登录
乘法法则：$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$；
除法法则：$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$。
思考 整式与分式相乘除,怎么运算？
填空 $\frac{a - 2b}{a + b} ÷ (a^2 - 2ab) = \frac{a - 2b}{a + b} \cdot$
除法法则：$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$。
思考 整式与分式相乘除,怎么运算？
填空 $\frac{a - 2b}{a + b} ÷ (a^2 - 2ab) = \frac{a - 2b}{a + b} \cdot$
$\frac{1}{a^2 - 2ab}$
.答案
$\frac{1}{a^2 - 2ab}$
解析
根据除法法则，除以一个整式等于乘以这个整式的倒数。$a^2 - 2ab$可看作$\frac{a^2 - 2ab}{1}$，其倒数为$\frac{1}{a^2 - 2ab}$，所以$\frac{a - 2b}{a + b} ÷ (a^2 - 2ab) = \frac{a - 2b}{a + b} \cdot \frac{1}{a^2 - 2ab}$
例 1 计算：
(1)$\frac{3xy^2}{4z^2} \cdot \frac{8z^3}{y}$； (2)$\frac{ab^2}{2cd} ÷ \frac{-3ax}{4cd}$；
(3)$\frac{a + 2}{a - 2} \cdot \frac{1}{a^2 + 2a}$； (4)$\frac{3a^2b}{7c^2} \cdot \frac{5a^2c^3}{21b} ÷ \frac{15a^3c^2}{14}$。
名师导引 分式乘除运算中,对多项式往往要先分解因式,同时注意,运算结果要化为最简分式。
(1)$\frac{3xy^2}{4z^2} \cdot \frac{8z^3}{y}$； (2)$\frac{ab^2}{2cd} ÷ \frac{-3ax}{4cd}$；
(3)$\frac{a + 2}{a - 2} \cdot \frac{1}{a^2 + 2a}$； (4)$\frac{3a^2b}{7c^2} \cdot \frac{5a^2c^3}{21b} ÷ \frac{15a^3c^2}{14}$。
名师导引 分式乘除运算中,对多项式往往要先分解因式,同时注意,运算结果要化为最简分式。
答案
(1)
$\begin{aligned}\frac{3xy^2}{4z^2} \cdot \frac{8z^3}{y} &= \frac{3 × 8 \cdot xy^2z^3}{4yz^2} \\&= \frac{24xy^2z^3}{4yz^2} \\&= 6xyz\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{ab^2}{2cd} ÷ \frac{-3ax}{4cd} &= \frac{ab^2}{2cd} \cdot \frac{4cd}{-3ax} \\&= \frac{4ab^2cd}{2cd \cdot 3ax} \\&= -\frac{2b^2}{3x}\end{aligned}$
(3)
首先对 $a^2 + 2a$ 分解因式得 $a(a + 2)$，
$\begin{aligned}\frac{a + 2}{a - 2} \cdot \frac{1}{a^2 + 2a} &= \frac{a + 2}{a - 2} \cdot \frac{1}{a(a + 2)} \\&= \frac{a + 2}{a(a - 2)(a + 2)} \\&= \frac{1}{a(a - 2)} \\&= \frac{1}{a^2 - 2a}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}\frac{3a^2b}{7c^2} \cdot \frac{5a^2c^3}{21b} ÷ \frac{15a^3c^2}{14} &= \frac{3a^2b}{7c^2} \cdot \frac{5a^2c^3}{21b} \cdot \frac{14}{15a^3c^2} \\&= \frac{3 × 5 × 14 \cdot a^4bc^3}{7 × 21 × 15 \cdot a^3bc^4} \\&= \frac{210a^4bc^3}{2205a^3bc^4} \\&= \frac{2a}{21c}（约分后结果）\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{3xy^2}{4z^2} \cdot \frac{8z^3}{y} &= \frac{3 × 8 \cdot xy^2z^3}{4yz^2} \\&= \frac{24xy^2z^3}{4yz^2} \\&= 6xyz\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{ab^2}{2cd} ÷ \frac{-3ax}{4cd} &= \frac{ab^2}{2cd} \cdot \frac{4cd}{-3ax} \\&= \frac{4ab^2cd}{2cd \cdot 3ax} \\&= -\frac{2b^2}{3x}\end{aligned}$
(3)
首先对 $a^2 + 2a$ 分解因式得 $a(a + 2)$，
