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例 3 小明的爸爸$32$岁,小明$8$岁,那么几年后小明爸爸的年龄是小明的$3$倍？设$x$年后,爸爸的年龄是小明的$3$倍,则可列方程
名师导引 爸爸和儿子的年龄差不变。
$32 + x = 3(8 + x)$
。名师导引 爸爸和儿子的年龄差不变。
答案
方程为$32 + x = 3(8 + x)$（直接填写方程即可，无需解方程）。
解析
设$x$年后，爸爸的年龄是小明的$3$倍。
$x$年后，小明的年龄为$8 + x$岁，爸爸的年龄为$32 + x$岁。
根据题意，爸爸的年龄是小明的$3$倍，因此可列方程：
$32 + x = 3(8 + x)$。
$x$年后，小明的年龄为$8 + x$岁，爸爸的年龄为$32 + x$岁。
根据题意，爸爸的年龄是小明的$3$倍，因此可列方程：
$32 + x = 3(8 + x)$。
变式训练 古希腊数学家丢番图被认为是代数学的鼻祖。他留有一块墓志铭,上面镌刻着他的一些情况：“他生命的六分之一是幸福的童年,再活十二分之一,颊上长出了细须,又过了生命的七分之一才结婚。再过$5$年他感到很幸福,得了一个儿子。可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半。儿子死后,老人在悲痛中活了$4$年,结束了尘世的生涯。”设丢番图去世时的年龄为$x$岁,根据以上信息,可得方程
$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x$
。答案
$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x$。
解析
设丢番图去世时的年龄为$x$岁。
根据题意，他生命的各个阶段可以表示为：
幸福的童年：$\frac{x}{6}$，
颊上长出了细须：$\frac{x}{12}$，
结婚前：$\frac{x}{7}$，
结婚后再过5年：$5$，
儿子的生命（他父亲的一半）：$\frac{x}{2}$，
儿子死后，老人在悲痛中活了4年：$4$。
将上述各阶段相加，应等于丢番图的总寿命$x$，所以方程为：
$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x$。
根据题意，他生命的各个阶段可以表示为：
幸福的童年：$\frac{x}{6}$，
颊上长出了细须：$\frac{x}{12}$，
结婚前：$\frac{x}{7}$，
结婚后再过5年：$5$，
儿子的生命（他父亲的一半）：$\frac{x}{2}$，
儿子死后，老人在悲痛中活了4年：$4$。
将上述各阶段相加，应等于丢番图的总寿命$x$，所以方程为：
$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x$。
1. 下列移项正确的是(
A.$12 - 2x = -6 \Rightarrow 12 - 6 = 2x$
B.$-8x - 4 = -5x - 2 \Rightarrow 8x + 5x = 4 - 2$
C.$5x + 3 = 4x + 2 \Rightarrow 5x - 2 = 4x - 3$
D.$-3x - 4 = 2x - 8 \Rightarrow 8 - 4 = 2x - 3x$
C
)A.$12 - 2x = -6 \Rightarrow 12 - 6 = 2x$
B.$-8x - 4 = -5x - 2 \Rightarrow 8x + 5x = 4 - 2$
C.$5x + 3 = 4x + 2 \Rightarrow 5x - 2 = 4x - 3$
D.$-3x - 4 = 2x - 8 \Rightarrow 8 - 4 = 2x - 3x$
答案
C
解析
A. $12 - 2x = -6$，移项得$12 + 6 = 2x$，原选项错误；
B. $-8x - 4 = -5x - 2$，移项得$-8x + 5x = -2 + 4$，原选项错误；
C. $5x + 3 = 4x + 2$，移项得$5x - 2 = 4x - 3$，正确；
D. $-3x - 4 = 2x - 8$，移项得$-4 + 8 = 2x + 3x$，原选项错误。
B. $-8x - 4 = -5x - 2$，移项得$-8x + 5x = -2 + 4$，原选项错误；
C. $5x + 3 = 4x + 2$，移项得$5x - 2 = 4x - 3$，正确；
D. $-3x - 4 = 2x - 8$，移项得$-4 + 8 = 2x + 3x$，原选项错误。
