21. (本题 12 分)
如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$\angle BCA= 45^{\circ}$,$AB= OB$,点$E$,$F分别是OA$,$OD$的中点,连接$EF$,$EM\perp BC$,垂足为点$M$,$EM交BD于点N$.
(1)求证：$EM= EF$.
(2)若$EF= 2$,求$□ ABCD$的面积.

(1)见证明；(2)32/3。

(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AD=BC，AD//BC。
∵E、F分别是OA、OD中点，∴EF是△OAD中位线，∴EF//AD，EF=1/2AD。
∵AD//BC，∴EF//BC。
∵EM⊥BC，∴EM⊥EF（垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条）。
设OA=2a，则OE=EA=a，OC=OA=2a，∴EC=EO+OC=a+2a=3a。
∵∠BCA=45°，EM⊥BC，∴△EMC是等腰直角三角形，∴EM=EC·sin45°=3a·√2/2。
∵EF=1/2AD=1/2BC，在△BOC中，由余弦定理及∠BCO=45°，可求得BC=3a√2，∴EF=1/2·3a√2=3a√2/2。
∴EM=EF。
(2)解：
∵EF=2，EF=3a√2/2，∴3a√2/2=2，解得a=2√2/3。
∵AD=2EF=4，平行四边形高h=2√2a=2√2·2√2/3=8/3。
∴□ABCD面积=AD·h=4×8/3=32/3。