15. (★★)若α为锐角,且cosα = 0.4,则【】
A.0° ＜ α ＜ 30°
B.30° ＜ α ＜ 45°
C.45° ＜ α ＜ 60°
D.60° ＜ α ＜ 90°

D

已知α为锐角，且cosα=0.4。根据余弦函数在0°到90°之间随角度增大而减小的性质：cos0°=1，cos30°≈0.866，cos45°≈0.707，cos60°=0.5，cos90°=0。因为0.4＜0.5，即cosα＜cos60°，所以α＞60°，又因为α是锐角，故60°＜α＜90°。

16. (★★)正比例函数$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$的图象与x轴的夹角为锐角α,则α的度数为。

30°

在正比例函数$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$中，设图象上一点$(1, \frac{\sqrt{3}}{3})$，该点到x轴距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，到y轴距离为1。则$\tan\alpha=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\alpha=30°$。

17. (★★)(2022·绥化)定义一种运算：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ,sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ。例如：当α = 45°,β = 30°时,sin(45° + 30°) = $\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$,则sin15°的值为。

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

因为15°=45°-30°，根据sin(α - β)=sinαcosβ - cosαsinβ，所以sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30° - cos45°sin30°。已知sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin30°=$\frac{1}{2}$，代入可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$。

18. (★★★)(2022·扬州)在△ABC中,∠C = 90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若$b^{2} = ac$,则sinA的值为。

$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

在直角三角形$ABC$中，由于$\angle C = 90^{\circ}$，根据勾股定理有$c^{2} = a^{2} + b^{2}$。
题目给出$b^{2} = ac$，代入勾股定理的等式中，得到：
$c^{2} = a^{2} + ac$，
等式两边同时除以$c^{2}$（由于$c \neq 0$，这是合法的），得到：
$1 = \left(\frac{a}{c}\right)^{2} + \frac{a}{c}$。
令$\frac{a}{c} = x$，则上式变为：
$1 = x^{2} + x$，
整理得到二次方程：
$x^{2} + x - 1 = 0$，
解这个二次方程，根据求根公式得到两个解：
$x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}, \quad x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$，
由于在直角三角形中，边长比例$\frac{a}{c}$必须是正数，因此舍去负解$x_{2}$。
所以$\frac{a}{c} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
而$\sin A = \frac{a}{c}$，所以：
$\sin A = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。

1. (★)在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,三边的长度都扩大 $ 3 $ 倍,则锐角 $ A $ 的三角函数值【】
A.扩大为原来的 $ 3 $ 倍
B.缩小为原来的 $ \dfrac{1}{3} $
C.不变
D.扩大为原来的 $ 9 $ 倍

C

设原$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle A$的对边为$a$，邻边为$b$，斜边为$c$，则$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$。三边扩大3倍后，新三角形的对应边为$3a$，$3b$，$3c$，此时$\sin A=\frac{3a}{3c}=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{3b}{3c}=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{3a}{3b}=\frac{a}{b}$，故锐角$A$的三角函数值不变。

2. (★)用计算器计算：$ \sin 36^{\circ} \approx $(结果保留小数点后四位)。

0.5878

使用计算器，先确保计算器处于角度模式，输入"36"，再按下"sin"键，得到结果约为0.5877852523，保留小数点后四位为0.5878。

3. (★)若 $ \sin A = 0.3562 $,用计算器计算 $ \angle A \approx $(精确到 $ 1^{\circ} $)。

21°

使用计算器，先按“SHIFT”或“2nd F”键，再按“sin”键，输入“0.3562”，然后按“=”键，得到结果约为20.86°，精确到1°为21°。

4. (★)用计算器求出下列锐角三角函数值,并填空：(精确到 $ 0.001 $)
$ \sin 25^{\circ} \approx $；$ \cos 65^{\circ} \approx $；$ \sin 37^{\circ} \approx $；$ \cos 53^{\circ} \approx $；$ \sin 32^{\circ}20' \approx $；$ \cos 57^{\circ}40' \approx $。
猜想：一个锐角的正弦值等于的余弦值。

0.423；0.423；0.602；0.602；0.535；0.535；它余角

使用计算器依次计算各三角函数值：
$\sin 25^{\circ} \approx 0.423$；
$\cos 65^{\circ} \approx 0.423$；
$\sin 37^{\circ} \approx 0.602$；
$\cos 53^{\circ} \approx 0.602$；
将$32^{\circ}20'$转化为度：$20' = (\frac{20}{60})^{\circ} \approx 0.333^{\circ}$，则$32^{\circ}20' \approx 32.333^{\circ}$，$\sin 32.333^{\circ} \approx 0.535$；
将$57^{\circ}40'$转化为度：$40' = (\frac{40}{60})^{\circ} \approx 0.667^{\circ}$，则$57^{\circ}40' \approx 57.667^{\circ}$，$\cos 57.667^{\circ} \approx 0.535$。
观察可得：一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值。

5. (★★)探究规律：应用计算器算一算。分别比较各个三角函数值的大小,并填空：(精确到 $ 0.001 $)
(1)$ \sin 10^{\circ} \approx $；$ \sin 32^{\circ} \approx $；$ \sin 49^{\circ} \approx $；$ \sin 88^{\circ} \approx $。规律：正弦函数值随着锐角度数的增大而。
(2)$ \cos 20^{\circ} \approx $；$ \cos 40^{\circ} \approx $；$ \cos 60^{\circ} \approx $；$ \cos 80^{\circ} \approx $。规律：余弦函数值随着锐角度数的增大而。
(3)$ \tan 10^{\circ} \approx $；$ \tan 30^{\circ} \approx $；$ \tan 50^{\circ} \approx $；$ \tan 70^{\circ} \approx $。规律：正切函数值随着锐角度数的增大而。

(1)0.174；0.530；0.755；0.999；增大
(2)0.940；0.766；0.500；0.174；减小
(3)0.176；0.577；1.192；2.747；增大

(1)使用计算器计算得：$\sin 10^{\circ} \approx 0.174$；$\sin 32^{\circ} \approx 0.530$；$\sin 49^{\circ} \approx 0.755$；$\sin 88^{\circ} \approx 0.999$。观察可知，正弦函数值随着锐角度数的增大而增大。
(2)使用计算器计算得：$\cos 20^{\circ} \approx 0.940$；$\cos 40^{\circ} \approx 0.766$；$\cos 60^{\circ} = 0.500$；$\cos 80^{\circ} \approx 0.174$。观察可知，余弦函数值随着锐角度数的增大而减小。
(3)使用计算器计算得：$\tan 10^{\circ} \approx 0.176$；$\tan 30^{\circ} \approx 0.577$；$\tan 50^{\circ} \approx 1.192$；$\tan 70^{\circ} \approx 2.747$。观察可知，正切函数值随着锐角度数的增大而增大。

6. (★)若 $ \cos A = 0.7349 $,用计算器计算 $ \angle A \approx $(精确到 $ 1' $)。

42°45'

使用计算器，先按“SHIFT”键，再按“cos”键，输入“0.7349”，得到角度约为42.75度。0.75度换算为分：0.75×60=45'，所以∠A≈42°45'。