2. 小明在解关于$x的一元一次方程\frac{x}{2} - m = x$时,由于粗心大意,移项时忘记了改变符号,变形为$\frac{x}{2} + x = -m$,求得方程的解为$x = 1$,则原方程的解为(
A.$x = -1$
B.$x = 1$
C.$x = 2$
D.$x = 3$
D
)A.$x = -1$
B.$x = 1$
C.$x = 2$
D.$x = 3$
答案
A（错，应为D）（按照最终推导答案为D） D
解析
根据题意，小明将方程 $\frac{x}{2} - m = x$ 错误地变形为 $\frac{x}{2} + x = -m$，并解得 $x = 1$。
将 $x = 1$ 代入错误方程 $\frac{1}{2} + 1 = -m$，解得 $m = -\frac{3}{2}$。
将 $m = -\frac{3}{2}$ 代入原方程 $\frac{x}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right) = x$，即 $\frac{x}{2} + \frac{3}{2} = x$。
移项得 $\frac{x}{2} - x = -\frac{3}{2}$，即 $-\frac{x}{2} = -\frac{3}{2}$。
解得 $x = 3$。
将 $x = 1$ 代入错误方程 $\frac{1}{2} + 1 = -m$，解得 $m = -\frac{3}{2}$。
将 $m = -\frac{3}{2}$ 代入原方程 $\frac{x}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right) = x$，即 $\frac{x}{2} + \frac{3}{2} = x$。
移项得 $\frac{x}{2} - x = -\frac{3}{2}$，即 $-\frac{x}{2} = -\frac{3}{2}$。
解得 $x = 3$。
3. 填空：
(1)$\frac{1}{2}y - 27 = -15 - y$,移项(不合并)后得
(2)$51 - x = 45 + x$,移项(不合并)后得
(1)$\frac{1}{2}y - 27 = -15 - y$,移项(不合并)后得
$\frac{1}{2}y + y = - 15 + 27$
；(2)$51 - x = 45 + x$,移项(不合并)后得
$- x - x = 45 - 51$
。答案
(1) $\frac{1}{2}y + y = - 15 + 27$
(2) $- x - x = 45 - 51$
(2) $- x - x = 45 - 51$
解析
(1) 对于方程 $\frac{1}{2}y - 27 = -15 - y$，需要将方程两边的$y$项和常数项分别移到同一边。
即，将 $-y$ 移到左边，变为 $\frac{1}{2}y + y$，将 $-27$ 移到右边，变为 $-15 + 27$。
所以移项后得：$\frac{1}{2}y + y = -15 + 27$。
(2) 对于方程 $51 - x = 45 + x$，需要将方程两边的$x$项和常数项分别移到同一边。
即，将 $x$ 移到左边，变为 $-x - x$，将 $51$ 移到右边，变为 $45 - 51$（或者理解为将45移到左边变为负，51移到右边变为正，即$-x-x=45-51$）。
所以移项后得：$-x - x = 45 - 51$。
即，将 $-y$ 移到左边，变为 $\frac{1}{2}y + y$，将 $-27$ 移到右边，变为 $-15 + 27$。
所以移项后得：$\frac{1}{2}y + y = -15 + 27$。
(2) 对于方程 $51 - x = 45 + x$，需要将方程两边的$x$项和常数项分别移到同一边。
即，将 $x$ 移到左边，变为 $-x - x$，将 $51$ 移到右边，变为 $45 - 51$（或者理解为将45移到左边变为负，51移到右边变为正，即$-x-x=45-51$）。
所以移项后得：$-x - x = 45 - 51$。
4. 某企业管理人员与营销人员人数之比是$3:2$,总人数为$180$人。现拟从管理人员中抽调人员参加营销工作,那么抽调
48
人后,营销人员人数是管理人员的$2$倍。答案
设管理人员有$3x$人，营销人员有$2x$人。
根据总人数为$180$人，得：
$3x + 2x = 180$
$5x = 180$
$x = 36$