$\begin{aligned}\frac{a + 2}{a - 2} \cdot \frac{1}{a^2 + 2a} &= \frac{a + 2}{a - 2} \cdot \frac{1}{a(a + 2)} \\&= \frac{a + 2}{a(a - 2)(a + 2)} \\&= \frac{1}{a(a - 2)} \\&= \frac{1}{a^2 - 2a}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}\frac{3a^2b}{7c^2} \cdot \frac{5a^2c^3}{21b} ÷ \frac{15a^3c^2}{14} &= \frac{3a^2b}{7c^2} \cdot \frac{5a^2c^3}{21b} \cdot \frac{14}{15a^3c^2} \\&= \frac{3 × 5 × 14 \cdot a^4bc^3}{7 × 21 × 15 \cdot a^3bc^4} \\&= \frac{210a^4bc^3}{2205a^3bc^4} \\&= \frac{2a}{21c}（约分后结果）\end{aligned}$
变式训练 计算：
(1)$\frac{ac^2}{2ab^2} \cdot \frac{4a^3b}{3a^2bc}$； (2)$\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4} ÷ \frac{x^2 + x}{x^2 - 4x + 4}$；
(3)$\frac{2x - 6}{9 - 6x + x^2} ÷ (x + 3) \cdot \frac{x^2 - 9}{3 - x}$。
(1)$\frac{ac^2}{2ab^2} \cdot \frac{4a^3b}{3a^2bc}$； (2)$\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4} ÷ \frac{x^2 + x}{x^2 - 4x + 4}$；
(3)$\frac{2x - 6}{9 - 6x + x^2} ÷ (x + 3) \cdot \frac{x^2 - 9}{3 - x}$。
答案
(1) $\frac{ac^2}{2ab^2} \cdot \frac{4a^3b}{3a^2bc}$
$=\frac{ac^2 \cdot 4a^3b}{2ab^2 \cdot 3a^2bc}$
$=\frac{4a^4bc^2}{6a^3b^3c}$
$=\frac{2ac}{3b^2}$
(2) $\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4} ÷ \frac{x^2 + x}{x^2 - 4x + 4}$
$=\frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{(x - 2)^2}{x(x + 1)}$
$=\frac{x(x + 2)(x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2)x(x + 1)}$
$=\frac{x - 2}{x + 1}$
(3) $\frac{2x - 6}{9 - 6x + x^2} ÷ (x + 3) \cdot \frac{x^2 - 9}{3 - x}$
$=\frac{2(x - 3)}{(x - 3)^2} \cdot \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{3 - x}$
$=\frac{2(x - 3)(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2(x + 3)(3 - x)}$
$=\frac{2}{3 - x}$
$=\frac{ac^2 \cdot 4a^3b}{2ab^2 \cdot 3a^2bc}$
$=\frac{4a^4bc^2}{6a^3b^3c}$
$=\frac{2ac}{3b^2}$
(2) $\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4} ÷ \frac{x^2 + x}{x^2 - 4x + 4}$
$=\frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{(x - 2)^2}{x(x + 1)}$
$=\frac{x(x + 2)(x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2)x(x + 1)}$
$=\frac{x - 2}{x + 1}$
(3) $\frac{2x - 6}{9 - 6x + x^2} ÷ (x + 3) \cdot \frac{x^2 - 9}{3 - x}$
$=\frac{2(x - 3)}{(x - 3)^2} \cdot \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{3 - x}$
$=\frac{2(x - 3)(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2(x + 3)(3 - x)}$
$=\frac{2}{3 - x}$
例 2 甲农科所有两块正方形试验田,边长分别为 $a$ 米和 $b$ 米($a$ 和 $b$ 不相等)；乙农科所有一块长为 $2a$ 米,宽为 $b$ 米的长方形试验田。两所在试验田种植的转基因抗虫棉的产量都是 $527$ kg。甲所还是乙所的棉花单位面积产量较高？高的是低的的多少倍？
