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【例题】取一块长80 cm,宽60 cm的矩形白铁皮,在它的四个角上截四个大小相同的正方形后,把四边折起来,做成一个没有盖子的长方体盒子,如果做成底面积为$1500 cm^2$的长方体盒子,截下的小正方形的边长是多少?
【思路点拨】设截下的小正方形的边长为x cm,则折成的没有盖子的长方体盒子的底面的长为(80-2x)cm,宽为(60-2x)cm,则可得方程.
【解答】
【思路点拨】设截下的小正方形的边长为x cm,则折成的没有盖子的长方体盒子的底面的长为(80-2x)cm,宽为(60-2x)cm,则可得方程.
【解答】
答案
设截下的小正方形的边长为$x$ cm。
根据题意，折成的长方体盒子的底面长为$(80 - 2x)$ cm，宽为$(60 - 2x)$ cm。
由底面积为$1500 cm^2$，可得方程：
$(80 - 2x)(60 - 2x) = 1500$
展开方程得：
$4800 - 160x - 120x + 4x^2 = 1500$
整理得：
$4x^2 - 280x + 3300 = 0$
除以4得：
$x^2 - 70x + 825 = 0$
因式分解得：
$(x - 15)(x - 55) = 0$
解得：
$x_1 = 15, \quad x_2 = 55$
由于$x_2 = 55$不符合题意（会导致底面长或宽为负数），所以舍去。
最终解得：
$x = 15$
答：截下的小正方形的边长是15 cm。
根据题意，折成的长方体盒子的底面长为$(80 - 2x)$ cm，宽为$(60 - 2x)$ cm。
由底面积为$1500 cm^2$，可得方程：
$(80 - 2x)(60 - 2x) = 1500$
展开方程得：
$4800 - 160x - 120x + 4x^2 = 1500$
整理得：
$4x^2 - 280x + 3300 = 0$
除以4得：
$x^2 - 70x + 825 = 0$
因式分解得：
$(x - 15)(x - 55) = 0$
解得：
$x_1 = 15, \quad x_2 = 55$
由于$x_2 = 55$不符合题意（会导致底面长或宽为负数），所以舍去。
最终解得：
$x = 15$
答：截下的小正方形的边长是15 cm。
1. 如图,在宽为20 m,长为30 m的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.根据图中数据,计算耕地的面积为 (
$A.600 m^2$
$B.551 m^2$
$C.550 m^2$
$D.500 m^2$
B
)$A.600 m^2$
$B.551 m^2$
$C.550 m^2$
$D.500 m^2$
答案
B
解析
设道路宽为$x$米，由图可知$x = 1$米。
耕地面积 = 矩形总面积 - 两条道路面积 + 道路重叠部分面积
矩形总面积：$30×20 = 600$（平方米）
两条道路面积：$30x + 20x = 50x$
道路重叠部分面积：$x^2$
耕地面积：$600 - 50x + x^2$
将$x = 1$代入得：$600 - 50×1 + 1^2 = 551$（平方米）
耕地面积 = 矩形总面积 - 两条道路面积 + 道路重叠部分面积
矩形总面积：$30×20 = 600$（平方米）
两条道路面积：$30x + 20x = 50x$
道路重叠部分面积：$x^2$
耕地面积：$600 - 50x + x^2$
将$x = 1$代入得：$600 - 50×1 + 1^2 = 551$（平方米）
2. 一个矩形的长是宽的3倍,若宽增加3 cm,它就变成正方形,则矩形的面积是 (
A.$\frac{4}{3}cm^2$
B.$\frac{27}{4}cm^2$
$C.9 cm^2$
$D.27 cm^2$
B
)A.$\frac{4}{3}cm^2$
B.$\frac{27}{4}cm^2$
$C.9 cm^2$
$D.27 cm^2$
