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23. (14 分)如图 1,已知二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 左侧),与 $ y $ 轴交于点 $ C $,过点 $ A $ 的直线 $ y = -x - 2 $ 与过点 $ B $ 的直线恰好交于抛物线上一点 $ D(a,-4) $.
(1) 求二次函数和直线 $ BD $ 的表达式;
(2) 点 $ P $ 是线段 $ AB $ 上的一动点(点 $ P $ 和点 $ A $,$ B $ 不重合),过点 $ P $ 作 $ PE // AD $,交 $ BD $ 于点 $ E $,连接 $ DP $,当 $ \triangle DPE $ 的面积最大时,求点 $ P $ 的坐标;
(3) 如图 2,若直线 $ AD $ 与 $ y $ 轴交于点 $ G $,点 $ M $,$ N $ 分别是抛物线对称轴上的两个动点,当 $ \triangle MAG $ 和 $ \triangle NAC $ 的周长之和最小时,求线段 $ MN $ 的长.(直接写出结果即可)
(1) 求二次函数和直线 $ BD $ 的表达式;
(2) 点 $ P $ 是线段 $ AB $ 上的一动点(点 $ P $ 和点 $ A $,$ B $ 不重合),过点 $ P $ 作 $ PE // AD $,交 $ BD $ 于点 $ E $,连接 $ DP $,当 $ \triangle DPE $ 的面积最大时,求点 $ P $ 的坐标;
(3) 如图 2,若直线 $ AD $ 与 $ y $ 轴交于点 $ G $,点 $ M $,$ N $ 分别是抛物线对称轴上的两个动点,当 $ \triangle MAG $ 和 $ \triangle NAC $ 的周长之和最小时,求线段 $ MN $ 的长.(直接写出结果即可)
答案
(1) 二次函数 $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 4$，直线 $BD: y = 2x - 8$；
(2) $P(1, 0)$；
(3) $\frac{3}{2}$。
解析
(1) 对于直线 $AD: y = -x - 2$，令 $y = -4$，则 $-4 = -x - 2$，解得 $x = 2$，故 $D(2, -4)$。
点 $A$ 为直线 $AD$ 与 $x$ 轴交点，令 $y = 0$，得 $0 = -x - 2$，解得 $x = -2$，故 $A(-2, 0)$。
将 $A(-2, 0)$ 和 $D(2, -4)$ 代入二次函数 $y = \frac{1}{2}x^2 + bx + c$：
$\begin{cases} 0 = \frac{1}{2}(-2)^2 + b(-2) + c \\ -4 = \frac{1}{2}(2)^2 + b(2) + c \end{cases}$
化简得 $\begin{cases} 2 - 2b + c = 0 \\ 2 + 2b + c = -4 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} b = -1 \\ c = -4 \end{cases}$。
二次函数表达式为 $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 4$。
令 $y = 0$，解方程 $\frac{1}{2}x^2 - x - 4 = 0$，得 $x^2 - 2x - 8 = 0$，即 $(x - 4)(x + 2) = 0$，故 $B(4, 0)$。
设直线 $BD: y = kx + m$，代入 $B(4, 0)$ 和 $D(2, -4)$：
$\begin{cases} 0 = 4k + m \\ -4 = 2k + m \end{cases}$，解得 $\begin{cases} k = 2 \\ m = -8 \end{cases}$。
直线 $BD$ 表达式为 $y = 2x - 8$。
(2) 设 $P(p, 0)$，其中 $-2 ＜ p ＜ 4$。
$PE // AD$，$AD$ 斜率为 $-1$，故 $PE: y = -x + p$。
联立 $PE$ 与 $BD$：$\begin{cases} y = -x + p \\ y = 2x - 8 \end{cases}$，解得 $E\left(\frac{p + 8}{3}, \frac{2p - 8}{3}\right)$。
