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1. (★)填上适当的数,使下列等式成立:
(1) $ x^{2}+8x+ $
(2) $ x^{2}-7x+ $
(3) $ x^{2}-\frac{2}{3}x+ $
(4) $ x^{2}+\frac{5}{2}x+ $
(1) $ x^{2}+8x+ $
16
$ =(x+ $4
$ )^{2} $;(2) $ x^{2}-7x+ $
$\frac{49}{4}$
$ =(x- $$\frac{7}{2}$
$ )^{2} $;(3) $ x^{2}-\frac{2}{3}x+ $
$\frac{1}{9}$
$ =(x- $$\frac{1}{3}$
$ )^{2} $;(4) $ x^{2}+\frac{5}{2}x+ $
$\frac{25}{16}$
$ =(x+ $$\frac{5}{4}$
$ )^{2} $.答案
(1) 16，4；
(2) $\frac{49}{4}$，$\frac{7}{2}$；
(3) $\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$；
(4) $\frac{25}{16}$，$\frac{5}{4}$。
(2) $\frac{49}{4}$，$\frac{7}{2}$；
(3) $\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$；
(4) $\frac{25}{16}$，$\frac{5}{4}$。
解析
(1) 设$x^2 + 8x + b = (x + a)^2$，
展开右边得：$x^2 + 2ax + a^2$，
比较系数得：$2a = 8 \Rightarrow a = 4$，
$b = a^2 = 16$，
所以填空为：$x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$。
(2) 设$x^2 - 7x + b = (x - a)^2$，
展开右边得：$x^2 - 2ax + a^2$，
比较系数得：$-2a = -7 \Rightarrow a = \frac{7}{2}$，
$b = a^2 = \frac{49}{4}$，
所以填空为：$x^2 - 7x + \frac{49}{4} = (x - \frac{7}{2})^2$。
(3) 设$x^2 - \frac{2}{3}x + b = (x - a)^2$，
展开右边得：$x^2 - 2ax + a^2$，
比较系数得：$-2a = -\frac{2}{3} \Rightarrow a = \frac{1}{3}$，
$b = a^2 = \frac{1}{9}$，
所以填空为：$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = (x - \frac{1}{3})^2$。
(4) 设$x^2 + \frac{5}{2}x + b = (x + a)^2$，
展开右边得：$x^2 + 2ax + a^2$，
比较系数得：$2a = \frac{5}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{4}$，
$b = a^2 = \frac{25}{16}$，
所以填空为：$x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = (x + \frac{5}{4})^2$。
展开右边得：$x^2 + 2ax + a^2$，
比较系数得：$2a = 8 \Rightarrow a = 4$，
$b = a^2 = 16$，
所以填空为：$x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$。
(2) 设$x^2 - 7x + b = (x - a)^2$，
展开右边得：$x^2 - 2ax + a^2$，
比较系数得：$-2a = -7 \Rightarrow a = \frac{7}{2}$，
$b = a^2 = \frac{49}{4}$，
所以填空为：$x^2 - 7x + \frac{49}{4} = (x - \frac{7}{2})^2$。
(3) 设$x^2 - \frac{2}{3}x + b = (x - a)^2$，
展开右边得：$x^2 - 2ax + a^2$，
比较系数得：$-2a = -\frac{2}{3} \Rightarrow a = \frac{1}{3}$，
$b = a^2 = \frac{1}{9}$，
所以填空为：$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = (x - \frac{1}{3})^2$。
(4) 设$x^2 + \frac{5}{2}x + b = (x + a)^2$，
展开右边得：$x^2 + 2ax + a^2$，
比较系数得：$2a = \frac{5}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{4}$，
$b = a^2 = \frac{25}{16}$，
所以填空为：$x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = (x + \frac{5}{4})^2$。
2. (★)解下列方程:
(1) $ x^{2}-4= 0 $;
(2) $ (2x-3)^{2}= 7 $.
(1) $ x^{2}-4= 0 $;
(2) $ (2x-3)^{2}= 7 $.