管理人员有$3 × 36 = 108$人，营销人员有$2 × 36 = 72$人。
设抽调$y$人后，营销人员人数是管理人员的$2$倍，得：
$2(108 - y) = 72 + y$
$216 - 2y = 72 + y$
$3y = 144$
$y = 48$
故抽调$48$人后，营销人员人数是管理人员的$2$倍。
根据总人数为$180$人，得：
$3x + 2x = 180$
$5x = 180$
$x = 36$
管理人员有$3 × 36 = 108$人，营销人员有$2 × 36 = 72$人。
设抽调$y$人后，营销人员人数是管理人员的$2$倍，得：
$2(108 - y) = 72 + y$
$216 - 2y = 72 + y$
$3y = 144$
$y = 48$
故抽调$48$人后，营销人员人数是管理人员的$2$倍。
5. 已知明明的年龄是$m$,红红的年龄比明明的年龄的$2倍少4$,元元的年龄比红红的年龄的$\frac{1}{2}还多1$。
(1)用含$m$的式子分别表示红红、元元的年龄以及三人的年龄和；
(2)若三人的年龄和为$35$岁,请你求出他们的年龄。
(1)用含$m$的式子分别表示红红、元元的年龄以及三人的年龄和；
(2)若三人的年龄和为$35$岁,请你求出他们的年龄。
答案
(1)
红红的年龄：$2m - 4$；
元元的年龄：$\frac{1}{2}(2m - 4)+1=m - 2 + 1=m - 1$；
三人年龄和：$m+(2m - 4)+(m - 1)=m + 2m-4 + m-1=4m - 5$。
(2)
由题意得$4m - 5 = 35$，
移项可得$4m=35 + 5$，
即$4m = 40$，
解得$m = 10$。
红红的年龄：$2m - 4=2×10 - 4 = 16$（岁）；
元元的年龄：$m - 1=10 - 1 = 9$（岁）。
答：明明的年龄是$10$岁，红红的年龄是$16$岁，元元的年龄是$9$岁。
红红的年龄：$2m - 4$；
元元的年龄：$\frac{1}{2}(2m - 4)+1=m - 2 + 1=m - 1$；
三人年龄和：$m+(2m - 4)+(m - 1)=m + 2m-4 + m-1=4m - 5$。
(2)
由题意得$4m - 5 = 35$，
移项可得$4m=35 + 5$，
即$4m = 40$，
解得$m = 10$。
红红的年龄：$2m - 4=2×10 - 4 = 16$（岁）；
元元的年龄：$m - 1=10 - 1 = 9$（岁）。
答：明明的年龄是$10$岁，红红的年龄是$16$岁，元元的年龄是$9$岁。
6. 先看例子,再解类似的题目：
例：解方程：$\vert x\vert - 1 = 5$。
解法一：当$x \geq 0$时,原方程化为$x - 1 = 5$,解方程,得$x = 6$；当$x ＜ 0$时,原方程化为$-x - 1 = 5$,解方程,得$x = -6$。所以方程$\vert x\vert - 1 = 5的解为x = 6或x = -6$。
解法二：移项,得$\vert x\vert = 5 + 1$,合并同类项,得$\vert x\vert = 6$,由绝对值的意义知,$x = \pm 6$。所以原方程的解为$x = 6或x = -6$。
问题：用你发现的规律解方程$3\vert x\vert - 7 = 8$。
例：解方程：$\vert x\vert - 1 = 5$。
解法一：当$x \geq 0$时,原方程化为$x - 1 = 5$,解方程,得$x = 6$；当$x ＜ 0$时,原方程化为$-x - 1 = 5$,解方程,得$x = -6$。所以方程$\vert x\vert - 1 = 5的解为x = 6或x = -6$。
解法二：移项,得$\vert x\vert = 5 + 1$,合并同类项,得$\vert x\vert = 6$,由绝对值的意义知,$x = \pm 6$。所以原方程的解为$x = 6或x = -6$。
问题：用你发现的规律解方程$3\vert x\vert - 7 = 8$。
答案
解方程：$3|x| - 7 = 8$。
移项，得：
$3|x| = 8 + 7$，
合并同类项，得：
$3|x| = 15$，
系数化为1，得：
$|x| = 5$，
由绝对值的意义知，$x = \pm 5$。
所以原方程的解为$x = 5$或$x = -5$。
移项，得：
$3|x| = 8 + 7$，
合并同类项，得：
$3|x| = 15$，
系数化为1，得：
$|x| = 5$，
由绝对值的意义知，$x = \pm 5$。
所以原方程的解为$x = 5$或$x = -5$。