$\triangle DPE$ 面积 $S = \frac{1}{2} \left| p( -4 - \frac{2p - 8}{3}) + \frac{p + 8}{3}(0 + 4) + 2( \frac{2p - 8}{3} - 0) \right|$，化简得 $S = -\frac{1}{3}(p - 1)^2 + 3$。
当 $p = 1$ 时，$S$ 最大，此时 $P(1, 0)$。
(3) 直线 $AD: y = -x - 2$ 与 $y$ 轴交于 $G(0, -2)$，抛物线对称轴为 $x = 1$。
$\triangle MAG$ 周长最小需 $MA + MG$ 最小，$A$ 关于对称轴对称点为 $B(4, 0)$，直线 $BG: y = \frac{1}{2}x - 2$ 与 $x = 1$ 交于 $M(1, -\frac{3}{2})$。
$\triangle NAC$ 周长最小需 $NA + NC$ 最小，$C(0, -4)$ 关于对称轴对称点为 $D(2, -4)$，直线 $AD: y = -x - 2$ 与 $x = 1$ 交于 $N(1, -3)$。
$MN = \left| -\frac{3}{2} - (-3) \right| = \frac{3}{2}$。
点 $A$ 为直线 $AD$ 与 $x$ 轴交点，令 $y = 0$，得 $0 = -x - 2$，解得 $x = -2$，故 $A(-2, 0)$。
将 $A(-2, 0)$ 和 $D(2, -4)$ 代入二次函数 $y = \frac{1}{2}x^2 + bx + c$：
$\begin{cases} 0 = \frac{1}{2}(-2)^2 + b(-2) + c \\ -4 = \frac{1}{2}(2)^2 + b(2) + c \end{cases}$
化简得 $\begin{cases} 2 - 2b + c = 0 \\ 2 + 2b + c = -4 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} b = -1 \\ c = -4 \end{cases}$。
二次函数表达式为 $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 4$。
令 $y = 0$，解方程 $\frac{1}{2}x^2 - x - 4 = 0$，得 $x^2 - 2x - 8 = 0$，即 $(x - 4)(x + 2) = 0$，故 $B(4, 0)$。
设直线 $BD: y = kx + m$，代入 $B(4, 0)$ 和 $D(2, -4)$：
$\begin{cases} 0 = 4k + m \\ -4 = 2k + m \end{cases}$，解得 $\begin{cases} k = 2 \\ m = -8 \end{cases}$。
直线 $BD$ 表达式为 $y = 2x - 8$。
(2) 设 $P(p, 0)$，其中 $-2 ＜ p ＜ 4$。
$PE // AD$，$AD$ 斜率为 $-1$，故 $PE: y = -x + p$。
联立 $PE$ 与 $BD$：$\begin{cases} y = -x + p \\ y = 2x - 8 \end{cases}$，解得 $E\left(\frac{p + 8}{3}, \frac{2p - 8}{3}\right)$。
$\triangle DPE$ 面积 $S = \frac{1}{2} \left| p( -4 - \frac{2p - 8}{3}) + \frac{p + 8}{3}(0 + 4) + 2( \frac{2p - 8}{3} - 0) \right|$，化简得 $S = -\frac{1}{3}(p - 1)^2 + 3$。
当 $p = 1$ 时，$S$ 最大，此时 $P(1, 0)$。
(3) 直线 $AD: y = -x - 2$ 与 $y$ 轴交于 $G(0, -2)$，抛物线对称轴为 $x = 1$。
$\triangle MAG$ 周长最小需 $MA + MG$ 最小，$A$ 关于对称轴对称点为 $B(4, 0)$，直线 $BG: y = \frac{1}{2}x - 2$ 与 $x = 1$ 交于 $M(1, -\frac{3}{2})$。
$\triangle NAC$ 周长最小需 $NA + NC$ 最小，$C(0, -4)$ 关于对称轴对称点为 $D(2, -4)$，直线 $AD: y = -x - 2$ 与 $x = 1$ 交于 $N(1, -3)$。
$MN = \left| -\frac{3}{2} - (-3) \right| = \frac{3}{2}$。