答案
(1) $x^{2}-4=0$
移项得$x^{2}=4$
开平方得$x=\pm2$
即$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$
(2) $(2x - 3)^{2}=7$
开平方得$2x - 3=\pm\sqrt{7}$
移项得$2x = 3\pm\sqrt{7}$
系数化为1得$x=\frac{3\pm\sqrt{7}}{2}$
即$x_{1}=\frac{3 + \sqrt{7}}{2}$，$x_{2}=\frac{3 - \sqrt{7}}{2}$
移项得$x^{2}=4$
开平方得$x=\pm2$
即$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$
(2) $(2x - 3)^{2}=7$
开平方得$2x - 3=\pm\sqrt{7}$
移项得$2x = 3\pm\sqrt{7}$
系数化为1得$x=\frac{3\pm\sqrt{7}}{2}$
即$x_{1}=\frac{3 + \sqrt{7}}{2}$，$x_{2}=\frac{3 - \sqrt{7}}{2}$
3. (★)通过配成
完全平方
形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.配方是为了降
次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
来解,这个过程中用到了转化思想.答案
完全平方，降，一元一次方程
解析
根据配方法的定义和用途，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法称为配方法，配方是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
4. (★)一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成$ (x+n)^{2}= p $的形式,那么就有:
(1)当$ p＞0 $时,此方程有
(2)当$ p= 0 $时,此方程有
(3)当$ p＜0 $时,因为对任意实数$ x $,都有$ (x+n)^{2} $
(1)当$ p＞0 $时,此方程有
两个不相等
的实数根$ x_{1}= $$-n+\sqrt{p}$
,$ x_{2}= $$-n - \sqrt{p}$
;(2)当$ p= 0 $时,此方程有
两个相等
的实数根$ x_{1}= x_{2}= $$-n$
;(3)当$ p＜0 $时,因为对任意实数$ x $,都有$ (x+n)^{2} $
$\geq$
$ 0 $,所以此方程没有
实数根.答案
（1）两个不相等；$-n+\sqrt{p}$；$-n - \sqrt{p}$
（2）两个相等；$-n$
（3）$\geq$；没有
（2）两个相等；$-n$
（3）$\geq$；没有
解析
（1）对方程$(x+n)^{2}=p$，当$p\gt0$时：
根据平方根的定义，若$(x + n)^2 = p$，则$x + n=\pm\sqrt{p}$。
移项可得$x=-n\pm\sqrt{p}$，即方程有两个不相等的实数根$x_1 = -n+\sqrt{p}$，$x_2=-n - \sqrt{p}$。
（2）当$p = 0$时：
方程$(x + n)^2=0$，则$x+n = 0$，解得$x_1 = x_2=-n$，此时方程有两个相等的实数根。
（3）当$p\lt0$时：
因为对于任意实数$x$，都有$(x + n)^2\geq0$，而$p\lt0$，所以$(x + n)^2\neq p$，即此方程没有实数根。
根据平方根的定义，若$(x + n)^2 = p$，则$x + n=\pm\sqrt{p}$。
移项可得$x=-n\pm\sqrt{p}$，即方程有两个不相等的实数根$x_1 = -n+\sqrt{p}$，$x_2=-n - \sqrt{p}$。
（2）当$p = 0$时：
方程$(x + n)^2=0$，则$x+n = 0$，解得$x_1 = x_2=-n$，此时方程有两个相等的实数根。
（3）当$p\lt0$时：
因为对于任意实数$x$，都有$(x + n)^2\geq0$，而$p\lt0$，所以$(x + n)^2\neq p$，即此方程没有实数根。
5. (★)方程$ x^{2}+6x-5= 0 $的左边配成完全平方式后所得的方程为【
A.$ (x+3)^{2}= 14 $
B.$ (x-3)^{2}= 14 $
C.$ (x+6)^{2}= \frac{1}{2} $
D.以上选项都不对
A
】A.$ (x+3)^{2}= 14 $
B.$ (x-3)^{2}= 14 $
C.$ (x+6)^{2}= \frac{1}{2} $
D.以上选项都不对
答案
A
解析
原方程为 $x^2 + 6x - 5 = 0$，移项得 $x^2 + 6x = 5$。
配方：系数1（已满足），取一次项系数6的一半为3，平方得9，两边加9：
$x^2 + 6x + 9 = 5 + 9$，即 $(x + 3)^2 = 14$。
配方：系数1（已满足），取一次项系数6的一半为3，平方得9，两边加9：
$x^2 + 6x + 9 = 5 + 9$，即 $(x + 3)^2 = 14$。
6. (★)(2022·雅安)若关于$ x $的一元二次方程$ x^{2}+6x+c= 0 $配方后得到方程$ (x+3)^{2}= 2c $,则$ c $的值为【
A.-3
B.0
C.3
D.9
C
】A.-3
B.0
C.3
D.9
答案
C
解析
原方程为 $x^{2}+6x+c=0$，将方程左边进行配方，得 $x^{2}+6x+9=9-c$，即 $(x+3)^{2}=9-c$。
题目给出配方后的方程为 $(x+3)^{2}=2c$，因此有 $9-c=2c$。
解这个方程，得 $3c=9$，即 $c=3$。
题目给出配方后的方程为 $(x+3)^{2}=2c$，因此有 $9-c=2c$。
解这个方程，得 $3c=9$，即 $c=3$。
7. (★)某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程,每人负责完成一个步骤.如下所示,老师看后,发现有一位同学所负责的步骤是错误的,则这位同学是【
原方程:$ 2x^{2}+4x-1= 0 \rightarrow $甲:$ 2x^{2}+4x= 1 \rightarrow $乙:$ x^{2}+2x= 1 \rightarrow $丙:$ x^{2}+2x+1= 1+1 $,即$ (x+1)^{2}= 2 \rightarrow $丁:$ x_{1}= \sqrt{2}-1,x_{2}= -\sqrt{2}-1 $.
