19. (8 分)如图,防洪大堤的横断面是梯形 ABCD,其中 $AD// BC$,坡角 $\alpha = 60°$,汛期来临前对其进行加固,改造后的坡长为 AE,背水面坡角 $\beta = 45°$.若原坡长 $AB = 16$ m,求改造后的坡长 AE.(结果保留根号)

过点 $A$ 作 $AF \perp BC$ 于点 $F$。
在 $Rt \bigtriangleup ABF$ 中，
$\sin\alpha = \frac{AF}{AB}$，
$\cos\alpha = \frac{BF}{AB}$。
$AF = AB × \sin 60^{\circ} = 16 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}(m)$，
$BF = AB × \cos 60^{\circ} = 16 × \frac{1}{2} = 8(m)$，
在 $Rt \bigtriangleup AEF$ 中，
$\sin \beta = \frac{AF}{AE}$，
$AE = \frac{AF}{\sin 45^{\circ}} = \frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8\sqrt{6}(m)$。
改造后的坡长 $AE$ 为 $8\sqrt{6}m$。

20. (8 分)已知某盐厂晾晒得到 3 000 吨盐,厂方决定把盐全部运走.
(1)写出运走盐所需的时间 t(单位:天)与运输速度 v(单位:吨/天)之间的函数关系式.
(2)该盐厂有工人 80 名,每天最多可运走 500 吨盐,则预计最快可在几天内运完?
(3)若该盐厂的工人工作了 3 天后,天气预报预测在未来的几天内可能有暴雨,于是盐厂决定在 2 天内把剩下的盐全部运走,则需要从其他盐厂调来多少人?

(1) 根据题意，运走盐的总量是 3000 吨，所以时间 $t$ 与运输速度 $v$ 的关系为：
$t = \frac{3000}{v}$
(2) 已知每天最多可运走 500 吨盐，即 $v = 500$ 吨/天，代入 $t = \frac{3000}{v}$ 得：
$t = \frac{3000}{500} = 6$
所以预计最快可在 6 天内运完。
(3) 80 名工人每天运走 500 吨盐，3 天运走了 $3 × 500 = 1500$ 吨盐，剩下 $3000 - 1500 = 1500$ 吨盐需要在 2 天内运完，则每天需要运走 $\frac{1500}{2} = 750$ 吨盐。
设需要从其他盐厂调来 $n$ 人，则总人数为 $80 + n$，每天运盐量为：
$750 = (80 + n) × \frac{500}{80}$
$750 = (80 + n) × 6.25$
解得$n = 40$
所以需要从其他盐厂调来 40 人。