1. 如图,以点 O 为位似中心,作四边形 ABCD 的位似图形四边形A'B'C'D',已知$\frac{OA}{OA'}= \frac{1}{3}$,若四边形 ABCD 的面积是 2,则四边形 A'B'C'D'的面积是()

A.4
B.6
C.16
D.18

D

由位似图形的性质可知，位似图形对应的面积比等于位似比的平方。
已知$\frac{OA}{OA^{\prime}} = \frac{1}{3}$，则四边形$ABCD$与四边形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$的面积比为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
设四边形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$的面积为$S$，因为四边形$ABCD$的面积是$2$，且$\frac{S_{ABCD}}{S_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}}=\frac{1}{9}$，即$\frac{2}{S}=\frac{1}{9}$，解得$S = 18$。

2. 如图,点 O 为四边形 ABCD 与四边形$A_1B_1C_1D_1$的位似中心,$AA_1= 2OA$.若四边形 ABCD 的周长为 8,则四边形$A_1B_1C_1D_1$的周长为()

A.16
B.24
C.32
D.72

B

由于点$O$是四边形$ABCD$和四边形$A_1B_1C_1D_1$的位似中心，且$AA_1 = 2OA$，
根据位似图形的性质可知四边形$ABCD$和四边形$A_1B_1C_1D_1$的位似比为：$OA:OA_1 = OA:(OA + AA_1)=OA:(OA + 2OA)=1:3$。
根据相似图形周长比等于相似比，设四边形$A_1B_1C_1D_1$的周长为$x$，
则有：$\frac{8}{x}=\frac{1}{3}$，
解得$x = 24$。