4. 如果一个长方形的周长为 20,其中长为$a$,那么该长方形的面积为。

$a(10 - a)$（或$10a - a^{2}$）

已知长方形的周长为$20$，长为$a$，设宽为$b$。
根据长方形周长公式$C = 2× (长 + 宽)$，可得$2(a + b)=20$，化简为$a + b = 10$，则$b = 10 - a$。
再根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得该长方形面积$S=a×(10 - a)=10a - a^{2}$。

5. 计算：
(1)$(x-2y)(-\frac {1}{2}y)$；
(2)$(-3x^{2}y)(-4xy^{2}-5y^{3}-6x+1)$；
(3)$(-2m^{2}n)^{2}\cdot (mn^{2}-m^{2}n+n^{3})$。

(1)
$\begin{aligned}&(x - 2y)\left(-\frac{1}{2}y\right)\\=&x \cdot \left(-\frac{1}{2}y\right) + (-2y) \cdot \left(-\frac{1}{2}y\right)\\=&-\frac{1}{2}xy + y^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(-3x^2y)(-4xy^2 - 5y^3 - 6x + 1)\\=&(-3x^2y) \cdot (-4xy^2) + (-3x^2y) \cdot (-5y^3) + (-3x^2y) \cdot (-6x) + (-3x^2y) \cdot 1\\=&12x^3y^3 + 15x^2y^4 + 18x^3y - 3x^2y\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(-2m^2n)^2 \cdot (mn^2 - m^2n + n^3)\\=&4m^4n^2 \cdot (mn^2 - m^2n + n^3)\\=&4m^4n^2 \cdot mn^2 + 4m^4n^2 \cdot (-m^2n) + 4m^4n^2 \cdot n^3\\=&4m^5n^4 - 4m^6n^3 + 4m^4n^5\end{aligned}$

6. 先化简,再求值：$ab(b^{2}+b)-b^{2}(ab+2a)-3ab$,其中$a= 5,b= -1$。

10

化简过程：
$\begin{aligned}&ab(b^{2}+b)-b^{2}(ab+2a)-3ab\\=&ab\cdot b^{2}+ab\cdot b - b^{2}\cdot ab - b^{2}\cdot 2a - 3ab\\=&ab^{3}+ab^{2}-ab^{3}-2ab^{2}-3ab\\=&(ab^{3}-ab^{3})+(ab^{2}-2ab^{2})-3ab\\=&-ab^{2}-3ab\end{aligned}$
代入求值：
当$a = 5$，$b=-1$时，
$\begin{aligned}&-ab^{2}-3ab\\=&-5×(-1)^{2}-3×5×(-1)\\=&-5×1 + 15\\=&-5 + 15\\=&10\end{aligned}$

7. 计算$x(2x-1)-x^{2}(2-x)$的结果是()
A.$-x^{3}-x$
B.$x^{3}-x$
C.$-x^{2}-x$
D.$x^{3}-1$

B

首先应用单项式乘多项式的法则展开，然后再合并同类项：
$x(2x - 1) - x^{2}(2 - x)$
$= x \cdot 2x - x \cdot 1 - x^{2} \cdot 2 + x^{2} \cdot x$
$= 2x^{2} - x - 2x^{2} + x^{3}$
$= x^{3} - x$

8. 已知$x^{2}-2= y$,则$x(x-2025y)-y(1-2025x)$的值为()
A.$2$
B.$0$
C.$-2$
D.$1$

A

首先对$x(x-2025y)-y(1-2025x)$进行展开：
$x(x - 2025y)-y(1 - 2025x)=x^{2}-2025xy - y+2025xy$，
对上述式子进行化简可得：$x^{2}-y$。
已知$x^{2}-2 = y$，即$x^{2}-y = 2$。
所以$x(x-2025y)-y(1-2025x)$的值为$2$。

9. 计算：$-2x^{2}(\frac {1}{2}xy+y^{2})-5x(x^{2}y-xy^{2})= $。

$-6x^{3}y + 3x^{2}y^{2}$

$-2x^{2}(\frac{1}{2}xy + y^{2}) - 5x(x^{2}y - xy^{2})$
$= -2x^{2} \cdot \frac{1}{2}xy + (-2x^{2}) \cdot y^{2} - 5x \cdot x^{2}y + (-5x) \cdot (-xy^{2})$
$= -x^{3}y - 2x^{2}y^{2} - 5x^{3}y + 5x^{2}y^{2}$
$= (-x^{3}y - 5x^{3}y) + (-2x^{2}y^{2} + 5x^{2}y^{2})$
$= -6x^{3}y + 3x^{2}y^{2}$

10. 已知$ab^{2}= 3$,求$ab(a^{2}b^{5}-ab^{3}-b)$的值。

15

解：原式$=ab \cdot a^{2}b^{5} - ab \cdot ab^{3} - ab \cdot b$
$=a^{3}b^{6} - a^{2}b^{4} - ab^{2}$
$=(ab^{2})^{3} - (ab^{2})^{2} - ab^{2}$
因为$ab^{2}=3$，所以原式$=3^{3} - 3^{2} - 3$
$=27 - 9 - 3$
$=15$

11. 某同学在计算一个多项式乘$-3x^{2}$时,因抄错运算符号,算成了加上$-3x^{2}$,得到的结果是$x^{2}-4x+1$,那么正确的计算结果是多少？

设原多项式为$A$。
由题意得：$A + (-3x^2) = x^2 - 4x + 1$，则$A = x^2 - 4x + 1 - (-3x^2) = x^2 - 4x + 1 + 3x^2 = 4x^2 - 4x + 1$。
正确计算为：$A × (-3x^2) = (4x^2 - 4x + 1)(-3x^2)$
$= 4x^2 × (-3x^2) + (-4x) × (-3x^2) + 1 × (-3x^2)$
$= -12x^4 + 12x^3 - 3x^2$。
正确结果：$-12x^4 + 12x^3 - 3x^2$。

12. 如图,把边长分别为$a和b$的两个正方形并排放在一起,请你计算图中阴影部分的面积。

由图可得，阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形的面积。
两个正方形的面积之和为$a^{2} + b^{2}$，
边长为$a$的正方形右侧的直角三角形面积为：$\frac{1}{2}a \cdot a = \frac{1}{2}a^{2}$，
边长为$b$的正方形上方的直角三角形面积为$\frac{1}{2}b(a + b)$，
$S_{阴影}=a^{2} + b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}b(a + b)$
$=\frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}ab$
$=\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^{2}$。
综上所述，阴影部分的面积为$\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^{2}$。