名师导引 首先要依题意正确表示出单位面积的产量,再利用分式的除法法则求解。
名师导引 首先要依题意正确表示出单位面积的产量,再利用分式的除法法则求解。
答案
甲所试验田总面积：$a^2 + b^2$平方米，单位面积产量：$\frac{527}{a^2 + b^2}$ kg/平方米。
乙所试验田面积：$2a \cdot b = 2ab$平方米，单位面积产量：$\frac{527}{2ab}$ kg/平方米。
因$a \neq b$，$(a - b)^2 ＞ 0$，即$a^2 + b^2 ＞ 2ab$，故$\frac{527}{a^2 + b^2} ＜ \frac{527}{2ab}$，乙所单位面积产量较高。
高的是低的倍数：$\frac{527}{2ab} ÷ \frac{527}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 + b^2}{2ab}$。
结论：乙所单位面积产量较高，高的是低的$\frac{a^2 + b^2}{2ab}$倍。
乙所试验田面积：$2a \cdot b = 2ab$平方米，单位面积产量：$\frac{527}{2ab}$ kg/平方米。
因$a \neq b$，$(a - b)^2 ＞ 0$，即$a^2 + b^2 ＞ 2ab$，故$\frac{527}{a^2 + b^2} ＜ \frac{527}{2ab}$，乙所单位面积产量较高。
高的是低的倍数：$\frac{527}{2ab} ÷ \frac{527}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 + b^2}{2ab}$。
结论：乙所单位面积产量较高，高的是低的$\frac{a^2 + b^2}{2ab}$倍。
变式训练 一艘船往返于相距 $60$ 千米的两个码头之间,已知船在静水中的速度为 $x$ 千米/时($x ＞ 3$),水的流速为 $3$ 千米/时,那么船往返一次,顺水航行与逆水航行的时间的比值是
$\frac{x-3}{x+3}$
。答案
$\frac{x-3}{x+3}$（或 填写比值形式对应的“文字（或符号）表达式”的规范简化（如约去公因数等）后的$\frac{x - 3}{x + 3}$ ）
解析
顺水速度：船在静水中的速度加上水流速度，即$x+3$（千米/时），
所以顺水航行的时间为：$t_1=\frac{60}{x+3}$（小时），
逆水速度：船在静水中的速度减去水流速度，即$x-3$（千米/时），
所以逆水航行的时间为：$t_2=\frac{60}{x-3}$（小时），
所以，顺水航行与逆水航行的时间的比值为：
$\frac{t_1}{t_2}=\frac{\frac{60}{x+3}}{\frac{60}{x-3}}=\frac{x-3}{x+3}$。
所以顺水航行的时间为：$t_1=\frac{60}{x+3}$（小时），
逆水速度：船在静水中的速度减去水流速度，即$x-3$（千米/时），
所以逆水航行的时间为：$t_2=\frac{60}{x-3}$（小时），
所以，顺水航行与逆水航行的时间的比值为：
$\frac{t_1}{t_2}=\frac{\frac{60}{x+3}}{\frac{60}{x-3}}=\frac{x-3}{x+3}$。
1. 计算 $x^5y^4 \cdot \frac{y^3}{x}$ 的结果为
$x^4y^7$
。答案
$x^4y^7$
解析
$x^5y^4 \cdot \frac{y^3}{x} = x^5 \cdot \frac{1}{x} \cdot y^4 \cdot y^3 = x^{5 - 1} \cdot y^{4 + 3} = x^4y^7$
2. 化简 $\frac{3}{a^2 - 1} ÷ \frac{1}{a - 1}$ 的结果是
$\frac{3}{a + 1}$
。答案
解题步骤：
1. 将除法转化为乘法：
$\frac{3}{a^2 - 1} ÷ \frac{1}{a - 1} = \frac{3}{a^2 - 1} × (a - 1)$
2. 因式分解分母：
$a^2 - 1 = (a + 1)(a - 1)$
3. 代入并约分：
$\frac{3}{(a + 1)(a - 1)} × (a - 1) = \frac{3}{a + 1}$
最终结论：
$\frac{3}{a + 1}$
1. 将除法转化为乘法：
$\frac{3}{a^2 - 1} ÷ \frac{1}{a - 1} = \frac{3}{a^2 - 1} × (a - 1)$
2. 因式分解分母：
$a^2 - 1 = (a + 1)(a - 1)$
3. 代入并约分：
$\frac{3}{(a + 1)(a - 1)} × (a - 1) = \frac{3}{a + 1}$
最终结论：
$\frac{3}{a + 1}$
3. 已知 $\frac{m}{5} = \frac{n}{3} \neq 0$,则 $\frac{5m - 5n}{m^2 - 25n^2} \cdot (m - 5n)$ 的值为
$\frac{1}{2}$
。答案
$\frac{1}{2}$
解析
由题意得，$\frac{m}{5} = \frac{n}{3} \neq 0$，设$\frac{m}{5} = \frac{n}{3} = k(k \neq 0)$，则$m = 5k$，$n = 3k$。
原式$=\frac{5m - 5n}{m^2 - 25n^2} \cdot (m - 5n)$，先对分子分母因式分解：
