9. 同一直线上有 $ A $,$ B $,$ C $ 三点,若点 $ C $,$ A $ 之间的距离与点 $ C $,$ B $ 之间的距离之比是 $ 1:2 $,则称点 $ C $ 为点 $ A $ 和点 $ B $ 的“牛点”。如果点 $ P $ 是点 $ M $ 和点 $ N $ 的“牛点”,且 $ PM = 1 $,则 $ MN = $。

1或3

分两种情况讨论：
1. 点P在M，N之间：由“牛点”定义得PM:PN=1:2，PM=1，则PN=2，故MN=PM+PN=1+2=3；
2. 点P在M左侧（M在P，N之间）：PM=1，PN=2，此时PN=PM+MN，即2=1+MN，解得MN=1。
综上，MN=1或3。

10. 已知 $ \angle AOB = 50^{\circ} $,过点 $ O $ 作射线 $ OC $,若 $ \angle BOC = 30^{\circ} $,$ OM $ 平分 $ \angle AOC $,则 $ \angle BOM = $。

10°或40°

情况一：射线 $ OC $ 在 $ \angle AOB $ 内部
$\angle AOC = \angle AOB - \angle BOC = 50° - 30° = 20°$
$OM$ 平分 $\angle AOC$，则 $\angle COM = \frac{1}{2}\angle AOC = 10°$
$\angle BOM = \angle BOC + \angle COM = 30° + 10° = 40°$
情况二：射线 $ OC $ 在 $ \angle AOB $ 外部
$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 50° + 30° = 80°$
$OM$ 平分 $\angle AOC$，则 $\angle COM = \frac{1}{2}\angle AOC = 40°$
$\angle BOM = \angle COM - \angle BOC = 40° - 30° = 10°$
$\angle BOM = 10°$ 或 $40°$

11. 如图,一条小路 $ m $ 的两侧有两栋居民楼,分别记作点 $ A $ 和点 $ B $,计划在小路 $ m $ 上建一座亭子 $ P $,供居民休息,且点 $ P $ 到 $ A $,$ B $ 的距离之和最小。
(1)小明说：连接 $ AB $,交直线 $ m $ 于点 $ P $,则点 $ P $ 即为所求。请根据小明的叙述画出图形,并说明这种画法的依据。
(2)若两栋居民楼 $ A $,$ B $ 之间的距离为 $ 200 m $,$ AP $ 的中点处放置一石凳 $ C $,$ BP $ 的中点处放置一石凳 $ D $,求石凳 $ C $,$ D $ 之间的距离。

(1)
图形：连接$AB$，交直线$m$于点$P$，点$P$即为所求亭子位置。
依据：两点之间线段最短。
(2)
因为$C$是$AP$中点，$D$是$BP$中点，所以$CD = CP+DP=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP + BP)$。
由(1)知$AP + BP$最小值为$AB = 200m$，所以$CD=\frac{1}{2}×200 = 100m$。
综上，石凳$C$，$D$之间的距离为$100m$。

12. 如图,$ \angle AOB = 90^{\circ} $,直线 $ CD $ 经过点 $ O $,且 $ \angle AOD = 125^{\circ} $。
(1)求 $ \angle BOC $ 的度数；
(2)将直线 $ CD $ 绕点 $ O $ 逆时针方向旋转 $ \alpha (0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 360^{\circ}) $,若直线 $ CD $ 平分 $ \angle AOB $,求 $ \alpha $ 的值。

(1) ∵直线CD经过点O，∴∠COD=180°。
∵∠AOD=125°，∠AOB=90°，
∴∠BOD=∠AOD - ∠AOB=125° - 90°=35°。
∵∠BOC + ∠BOD=180°，
∴∠BOC=180° - ∠BOD=180° - 35°=145°。
(2) ∠AOB=90°，其平分线将∠AOB分为两个45°角，平分线所在直线为射线OE（∠AOE=45°）和反向延长线OF（∠AOF=225°）。
原直线CD中，OD与OA夹角125°（即OD=125°，逆时针方向）。
① 当CD旋转后OD与OE（45°）重合时，逆时针旋转α=45° - 125° + 360°=280°；
② 当CD旋转后OD与OF（225°）重合时，逆时针旋转α=225° - 125°=100°。
∵0°＜α＜360°，∴α=100°或280°。
(1) 145°
(2) 100°或280°

(1)解：因为直线$CD$经过点$O$，所以$\angle AOD + \angle AOC = 180^{\circ}$。
因为$\angle AOD = 125^{\circ}$，所以$\angle AOC = 180^{\circ}-\angle AOD = 180^{\circ}-125^{\circ}=55^{\circ}$。
因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，所以$\angle BOC=\angle AOB - \angle AOC = 90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}$。
(2)解：因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，直线$CD$平分$\angle AOB$，所以$\angle AOC = \frac{1}{2}\angle AOB = 45^{\circ}$或$\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOB = 45^{\circ}$。
当$\angle AOC = 45^{\circ}$时，由
(1)知旋转前$\angle AOC = 55^{\circ}$，所以$\alpha = 55^{\circ}-45^{\circ}=10^{\circ}$。
当$\angle AOD = 45^{\circ}$时，旋转后$\angle AOD = 45^{\circ}$，旋转前$\angle AOD = 125^{\circ}$，所以$\alpha = 125^{\circ}-45^{\circ}=80^{\circ}$。
综上，$\alpha = 10^{\circ}$或$\alpha = 80^{\circ}$。