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10. (★★)如图28.1 - 22,在△ABC中,∠C = 90°,$\sin A= \frac{4}{5}$,AB = 15,求△ABC的周长和tanA的值。
答案
周长：$36$，
$\tan A$ 的值：$\frac{4}{3}$。
$\tan A$ 的值：$\frac{4}{3}$。
解析
由题意知 $\angle C=90°$，$\sin A=\frac{4}{5}$，$AB=15$。
根据正弦函数的定义，$\sin A=\frac{BC}{AB}$，
$\therefore BC=AB\cdot \sin A=15×\frac{4}{5}=12$。
由勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9$。
$\therefore \triangle ABC$ 的周长为 $AB+BC+AC=15+12+9=36$。
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$。
最终
根据正弦函数的定义，$\sin A=\frac{BC}{AB}$，
$\therefore BC=AB\cdot \sin A=15×\frac{4}{5}=12$。
由勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9$。
$\therefore \triangle ABC$ 的周长为 $AB+BC+AC=15+12+9=36$。
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$。
最终
11. (★)在△ABC中,∠C = 90°,$\tan A= \frac{\sqrt{3}}{3}$,AB = 6 cm,则△ABC的面积为
9√3/2 cm²
。答案
9√3/2 cm²
解析
在△ABC中，∠C=90°，tanA=√3/3，∴∠A=30°，∴BC=AB·sin30°=6×1/2=3cm，AC=AB·cos30°=6×√3/2=3√3cm，∴S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×3√3×3=9√3/2 cm²
12. (★★)如图28.1 - 23,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC = 30°,D是CB延长线上的一点,且BD = BA,则$\tan∠DAC$的值为【
A.$2+\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3+\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
A
】A.$2+\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3+\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
答案
A
解析
设AC = x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC⊥BC，
∴AB=2AC=2x（30°角所对直角边是斜边一半）。
BC=AB·cos30°=2x·(√3/2)=x√3（三角函数定义）。
∵BD=BA=2x，D在CB延长线上，
∴CD=CB+BD=x√3+2x=x(2+√3)。
在Rt△ACD中，tan∠DAC=CD/AC=[x(2+√3)]/x=2+√3。
∴AB=2AC=2x（30°角所对直角边是斜边一半）。
BC=AB·cos30°=2x·(√3/2)=x√3（三角函数定义）。
∵BD=BA=2x，D在CB延长线上，
∴CD=CB+BD=x√3+2x=x(2+√3)。
在Rt△ACD中，tan∠DAC=CD/AC=[x(2+√3)]/x=2+√3。
13. (★★)如图28.1 - 24,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,若EF = 2,BC = 5,CD = 3,则tanC等于【
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
B
】A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
B
解析
连接BD。
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF//BD且BD=2EF=4。
在△BCD中，CD=3，BD=4，BC=5，
∵3²+4²=5²，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°。
在Rt△BDC中，tanC=BD/CD=4/3。
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF//BD且BD=2EF=4。
在△BCD中，CD=3，BD=4，BC=5，
∵3²+4²=5²，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°。
在Rt△BDC中，tanC=BD/CD=4/3。
14. (★★)如图28.1 - 25,在Rt△ABC中,∠C = 90°,AC = BC = 6,D是AC上一点,若$\tan∠DBA= \frac{1}{5}$,则AD的长为【
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.1
A
】A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.1
答案
A
解析
设AD=m，过D作DE⊥AB于E。
∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ABC为等腰直角三角形，∠A=45°，AB=√(6²+6²)=6√2。
∵DE⊥AB，∠A=45°，∴△ADE为等腰直角三角形，设DE=AE=k，则AD=√(AE²+DE²)=√2 k，即m=√2 k。
在Rt△DEB中，tan∠DBA=DE/BE=1/5，∴BE=5k。
∵AB=AE+BE=k+5k=6k，且AB=6√2，∴6k=6√2，解得k=√2。
∴AD=√2 k=√2×√2=2。
∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ABC为等腰直角三角形，∠A=45°，AB=√(6²+6²)=6√2。
∵DE⊥AB，∠A=45°，∴△ADE为等腰直角三角形，设DE=AE=k，则AD=√(AE²+DE²)=√2 k，即m=√2 k。
在Rt△DEB中，tan∠DBA=DE/BE=1/5，∴BE=5k。
∵AB=AE+BE=k+5k=6k，且AB=6√2，∴6k=6√2，解得k=√2。
∴AD=√2 k=√2×√2=2。
15. (★★)如图28.1 - 26,梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为α,关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间,下列叙述正确的是【
A.$\sinα$的值越大,梯子越陡
B.$\cosα$的值越大,梯子越陡
C.$\tanα$的值越小,梯子越陡
D.陡缓程度与∠α的函数值无关
A
】A.$\sinα$的值越大,梯子越陡
B.$\cosα$的值越大,梯子越陡
C.$\tanα$的值越小,梯子越陡
D.陡缓程度与∠α的函数值无关
答案
A
解析
在锐角范围内，$\sin\alpha$随$\alpha$增大而增大，$\cos\alpha$随$\alpha$增大而减小，$\tan\alpha$随$\alpha$增大而增大。梯子倾斜程度由$\alpha$大小决定，$\alpha$越大梯子越陡。A选项，$\sin\alpha$越大则$\alpha$越大，梯子越陡，正确；B选项，$\cos\alpha$越大则$\alpha$越小，梯子越缓，错误；C选项，$\tan\alpha$越小则$\alpha$越小，梯子越缓，错误；D选项，陡缓程度与$\alpha$函数值有关，错误。
16. (★★)在Rt△ABC中,∠C = 90°,则$\tan A·\tan B$的值一定【
A.小于1
B.不小于1
C.大于1
D.等于1
D
】A.小于1
B.不小于1
C.大于1
D.等于1
答案
D
解析
在$Rt \bigtriangleup ABC$ 中，设$\angle C = 90{°}$，
根据正切函数的定义有：
$\tan A = \frac{{对边}}{{邻边}} = \frac{BC}{AC}$，
$\tan B = \frac{{对边}}{{邻边}} = \frac{AC}{BC}$，
两式相乘，得：
$\tan A \cdot \tan B = \frac{BC}{AC} \cdot \frac{AC}{BC} = 1$。
根据正切函数的定义有：
$\tan A = \frac{{对边}}{{邻边}} = \frac{BC}{AC}$，
$\tan B = \frac{{对边}}{{邻边}} = \frac{AC}{BC}$，
两式相乘，得：
$\tan A \cdot \tan B = \frac{BC}{AC} \cdot \frac{AC}{BC} = 1$。