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
B
】原方程:$ 2x^{2}+4x-1= 0 \rightarrow $甲:$ 2x^{2}+4x= 1 \rightarrow $乙:$ x^{2}+2x= 1 \rightarrow $丙:$ x^{2}+2x+1= 1+1 $,即$ (x+1)^{2}= 2 \rightarrow $丁:$ x_{1}= \sqrt{2}-1,x_{2}= -\sqrt{2}-1 $.
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
B
解析
原方程：$2x^{2} + 4x - 1 = 0$，
甲：将常数项移到等号右边，得$2x^{2} + 4x = 1$，正确；
乙：将二次项系数化为1，两边同时除以2，应得$x^{2} + 2x = \frac{1}{2}$，乙的步骤错误，写成了$x^{2} + 2x = 1$；
丙：配方步骤，若按乙的错误步骤继续，则$x^{2} + 2x + 1 = 1 + 1$，即$(x + 1)^{2} = 2$，形式正确；
丁：解方程，得$x + 1 = \pm \sqrt{2}$，即$x_{1} = \sqrt{2} - 1$，$x_{2} = -\sqrt{2} - 1$，步骤正确。
错误步骤为乙。
甲：将常数项移到等号右边，得$2x^{2} + 4x = 1$，正确；
乙：将二次项系数化为1，两边同时除以2，应得$x^{2} + 2x = \frac{1}{2}$，乙的步骤错误，写成了$x^{2} + 2x = 1$；
丙：配方步骤，若按乙的错误步骤继续，则$x^{2} + 2x + 1 = 1 + 1$，即$(x + 1)^{2} = 2$，形式正确；
丁：解方程，得$x + 1 = \pm \sqrt{2}$，即$x_{1} = \sqrt{2} - 1$，$x_{2} = -\sqrt{2} - 1$，步骤正确。
错误步骤为乙。
8. (★)若方程$ x^{2}+px+q= 0 $可化为$(x+\frac{1}{2})^{2}= \frac{3}{4} $的形式,则$ p= $
1
,$ q= $$-\frac{1}{2}$
.答案
1，$-\frac{1}{2}$
解析
将$(x+\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{4}$展开，得$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，移项化简为$x^{2}+x - \frac{1}{2}=0$，对比$x^{2}+px+q=0$，可得$p=1$，$q=-\frac{1}{2}$。
9. (★★)用配方法解下列方程:
(1) $ x^{2}+4x-3= 0 $;
(2) $ x^{2}+5x-14= 0 $;
(3) $ 2x^{2}-12x= -8 $;
(4) $ x(x-6)+12= 0 $.
(1) $ x^{2}+4x-3= 0 $;
(2) $ x^{2}+5x-14= 0 $;
(3) $ 2x^{2}-12x= -8 $;
(4) $ x(x-6)+12= 0 $.
答案
(1)移项得$x^{2}+4x=3$，配方得$x^{2}+4x+4=3+4$，即$(x+2)^{2}=7$，开方得$x+2=\pm\sqrt{7}$，解得$x_{1}=-2+\sqrt{7}$，$x_{2}=-2-\sqrt{7}$。
(2)移项得$x^{2}+5x=14$，配方得$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=14+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$，即$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$，开方得$x+\frac{5}{2}=\pm\frac{9}{2}$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-7$。
(3)两边同除以2得$x^{2}-6x=-4$，配方得$x^{2}-6x+9=-4+9$，即$(x-3)^{2}=5$，开方得$x-3=\pm\sqrt{5}$，解得$x_{1}=3+\sqrt{5}$，$x_{2}=3-\sqrt{5}$。
(4)去括号得$x^{2}-6x+12=0$，移项得$x^{2}-6x=-12$，配方得$x^{2}-6x+9=-12+9$，即$(x-3)^{2}=-3$，因为$-3＜0$，所以方程无实数根。
(2)移项得$x^{2}+5x=14$，配方得$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=14+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$，即$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$，开方得$x+\frac{5}{2}=\pm\frac{9}{2}$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-7$。
(3)两边同除以2得$x^{2}-6x=-4$，配方得$x^{2}-6x+9=-4+9$，即$(x-3)^{2}=5$，开方得$x-3=\pm\sqrt{5}$，解得$x_{1}=3+\sqrt{5}$，$x_{2}=3-\sqrt{5}$。
(4)去括号得$x^{2}-6x+12=0$，移项得$x^{2}-6x=-12$，配方得$x^{2}-6x+9=-12+9$，即$(x-3)^{2}=-3$，因为$-3＜0$，所以方程无实数根。