答案
B
解析
设矩形的宽为$x$ cm，则长为$3x$ cm。根据题意，当宽增加3 cm后，宽变为$x+3$ cm，此时与长相等，即$x+3=3x$。解这个方程得到$x=\frac{3}{2}$ cm。因此，矩形的长为$3 × \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$ cm。矩形的面积为长乘以宽，即$\frac{3}{2} × \frac{9}{2} = \frac{27}{4}$ $cm^2$。
3. 某品牌电视机经过连续两次降价,每台售价由原来的1500元降到了980元.设平均每次降价的百分率为x,则下列方程正确的是 (
A.$1500(1+x)^2= 980$
B.$980(1+x)^2= 1500$
C.$1500(1-x)^2= 980$
D.$980(1-x)^2= 1500$
C
)A.$1500(1+x)^2= 980$
B.$980(1+x)^2= 1500$
C.$1500(1-x)^2= 980$
D.$980(1-x)^2= 1500$
答案
设原价为1500元，平均每次降价的百分率为x。
第一次降价后的售价为：$1500(1-x)$。
第二次降价后的售价为：$1500(1-x)(1-x) = 1500(1-x)^{2}$。
根据题意，这个售价降到了980元，所以我们有方程：
$1500(1-x)^{2} = 980$
故选C。
第一次降价后的售价为：$1500(1-x)$。
第二次降价后的售价为：$1500(1-x)(1-x) = 1500(1-x)^{2}$。
根据题意，这个售价降到了980元，所以我们有方程：
$1500(1-x)^{2} = 980$
故选C。
4. 一块正方形钢板上截去3 cm宽的长方形钢条,剩下的面积是$54 cm^2,$则原来这块钢板的面积是
81
$cm^2.$答案
81
解析
设原正方形的边长为$x$ cm，则原正方形的面积为$x^2 cm^2$。
截去3 cm宽的长方形钢条后，剩下的部分是一个长方形，其长为原正方形的边长$x$ cm，宽为$(x - 3)$ cm。
根据题意，剩下的长方形的面积是$54 cm^2$，因此有方程：
$x(x - 3) = 54$
展开方程得：
$x^2 - 3x - 54 = 0$
因式分解该方程：
$(x - 9)(x + 6) = 0$
解得：
$x = 9 \quad 或 \quad x = -6$
由于边长不能为负数，所以$x = -6$不符合实际情况，舍去。
因此，原正方形的边长为9 cm，面积为$9^2 = 81 cm^2$。
截去3 cm宽的长方形钢条后，剩下的部分是一个长方形，其长为原正方形的边长$x$ cm，宽为$(x - 3)$ cm。
根据题意，剩下的长方形的面积是$54 cm^2$，因此有方程：
$x(x - 3) = 54$
展开方程得：
$x^2 - 3x - 54 = 0$
因式分解该方程：
$(x - 9)(x + 6) = 0$
解得：
$x = 9 \quad 或 \quad x = -6$
由于边长不能为负数，所以$x = -6$不符合实际情况，舍去。
因此，原正方形的边长为9 cm，面积为$9^2 = 81 cm^2$。
5. 小军同学家开了一个超市,今年一月份的利润是4000元,三月份的利润是4840元,请你帮助小军同学算一算,他家超市这两个月的利润平均月增长率是
10%
.答案
设他家超市这两个月的利润平均月增长率是 $x$。
根据平均增长率的定义，二月份的利润为 $4000(1+x)$，三月份的利润为 $4000(1+x)^{2}$。
根据题意，三月份的利润是 4840 元，因此有方程：
$4000(1+x)^{2} = 4840$
展开方程得：
$(1+x)^{2} = \frac{4840}{4000}$
$(1+x)^{2} = 1.21$
对方程两边开平方得：
$1+x = \pm 1.1$
解得两个可能的 $x$ 值：
$x_1 = 1.1 - 1 = 0.1$
$x_2 = -1.1 - 1 = -2.1$
