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7. 如图,某海域中有$A,B,C$三个小岛,其中$A$岛在$B$岛的南偏西$40^{\circ}$方向,$C$岛在$B$岛的南偏东$35^{\circ}$方向,且$B$岛,$C$岛到$A$岛的距离相等,则$C$岛相对于$A$岛的方向是(
A.北偏东$70^{\circ}$
B.北偏西$75^{\circ}$
C.南偏西$70^{\circ}$
D.南偏西$20^{\circ}$
A
)A.北偏东$70^{\circ}$
B.北偏西$75^{\circ}$
C.南偏西$70^{\circ}$
D.南偏西$20^{\circ}$
答案
A
解析
由题意知，A在B南偏西40°，则B在A北偏东40°；C在B南偏东35°，故∠ABC=40°+35°=75°。∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB=75°，则∠BAC=180°-75°-75°=30°。设A正北方向为轴，BA在北偏东40°，∠BAC=30°，故AC方向为北偏东40°+30°=70°。
8. 如图,正方形$ABCD$边长为$1$,以$AC$为边作第$2$个正方形$ACEF$,再以$CF$为边作第$3$个正方形$FCGH$,……按照这样的规律作下去,第$6$个正方形的边长为(
A.$(2\sqrt{2})^{5}$
B.$(2\sqrt{2})^{6}$
C.$(\sqrt{2})^{5}$
D.$(\sqrt{2})^{6}$
C
)A.$(2\sqrt{2})^{5}$
B.$(2\sqrt{2})^{6}$
C.$(\sqrt{2})^{5}$
D.$(\sqrt{2})^{6}$
答案
C
解析
第1个正方形边长：$a_1=1=(\sqrt{2})^0$
第2个正方形边长：$a_2=$第1个正方形对角线$=1×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^1$
第3个正方形边长：$a_3=$第2个正方形对角线$=\sqrt{2}×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2$
规律：第$n$个正方形边长$a_n=(\sqrt{2})^{n-1}$
第6个正方形边长：$a_6=(\sqrt{2})^{6-1}=(\sqrt{2})^5$
第2个正方形边长：$a_2=$第1个正方形对角线$=1×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^1$
第3个正方形边长：$a_3=$第2个正方形对角线$=\sqrt{2}×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2$
规律：第$n$个正方形边长$a_n=(\sqrt{2})^{n-1}$
第6个正方形边长：$a_6=(\sqrt{2})^{6-1}=(\sqrt{2})^5$
9. 关于二次函数$y=ax^{2}+4ax-5$,有下列四个结论:①对任意实数$m$,都有$x_{1}=-m-1$与$x_{2}=m-3$对应的函数值相等;②若$-4\leqslant x\leqslant -1$时,对应的$y$的整数值有$4$个,则$-1\lt a\leqslant -\frac{3}{4}$或$\frac{3}{4}\leqslant a\lt 1$;③若抛物线与$x$轴交于$A,B$两点,且$AB\leqslant 6$,则$a\geqslant 1$或$a\lt -\frac{5}{4}$;④当$n\gt -5$时,一元二次方程$ax^{2}+4ax-5-n=0$一定有两个实数根. 以上结论,正确的是(
A.①③
B.①②③
C.②③
D.①③④
B
)A.①③
B.①②③
C.②③
D.①③④
答案
B
解析
① 二次函数对称轴为$x=-\frac{4a}{2a}=-2$。$x_1=-m-1$与$x_2=m-3$的中点为$\frac{(-m-1)+(m-3)}{2}=-2$，即关于对称轴对称，函数值相等，①正确。
② 对称轴$x=-2$在$[-4,-1]$内，顶点$y=-4a-5$，$x=-4$时$y=-5$，$x=-1$时$y=-3a-5$。
$a＞0$时，$y\in[-4a-5,-5]$，整数值4个需$-9＜-4a-5\leq-8$，解得$\frac{3}{4}\leq a＜1$；
$a＜0$时，$y\in[-5,-4a-5]$，整数值4个需$-2＜-4a-5\leq-1$，解得$-1＜a\leq-\frac{3}{4}$，②正确。
③ 与$x$轴交于两点，$\Delta=16a^2+20a＞0$，即$a＞0$或$a＜-\frac{5}{4}$。$AB=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{16+\frac{20}{a}}$，$AB\leq6$得$16+\frac{20}{a}\leq36$。
$a＞0$时，$\frac{20}{a}\leq20\Rightarrow a\geq1$；
$a＜-\frac{5}{4}$时，$AB＜4\leq6$恒成立，③正确。
④ 方程$ax^2+4ax-5-n=0$的$\Delta=16a^2+4a(5+n)$，当$a＜0$且$n＞-5$时，$\Delta$可能小于0（如$a=-1,n=0$时$\Delta=-4＜0$），④错误。
② 对称轴$x=-2$在$[-4,-1]$内，顶点$y=-4a-5$，$x=-4$时$y=-5$，$x=-1$时$y=-3a-5$。
$a＞0$时，$y\in[-4a-5,-5]$，整数值4个需$-9＜-4a-5\leq-8$，解得$\frac{3}{4}\leq a＜1$；
$a＜0$时，$y\in[-5,-4a-5]$，整数值4个需$-2＜-4a-5\leq-1$，解得$-1＜a\leq-\frac{3}{4}$，②正确。
③ 与$x$轴交于两点，$\Delta=16a^2+20a＞0$，即$a＞0$或$a＜-\frac{5}{4}$。$AB=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{16+\frac{20}{a}}$，$AB\leq6$得$16+\frac{20}{a}\leq36$。
$a＞0$时，$\frac{20}{a}\leq20\Rightarrow a\geq1$；
$a＜-\frac{5}{4}$时，$AB＜4\leq6$恒成立，③正确。
④ 方程$ax^2+4ax-5-n=0$的$\Delta=16a^2+4a(5+n)$，当$a＜0$且$n＞-5$时，$\Delta$可能小于0（如$a=-1,n=0$时$\Delta=-4＜0$），④错误。
10. 周末,爸爸带着小明二人在一段笔直的跑道上练习竞走,两人分别从跑道两端开始往返练习.在同一直角坐标系中,两人离同一端的距离$s$(单位:$m$)与时间$t$(单位:$s$)的关系图象如图所示.若不计转向时间,按照这一速度练习$20\min$,迎面相遇的次数为(
A.$12$
B.$16$
C.$20$
D.$24$
C
)A.$12$
B.$16$
C.$20$
D.$24$
答案
C
解析
由图象可知，小明和爸爸在笔直跑道上匀速往返竞走，跑道长度为$L$。小明单程时间60s，速度$v_1=\frac{L}{60}\ m/s$，往返周期120s；爸爸单程时间40s，速度$v_2=\frac{L}{40}\ m/s$，往返周期80s。两人运动合周期为240s（120s与80s的最小公倍数）。
在240s内，通过分析$s-t$图象交点（相向运动时的迎面相遇），共相遇4次：$t=24s,72s,168s,216s$（追及相遇不计）。
20分钟=1200s，含$1200÷240=5$个合周期，总迎面相遇次数为$4×5=20$次。
在240s内，通过分析$s-t$图象交点（相向运动时的迎面相遇），共相遇4次：$t=24s,72s,168s,216s$（追及相遇不计）。
20分钟=1200s，含$1200÷240=5$个合周期，总迎面相遇次数为$4×5=20$次。
