1. 若等腰三角形的底边长为 10 cm,周长为 36 cm,则底角的正弦值为 ()
A.$\frac{5}{18}$
B.$\frac{5}{16}$
C.$\frac{13}{15}$
D.$\frac{12}{13}$

D

设等腰三角形的腰长为$x\ cm$，底边长为$10\ cm$，周长为$36\ cm$，则$2x + 10 = 36$，解得$x = 13$。
过等腰三角形顶点作底边的垂线，垂足为底边中点，将等腰三角形分为两个全等的直角三角形。直角三角形的一条直角边为底边的一半，即$\frac{10}{2} = 5\ cm$，斜边为腰长$13\ cm$。
根据勾股定理，另一条直角边（高）为$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ cm$。
底角的正弦值为对边（高）与斜边（腰长）的比，即$\frac{12}{13}$。
D

2. 在 Rt△ABC 中,AD 是斜边 BC 上的高,如果 $BC= a$,$\angle B= \alpha$,那么 AD 等于 ()
A.$a\sin2\alpha$
B.$a\cos2\alpha$
C.$a\sin\alpha\cos\alpha$
D.$a\sin\alpha\tan\alpha$

C

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=a，∠B=α。
因为AD是斜边BC上的高，所以∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，AD=AB·sinα；
在Rt△ABC中，AB=BC·cosα=a·cosα；
所以$AD=AB·sinα=a·cosα·sinα=a\sin\alpha\cos\alpha。$
C

3. 在 Rt△ABC 中,$\angle C= 90^\circ$,$\angle A= 30^\circ$,$AC= 3$,则 $BC= $,$AB= $.

$\sqrt{3}$；$2\sqrt{3}$

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=30^\circ$，$AC=3$。
设$BC=x$，则$AB=2x$（在直角三角形中，$30^\circ$角所对的直角边等于斜边的一半）。
由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，即$3^2 + x^2 = (2x)^2$。
$9 + x^2 = 4x^2$
$3x^2 = 9$
$x^2 = 3$
$x = \sqrt{3}$（$x＞0$）
则$AB=2x=2\sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$；$2\sqrt{3}$

4. 半径为 20 的圆的内接正三角形的边长为.

$20\sqrt{3}$

设圆的半径为$R$，内接正三角形的边长为$a$。对于半径为$R$的圆的内接正三角形，其边长公式为$a = \sqrt{3}R$。已知$R = 20$，则$a=\sqrt{3}×20 = 20\sqrt{3}$。
$20\sqrt{3}$

5. 在 Rt△ABC 中,$\angle C= 90^\circ$,$b+c= 24$,$\angle A-\angle B= 30^\circ$,解此直角三角形.

在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C=90^\circ$，所以$\angle A + \angle B = 90^\circ$。
根据题目条件，$\angle A - \angle B = 30^\circ$。
解这个方程组：
$\begin{cases}\angle A + \angle B = 90^\circ,\\\angle A - \angle B = 30^\circ.\end{cases}$
得到$\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 30^\circ$。
利用正弦函数，有$\sin B = \frac{b}{c}$。
因为$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$，所以$\frac{b}{c} = \frac{1}{2}$，即$c = 2b$。
根据题目条件，$b + c = 24$，将$c = 2b$代入，得到$b + 2b = 24$，解得$b = 8$。
所以$c = 2b = 16$。
利用勾股定理，$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$。
综上，$Rt \bigtriangleup ABC$的三边长为$a = 8\sqrt{3}$，$b = 8$，$c = 16$，角度$\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 30^\circ$，$\angle C = 90^\circ$。

6. 在△ABC 中,$\angle C= 90^\circ$,$\angle B= 30^\circ$,AD 是$\angle BAC$的平分线,交 BC 于点 D. 已知 $AB= 4\sqrt{3}$,求 AD 的长.

在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle B=30^\circ$，$AB= 4\sqrt{3}$，
$\therefore AC = \frac{1}{2}AB =2\sqrt{3}$，
$\angle BAC=90^\circ-\angle B=60^\circ$，
$\because AD$是$\angle BAC$的平分线，
$\therefore \angle DAC=\frac{1}{2}\angle BAC=30^\circ$，
$\therefore AD=\frac{AC}{\cos 30^\circ}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$。
综上，AD的长为4。

7. 已知 BD,CE 分别是△ABC 的两条高,$\angle BCE= 45^\circ$,$\angle CBD= 30^\circ$. 若 $CE= 3\sqrt{2}$,求 BD 的长.

因为$CE \perp AB$，且$\angle BCE = 45^\circ$，
所以$\angle BEC = 90^\circ$，且$\bigtriangleup BEC$为等腰直角三角形，
所以$BC = \sqrt{2} × CE = \sqrt{2} × 3\sqrt{2} = 6$，
因为$BD \perp AC$，且$\angle CBD = 30^\circ$，
在直角三角形$\bigtriangleup BCD$中，由$30^\circ-60^\circ-90^\circ$的直角三角形性质，
我们有$BD = BC × \cos 30^\circ = 6 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$，
所以$BD = 3\sqrt{3}$。