【典型例题1】如图,点P在线段AB的垂直平分线上,PC⊥PA,PD⊥PB,AC= BD。求证：点P在线段CD的垂直平分线上。

思路导引 要证明点P在线段CD的垂直平分线上,根据线段垂直平分线的性质,只需证明PD= PC。利用线段垂直平分线的性质提供条件,通过证明Rt△APC与Rt△BPD全等,得到所需条件。
【证明】因为点P在线段AB的垂直平分线上,所以PA= PB。因为PC⊥PA,PD⊥PB,所以∠APC= ∠BPD= 90°。在Rt△APC和Rt△BPD中,{AC= BD,PA= PB,}所以Rt△APC≌Rt△BPD(HL),所以PC= PD,所以点P在线段CD的垂直平分线上。
规律方法 1. 线段垂直平分线的性质与全等三角形的性质都是证明两条线段相等的重要依据与途径。当要证相等的两条线段能在同一个三角形时,不妨考虑线段垂直平分线的性质。
2. 线段垂直平分线的性质可以证明一个点在一条直线上,进而也可为证明直线的垂直关系提供依据。

证明：
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB。
∵PC⊥PA，PD⊥PB，
∴∠APC=∠BPD=90°。
在Rt△APC和Rt△BPD中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BD,\\ PA=PB,\end{array}\right.$
∴Rt△APC≌Rt△BPD（HL）。
∴PC=PD。
∴点P在线段CD的垂直平分线上。

1. 如图,已知直线MN是线段AB的垂直平分线,O为垂足,C,D是直线MN上两点,且AC= BD,试证明AB所在的直线是线段CD的垂直平分线。

证明：
∵MN是AB的垂直平分线，O为垂足，
∴AO=BO，MN⊥AB，即∠AOC=∠BOD=90°。
∵C，D在MN上，
∴在Rt△AOC和Rt△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BD\\ AO=BO\end{array}\right.$，
∴Rt△AOC≌Rt△BOD（HL）。
∴CO=DO。
∵MN⊥AB，CD在MN上，
∴AB⊥CD。
∵AB⊥CD且CO=DO，
∴AB是CD的垂直平分线。

【典型例题2】命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是,它们______(填“是”或“不是”)互逆定理。
【答案】有两个锐角互余的三角形是直角三角形 是

有两个锐角互余的三角形是直角三角形 是

交换原命题的题设与结论得到逆命题为“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”；因为原命题“直角三角形的两个锐角互余”是真命题，其逆命题“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”也是真命题，所以它们是互逆定理。

2. 下列命题的逆命题是真命题的是()
A.如果a＞b,那么ac＞bc
B.如果a= b= 0,那么ab= 0
C.如果a＞b,那么$a^2＞b^2$
D.如果|a|= |b|,那么a= b

D

A选项：
原命题：如果$a \gt b$，那么$ac \gt bc$；
逆命题：如果$ac \gt bc$，那么$a \gt b$；
考虑$c \lt 0$时，$ac \gt bc$则$a \lt b$，所以逆命题为假；
B选项：
原命题：如果$a = b = 0$，那么$ab = 0$；
逆命题：如果$ab = 0$，那么$a = b = 0$；
考虑$a=1,b=0$时，$ab=0$，但$a \neq 0$，所以逆命题为假；
C选项：
原命题：如果$a \gt b$，那么$a^2 \gt b^2$；
逆命题：如果$a^2 \gt b^2$，那么$a \gt b$；
考虑$a=-2,b=1$时，$a^2=4,b^2=1$，但$a \lt b$，所以逆命题为假；
D选项：
原命题：如果$\vert a\vert =\vert b\vert$，那么$a = b$；
逆命题：如果$a = b$，那么$\vert a\vert =\vert b\vert$；
如果$a = b$，则它们的绝对值一定相等，所以逆命题为真；
综上所述，只有D选项的逆命题是真命题。