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1. (2023 澄海期末) 竖直向上发射的小球的高度 $ h $(米)关于运动时间 $ t $(秒)的函数表达式为 $ h = at^{2} + bt $,其图象如图所示。若小球在发射后第 2 秒与第 6 秒时的高度相等,则下列时刻中,小球的高度最高的是(
A.第 2.5 秒
B.第 3 秒
C.第 3.5 秒
D.第 4 秒
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D
)A.第 2.5 秒
B.第 3 秒
C.第 3.5 秒
D.第 4 秒
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答案
D
解析
因为小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，所以抛物线$h=at^2+bt$的对称轴为直线$t=\frac{2+6}{2}=4$。对于二次函数，当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，即小球高度最高的时刻是第4秒。
2. (2024 开封二模) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ BC = 4 $ cm,$ AB = 5 $ cm,点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,沿 $ AC $ 以 1 cm/s 的速度向点 $ C $ 运动,同时点 $ Q $ 从点 $ C $ 出发,沿 $ CB $ 以 2 cm/s 的速度向点 $ B $ 运动(当点 $ Q $ 运动到点 $ B $ 时,点 $ P $,$ Q $ 同时停止运动)。在运动过程中,四边形 $ PABQ $ 的最小面积为(
A.$ \frac{15}{2} $ $ cm^{2} $
B.$ \frac{9}{2} $ $ cm^{2} $
C.$ \frac{15}{4} $ $ cm^{2} $
D.$ \frac{9}{4} $ $ cm^{2} $
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C
)A.$ \frac{15}{2} $ $ cm^{2} $
B.$ \frac{9}{2} $ $ cm^{2} $
C.$ \frac{15}{4} $ $ cm^{2} $
D.$ \frac{9}{4} $ $ cm^{2} $
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答案
C
解析
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理可得$AC = \sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3cm$。
设运动时间为$t$秒，则$AP = t cm$，$CQ = 2t cm$，所以$PC=(3 - t)cm$。
四边形$PABQ$的面积$S = S_{\triangle ABC}-S_{\triangle PCQ}$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×3×4 = 6cm^{2}$，$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}×(3 - t)×2t=(3t - t^{2})cm^{2}$。
所以$S = 6-(3t - t^{2})=t^{2}-3t + 6$。
对于二次函数$y=t^{2}-3t + 6$，其中$a = 1$，$b=-3$，$c = 6$，其对称轴为$t=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$。
因为$0\leq t\leq\frac{4}{2}=2$（$Q$运动到$B$时，$2t = 4$，$t = 2$），且$a = 1\gt0$，函数开口向上，所以当$t=\frac{3}{2}$时，$S$有最小值，$S_{min}=\frac{4×1×6-(-3)^{2}}{4×1}=\frac{24 - 9}{4}=\frac{15}{4}cm^{2}$。
设运动时间为$t$秒，则$AP = t cm$，$CQ = 2t cm$，所以$PC=(3 - t)cm$。
四边形$PABQ$的面积$S = S_{\triangle ABC}-S_{\triangle PCQ}$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×3×4 = 6cm^{2}$，$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}×(3 - t)×2t=(3t - t^{2})cm^{2}$。
所以$S = 6-(3t - t^{2})=t^{2}-3t + 6$。
对于二次函数$y=t^{2}-3t + 6$，其中$a = 1$，$b=-3$，$c = 6$，其对称轴为$t=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$。
因为$0\leq t\leq\frac{4}{2}=2$（$Q$运动到$B$时，$2t = 4$，$t = 2$），且$a = 1\gt0$，函数开口向上，所以当$t=\frac{3}{2}$时，$S$有最小值，$S_{min}=\frac{4×1×6-(-3)^{2}}{4×1}=\frac{24 - 9}{4}=\frac{15}{4}cm^{2}$。
3. (2023 商河期末) 如图,某村要建一个长方形的养鸡场,且一边靠墙(足够长),如果用 60 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场,设养鸡场的长为 $ x $ m,当 $ x = $
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30
m 时,养鸡场的面积最大。[img]
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答案
30
