23. (本小题 12 分)如图,直线$y= \frac{1}{2}x与双曲线y= \frac{k}{x}(k＞0)$交于 A,B 两点,且点 A 的横坐标为 4.
(1)求 k 的值；
(2)若双曲线$y= \frac{k}{x}(x＞0)$上一点 C 的纵坐标为 8,求$\triangle AOC$的面积；
(3)过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线$y= \frac{k}{x}(k＞0)$于 P,Q 两点(点 P 在第一象限).若以点 A,B,P,Q 为顶点的四边形的面积为 24,求点 P 的坐标.

(1) $k=8$；(2) $15$；(3) $(2,4)$或$(8,1)$。

(1) 点A在直线$y=\frac{1}{2}x$上，横坐标为4，代入得$y=\frac{1}{2}×4=2$，则$A(4,2)$。
将$A(4,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{4}$，解得$k=8$。
(2) 双曲线方程为$y=\frac{8}{x}$，点C纵坐标为8，代入得$8=\frac{8}{x}$，解得$x=1$，则$C(1,8)$。
$O(0,0)$，$A(4,2)$，$C(1,8)$，由坐标面积公式：
$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}|x_Ay_C - x_Cy_A|=\frac{1}{2}|4×8 - 1×2|=\frac{1}{2}|32 - 2|=15$。
(3) 设$P(m,n)$，则$Q(-m,-n)$，且$mn=8$。
$A(4,2)$，$B(-4,-2)$，四边形$ABPQ$为平行四边形，面积$S=4S_{\triangle AOP}$。
$S_{\triangle AOP}=\frac{1}{2}|x_Ay_P - x_Py_A|=\frac{1}{2}|4n - 2m|$，则$S=4×\frac{1}{2}|4n - 2m|=2|4n - 2m|=24$，即$|2n - m|=6$。
联立$mn=8$，得：
① $m - 2n=6$，则$m=6 + 2n$，代入$mn=8$得$n(6 + 2n)=8$，即$n^2 + 3n - 4=0$，解得$n=1$（$n=-4$舍），$m=8$，$P(8,1)$；
② $2n - m=6$，则$m=2n - 6$，代入$mn=8$得$n(2n - 6)=8$，即$n^2 - 3n - 4=0$，解得$n=4$（$n=-1$舍），$m=2$，$P(2,4)$。
综上，$P(2,4)$或$(8,1)$。