分子$5m - 5n = 5(m - n)$；
分母$m^2 - 25n^2 = (m + 5n)(m - 5n)$（平方差公式）。
则原式可化为：
$\frac{5(m - n)}{(m + 5n)(m - 5n)} \cdot (m - 5n) = \frac{5(m - n)(m - 5n)}{(m + 5n)(m - 5n)}$
约分$(m - 5n)$（$m - 5n \neq 0$，否则与$\frac{m}{5} = \frac{n}{3} \neq 0$矛盾），得：
$\frac{5(m - n)}{m + 5n}$
将$m = 5k$，$n = 3k$代入上式：
$\frac{5(5k - 3k)}{5k + 5 \cdot 3k} = \frac{5 \cdot 2k}{5k + 15k} = \frac{10k}{20k} = \frac{1}{2}$
原式$=\frac{5m - 5n}{m^2 - 25n^2} \cdot (m - 5n)$，先对分子分母因式分解：
分子$5m - 5n = 5(m - n)$；
分母$m^2 - 25n^2 = (m + 5n)(m - 5n)$（平方差公式）。
则原式可化为：
$\frac{5(m - n)}{(m + 5n)(m - 5n)} \cdot (m - 5n) = \frac{5(m - n)(m - 5n)}{(m + 5n)(m - 5n)}$
约分$(m - 5n)$（$m - 5n \neq 0$，否则与$\frac{m}{5} = \frac{n}{3} \neq 0$矛盾），得：
$\frac{5(m - n)}{m + 5n}$
将$m = 5k$，$n = 3k$代入上式：
$\frac{5(5k - 3k)}{5k + 5 \cdot 3k} = \frac{5 \cdot 2k}{5k + 15k} = \frac{10k}{20k} = \frac{1}{2}$
4. 计算：
(1)$\frac{2x}{y^2} \cdot \frac{2y}{x}$； (2)$(-ab)^3 ÷ \left(-\frac{3a^3b}{c}\right)$；
(3)$\frac{a^2 - 6a + 9}{a^2 + 4a + 4} ÷ \frac{a^2 - 9}{a^2 + 2a} ÷ \frac{a}{a + 2}$；
(4)$98^2 - 105 × 95$。
(1)$\frac{2x}{y^2} \cdot \frac{2y}{x}$； (2)$(-ab)^3 ÷ \left(-\frac{3a^3b}{c}\right)$；
(3)$\frac{a^2 - 6a + 9}{a^2 + 4a + 4} ÷ \frac{a^2 - 9}{a^2 + 2a} ÷ \frac{a}{a + 2}$；
(4)$98^2 - 105 × 95$。
答案
(1) $\frac{2x}{y^2} \cdot \frac{2y}{x} = \frac{4xy}{xy^2} = \frac{4}{y}$
(2) $(-ab)^3 ÷ \left(-\frac{3a^3b}{c}\right) = -a^3b^3 \cdot \left(-\frac{c}{3a^3b}\right) = \frac{a^3b^3c}{3a^3b} = \frac{b^2c}{3}$
(3) $\frac{a^2 - 6a + 9}{a^2 + 4a + 4} ÷ \frac{a^2 - 9}{a^2 + 2a} ÷ \frac{a}{a + 2}$
$= \frac{(a-3)^2}{(a+2)^2} \cdot \frac{a(a+2)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+2}{a}$
$= \frac{(a-3)^2 \cdot a(a+2) \cdot (a+2)}{(a+2)^2 \cdot (a-3)(a+3) \cdot a} = \frac{a-3}{a+3}$
(4) $98^2 - 105 × 95 = (100-2)^2 - (100+5)(100-5)$
$= 100^2 - 400 + 4 - (100^2 - 25) = 10000 - 400 + 4 - 10000 + 25 = -371$
(2) $(-ab)^3 ÷ \left(-\frac{3a^3b}{c}\right) = -a^3b^3 \cdot \left(-\frac{c}{3a^3b}\right) = \frac{a^3b^3c}{3a^3b} = \frac{b^2c}{3}$
(3) $\frac{a^2 - 6a + 9}{a^2 + 4a + 4} ÷ \frac{a^2 - 9}{a^2 + 2a} ÷ \frac{a}{a + 2}$
$= \frac{(a-3)^2}{(a+2)^2} \cdot \frac{a(a+2)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+2}{a}$
$= \frac{(a-3)^2 \cdot a(a+2) \cdot (a+2)}{(a+2)^2 \cdot (a-3)(a+3) \cdot a} = \frac{a-3}{a+3}$
(4) $98^2 - 105 × 95 = (100-2)^2 - (100+5)(100-5)$
$= 100^2 - 400 + 4 - (100^2 - 25) = 10000 - 400 + 4 - 10000 + 25 = -371$