由于增长率不能为负，所以舍去 $x_2 = -2.1$。
因此，他家超市这两个月的利润平均月增长率是 $10\%$。
根据平均增长率的定义，二月份的利润为 $4000(1+x)$，三月份的利润为 $4000(1+x)^{2}$。
根据题意，三月份的利润是 4840 元，因此有方程：
$4000(1+x)^{2} = 4840$
展开方程得：
$(1+x)^{2} = \frac{4840}{4000}$
$(1+x)^{2} = 1.21$
对方程两边开平方得：
$1+x = \pm 1.1$
解得两个可能的 $x$ 值：
$x_1 = 1.1 - 1 = 0.1$
$x_2 = -1.1 - 1 = -2.1$
由于增长率不能为负，所以舍去 $x_2 = -2.1$。
因此，他家超市这两个月的利润平均月增长率是 $10\%$。
6. 若两个连续偶数的积是288,则这两个连续偶数的和是
34或-34
.答案
设两个连续偶数中较小的一个为$x$，则另一个偶数为$x + 2$。
根据题意，这两个连续偶数的积是288，所以我们有方程：
$x(x + 2) = 288$
展开方程得：
$x^2 + 2x - 288 = 0$
因式分解该方程：
$(x - 16)(x + 18) = 0$
解得：
$x_1 = 16$
$x_2 = -18$
当 $x = 16$ 时，另一个偶数为 $x + 2 = 18$，两数之和为 $16 + 18 = 34$。
当 $x = -18$ 时，另一个偶数为 $x + 2 = -16$，两数之和为 $-18 - 16 = -34$。
故答案为：$34$或$-34$。
根据题意，这两个连续偶数的积是288，所以我们有方程：
$x(x + 2) = 288$
展开方程得：
$x^2 + 2x - 288 = 0$
因式分解该方程：
$(x - 16)(x + 18) = 0$
解得：
$x_1 = 16$
$x_2 = -18$
当 $x = 16$ 时，另一个偶数为 $x + 2 = 18$，两数之和为 $16 + 18 = 34$。
当 $x = -18$ 时，另一个偶数为 $x + 2 = -16$，两数之和为 $-18 - 16 = -34$。
故答案为：$34$或$-34$。
7. 菱形ABCD的一条对角线长6,AB的长是方程$x^2-7x+12= 0$的一个根,则菱形ABCD的周长为
16
.答案
16的对应选项（由于题目未给出选项，这里仅指出答案为16）。
解析
首先解方程$x^2 - 7x + 12 = 0$。
因为$(x - 3)(x - 4) = 0$，
所以方程的解为$x_1 = 3$和$x_2 = 4$。
接下来，我们需要判断哪一个解是合理的菱形边长。
由于菱形的对角线互相垂直且平分，假设对角线交于点$O$，则$AO=3$（因为对角线长为6，所以半条对角线为3）。
考虑菱形的一个直角三角形部分$AOB$，其中$AB$是菱形的一边，$AO$和$BO$分别是菱形的两条对角线的一半。
当$AB=3$时，由于$AO$也等于3，这意味着$BO$必须为0（通过勾股定理计算得出），这与菱形的性质矛盾（菱形的对角线不可能为0或重合）。
因此，$AB$不能等于3，只能等于4。
最后，菱形的周长为$4 × AB = 4 × 4 = 16$。
因为$(x - 3)(x - 4) = 0$，
所以方程的解为$x_1 = 3$和$x_2 = 4$。
接下来，我们需要判断哪一个解是合理的菱形边长。
由于菱形的对角线互相垂直且平分，假设对角线交于点$O$，则$AO=3$（因为对角线长为6，所以半条对角线为3）。
考虑菱形的一个直角三角形部分$AOB$，其中$AB$是菱形的一边，$AO$和$BO$分别是菱形的两条对角线的一半。
当$AB=3$时，由于$AO$也等于3，这意味着$BO$必须为0（通过勾股定理计算得出），这与菱形的性质矛盾（菱形的对角线不可能为0或重合）。
因此，$AB$不能等于3，只能等于4。
最后，菱形的周长为$4 × AB = 4 × 4 = 16$。