解析
设养鸡场的长为 $x$ 米，宽为 $y$ 米。
根据题意，篱笆的总长为 $60$ 米，且中间有一道篱笆，所以：
$x + 3y = 60$，
即$3y = 60 - x$，
$y = \frac{60 - x}{3} = 20 - \frac{x}{3}$，
养鸡场的面积 $S$ 可以表示为：
$S = x × y = x \left( 20 - \frac{x}{3} \right) = 20x - \frac{x^2}{3}$，
将 $S$ 表达为关于 $x$ 的二次函数：
$S = -\frac{1}{3}x^2 + 20x$，
为了求 $S$ 的最大值将其转化为顶点式：
$S = -\frac{1}{3}(x^2 - 60x) = -\frac{1}{3}(x^2 - 60x + 900 - 900) = -\frac{1}{3}(x - 30)^2 + 300$，
由于二次项系数为负，这是一个开口向下的抛物线，因此最大值出现在顶点处，即 $x = 30$ 时，$S$ 取得最大值。
根据题意，篱笆的总长为 $60$ 米，且中间有一道篱笆，所以：
$x + 3y = 60$，
即$3y = 60 - x$，
$y = \frac{60 - x}{3} = 20 - \frac{x}{3}$，
养鸡场的面积 $S$ 可以表示为：
$S = x × y = x \left( 20 - \frac{x}{3} \right) = 20x - \frac{x^2}{3}$，
将 $S$ 表达为关于 $x$ 的二次函数：
$S = -\frac{1}{3}x^2 + 20x$，
为了求 $S$ 的最大值将其转化为顶点式：
$S = -\frac{1}{3}(x^2 - 60x) = -\frac{1}{3}(x^2 - 60x + 900 - 900) = -\frac{1}{3}(x - 30)^2 + 300$，
由于二次项系数为负，这是一个开口向下的抛物线，因此最大值出现在顶点处，即 $x = 30$ 时，$S$ 取得最大值。
4. (2024 喀什地区二模) 如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面 2 m 时,水面的宽度为 4 m。若水面再上升 1.5 m,则水面的宽度为
2
m。答案
2
解析
以拱顶为原点，竖直向下为y轴正方向，建立直角坐标系，抛物线方程为$y=ax^2$。
当拱顶离水面2m时，水面宽4m，即点$(2,-2)$在抛物线上，代入得$-2=a×2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，故抛物线方程为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
水面上升1.5m后，水面离拱顶的距离为$2-1.5=0.5m$，即$y=-0.5$。
代入方程$-0.5=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x=\pm1$，水面宽度为$1-(-1)=2m$。
当拱顶离水面2m时，水面宽4m，即点$(2,-2)$在抛物线上，代入得$-2=a×2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，故抛物线方程为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
水面上升1.5m后，水面离拱顶的距离为$2-1.5=0.5m$，即$y=-0.5$。
代入方程$-0.5=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x=\pm1$，水面宽度为$1-(-1)=2m$。
5. 如图,某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地 $ ABCD $,该基地一边靠墙(墙长为 $ a $ 米),另三边用总长 40 米的栅栏围成。
(1) 当 $ a = 25 $ 时,劳动教育基地的最大面积为______平方米；
(2) 当劳动教育基地的最大面积为 150 平方米时,求 $ a $ 的值。
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(1)
(2)
(1) 当 $ a = 25 $ 时,劳动教育基地的最大面积为______平方米；
(2) 当劳动教育基地的最大面积为 150 平方米时,求 $ a $ 的值。
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(1)
200
(2)
10
答案
(1) 设与墙垂直的边长为 $ x $ 米，则与墙平行的边长为 $ (40 - 2x) $ 米，面积 $ S = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x $。该二次函数对称轴为 $ x = 10 $，此时与墙平行的边长为 $ 40 - 2×10 = 20 $ 米，因 $ 20 \leq 25 $（墙长 $ a = 25 $），故最大面积为 $ S = -2×10^2 + 40×10 = 200 $ 平方米。
(2) 二次函数 $ S = -2x^2 + 40x $ 顶点值为 200 平方米，因最大面积 150 ＜ 200，故此时与墙平行的边长等于墙长 $ a $。则 $ S = a·\frac{40 - a}{2} = 150 $，即 $ a(40 - a) = 300 $，整理得 $ a^2 - 40a + 300 = 0 $，解得 $ a = 10 $ 或 $ a = 30 $。当 $ a = 30 $ 时，最大面积为 200 平方米（不合题意，舍去），故 $ a = 10 $。
(1) 200
(2) 10
(2) 二次函数 $ S = -2x^2 + 40x $ 顶点值为 200 平方米，因最大面积 150 ＜ 200，故此时与墙平行的边长等于墙长 $ a $。则 $ S = a·\frac{40 - a}{2} = 150 $，即 $ a(40 - a) = 300 $，整理得 $ a^2 - 40a + 300 = 0 $，解得 $ a = 10 $ 或 $ a = 30 $。当 $ a = 30 $ 时，最大面积为 200 平方米（不合题意，舍去），故 $ a = 10 $。
(1) 200
(2) 10
