12×9=-108$
(2)解：$\sqrt{4} × \sqrt{\frac{1}{9}}=\sqrt{4×\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$
(3)解：$\sqrt{3} × \sqrt{12}=\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$
(4)解：$\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{24}=\sqrt{\frac{2}{3}×24}=\sqrt{16}=4$
(5)解：$\sqrt{3} × \sqrt{\frac{4}{75}}=\sqrt{3×\frac{4}{75}}=\sqrt{\frac{12}{75}}=\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$
(6)解：$6\sqrt{27} × (-2\sqrt{3})=6×(-2)×\sqrt{27×3}=-12×\sqrt{81}=-12×9=-108$
