【例题】如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,BC= 6,sin A= $\frac{3}{5}$,求cos A,cos B的值.

【思路点拨】解本题的关键是求得AC,AB,由sin A= $\frac{3}{5}$,得$\frac{BC}{AB}$= $\frac{3}{5}$,故AB= 10,再由勾股定理求出AC,从而求得cos A,cos B.
【解答】______

$\cos A=\frac{4}{5}$，$\cos B=\frac{3}{5}$

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，已知$\sin A=\frac{3}{5}$，根据正弦的定义$\sin A=\frac{BC}{AB}$，且$BC = 6$，则$\frac{BC}{AB}=\frac{6}{AB}=\frac{3}{5}$，解得$AB = 10$。
根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$。
根据余弦的定义$\cos A=\frac{AC}{AB}$，所以$\cos A=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，所以$\cos B=\sin A=\frac{3}{5}$。

1. 如图,AD⊥CD,AB= 13,BC= 12,CD= 3,AD= 4,则sin B等于()

A.$\frac{5}{13}$
B.$\frac{12}{13}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

A

由勾股定理可得$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
因为$AC = 5$，$AB = 13$，$BC = 12$，满足$AC^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 169 = 13^2 = AB^2$，所以$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle ACB = 90^{\circ}$。
根据正弦的定义，在$Rt\triangle ABC$中，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$。

2. 下列各式中不正确的是()
$A.sin^260°+cos^260°= 1$
B.sin 30°+cos 30°＞1
C.sin 35°= cos 55°
D.sin 60°= 2sin 30°

D

A. 根据三角函数的基本恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，代入 $\theta = 60°$，得到 $\sin^2 60° + \cos^2 60° = 1$，所以A选项正确。
B. 计算 $\sin 30° + \cos 30°$ 的值，$\sin 30° = \frac{1}{2}$，$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $\sin 30° + \cos 30° = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} ＞ 1$，B选项正确。
C. 根据三角函数的互余关系，$\sin \theta = \cos (90° - \theta)$，代入 $\theta = 35°$，得到 $\sin 35° = \cos 55°$，所以C选项正确。
D. 计算 $\sin 60°$ 和 $2\sin 30°$ 的值，$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$2\sin 30° = 2 × \frac{1}{2} = 1$，显然 $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 1$，所以D选项错误。

3. 当∠A+∠B= 90°时,下列结论不正确的是()
A.cos A= sin B
B.sin A= cos B
C.sin A= cos (90°-A)
D.sin (90°-A)= sin A

D

A. 根据三角函数的互余关系，当$\angle A + \angle B = 90^\circ$时，$\cos A = \sin(90^\circ - A) = \sin B$，所以选项A是正确的。
B. 同样根据三角函数的互余关系，当$\angle A + \angle B = 90^\circ$时，$\sin A = \cos(90^\circ - A) = \cos B$，所以选项B是正确的。
C. 根据三角函数的定义，$\sin A$确实等于$\cos(90^\circ - A)$，所以选项C是正确的。
D. 根据三角函数的互余关系，$\sin(90^\circ - A) = \cos A$，并不等于$\sin A$，除非$A = 45^\circ$，但题目没有指明$A$的具体值，所以选项D是不正确的。

4. 在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sin A= $\frac{1}{2}$,cos B= $\frac{\sqrt{3}}{2}$,则△ABC的形状是()
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定

B

1. 根据已知条件，$\sin A = \frac{1}{2}$，且∠A为锐角。由正弦函数性质可知，当$\sin A = \frac{1}{2}$时，∠A = 30°。
2. 同样，根据已知条件，$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且∠B为锐角。由余弦函数性质可知，当$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$时，∠B = 30°。
3. 在△ABC中，已知∠A = 30°，∠B = 30°，根据三角形内角和为180°，可以计算出∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 30° = 120°。
4. 由于∠C = 120°，是钝角，所以△ABC是钝角三角形。

5. 在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cos B的值为()

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

设小正方形的边长为1，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
$BC = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
$AC = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。
$AB^2 = 20$，$BC^2 = 10$，$AC^2 = 18$，
$BC^2 + AC^2 = 10 + 18 = 28 \neq AB^2$，
但$BC^2 +AB^2=30\neq AC^2$，
$AC^2 + AB^2=38\neq BC^2$，
发现$BC$和$AB$为直角边，即$\angle C=90^\circ$。
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
故选B。

6. 在Rt△ABC中,若∠C= 90°,AC= 4,BC= 3,则cos B=,cos A=,sin A=,sin B=.

$\frac{3}{5}$；$\frac{4}{5}$；$\frac{3}{5}$；$\frac{4}{5}$

在直角三角形$ABC$中，由于$\angle C= 90^{\circ}$，$AC= 4$，$BC= 3$，
根据勾股定理可得$AB^2=AC^2+BC^2$，
即$AB^2=4^2 + 3^2=16 + 9 = 25$，
所以$AB = 5$。
根据余弦的定义$\cos\theta=\frac{邻边}{斜边}$，
$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$。
根据正弦的定义$\sin\theta=\frac{对边}{斜边}$，
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$。

7. 在Rt△ABC中,若∠C= 90°,cos A= $\frac{3}{5}$,AB= 15,则AC= .

在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C= 90{^\circ}$，$cos A= \frac{AC}{AB}$。
$\because$ $cos A$=$\frac{3}{5}$，$AB = 15$。
$\therefore$ $\frac{AC}{15}$=$\frac{3}{5}$。
$\therefore$ $AC = 9$。
故答案为：$9$。