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13. 计算：
(1)$\dfrac{3a+2b}{5a^{2}b}+\dfrac{a+b}{5a^{2}b}-\dfrac{b-a}{5a^{2}b}$；
(2)$\dfrac{m+2n}{n-m}-\dfrac{n}{m-n}+\dfrac{2m}{n-m}$；
(3)$\dfrac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-4}+\dfrac{x-2}{x^{2}+2x}+\dfrac{1}{x}$；
(4)$m-1+\dfrac{2m-6}{m^{2}-9}+\dfrac{2m+2}{m+3}$；
(5)$\dfrac{x^{2}}{x+1}-x+1$.
(1)$\dfrac{3a+2b}{5a^{2}b}+\dfrac{a+b}{5a^{2}b}-\dfrac{b-a}{5a^{2}b}$；
(2)$\dfrac{m+2n}{n-m}-\dfrac{n}{m-n}+\dfrac{2m}{n-m}$；
(3)$\dfrac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-4}+\dfrac{x-2}{x^{2}+2x}+\dfrac{1}{x}$；
(4)$m-1+\dfrac{2m-6}{m^{2}-9}+\dfrac{2m+2}{m+3}$；
(5)$\dfrac{x^{2}}{x+1}-x+1$.
答案
(1)
$\;\;\;\dfrac{3a + 2b}{5a^{2}b}+\dfrac{a + b}{5a^{2}b}-\dfrac{b - a}{5a^{2}b}$
$=\dfrac{(3a + 2b)+(a + b)-(b - a)}{5a^{2}b}$
$=\dfrac{3a + 2b + a + b - b + a}{5a^{2}b}$
$=\dfrac{5a + 2b}{5a^{2}b}$
(2)
$\;\;\;\dfrac{m + 2n}{n - m}-\dfrac{n}{m - n}+\dfrac{2m}{n - m}$
$=\dfrac{m + 2n}{n - m}+\dfrac{n}{n - m}+\dfrac{2m}{n - m}$
$=\dfrac{m + 2n + n + 2m}{n - m}$
$=\dfrac{3m + 3n}{n - m}$
$=\dfrac{3(m + n)}{n - m}$
(3)
$\;\;\;\dfrac{x^{2}-4x + 4}{x^{2}-4}+\dfrac{x - 2}{x^{2}+2x}+\dfrac{1}{x}$
$=\dfrac{(x - 2)^{2}}{(x + 2)(x - 2)}+\dfrac{x - 2}{x(x + 2)}+\dfrac{1}{x}$
$=\dfrac{x - 2}{x + 2}+\dfrac{x - 2}{x(x + 2)}+\dfrac{1}{x}$
$=\dfrac{x(x - 2)}{x(x + 2)}+\dfrac{x - 2}{x(x + 2)}+\dfrac{x + 2}{x(x + 2)}$
$=\dfrac{x^{2}-2x+x - 2+x + 2}{x(x + 2)}$
$=\dfrac{x^{2}}{x(x + 2)}$
$=\dfrac{x}{x + 2}$
(4)
$\;\;\;m - 1+\dfrac{2m - 6}{m^{2}-9}+\dfrac{2m + 2}{m + 3}$
$=m - 1+\dfrac{2(m - 3)}{(m + 3)(m - 3)}+\dfrac{2(m + 1)}{m + 3}$
$=m - 1+\dfrac{2}{m + 3}+\dfrac{2(m + 1)}{m + 3}$
$=m - 1+\dfrac{2 + 2m + 2}{m + 3}$
$=m - 1+\dfrac{2m + 4}{m + 3}$
$=\dfrac{(m - 1)(m + 3)+2m + 4}{m + 3}$
$=\dfrac{m^{2}+3m - m - 3+2m + 4}{m + 3}$
$=\dfrac{m^{2}+4m + 1}{m + 3}$
(5)
$\;\;\;\dfrac{x^{2}}{x + 1}-x + 1$
$=\dfrac{x^{2}}{x + 1}-(x - 1)$
$=\dfrac{x^{2}}{x + 1}-\dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$
$=\dfrac{x^{2}-(x^{2}-1)}{x + 1}$
$=\dfrac{x^{2}-x^{2}+1}{x + 1}$
$=\dfrac{1}{x + 1}$
$\;\;\;\dfrac{3a + 2b}{5a^{2}b}+\dfrac{a + b}{5a^{2}b}-\dfrac{b - a}{5a^{2}b}$
$=\dfrac{(3a + 2b)+(a + b)-(b - a)}{5a^{2}b}$
$=\dfrac{3a + 2b + a + b - b + a}{5a^{2}b}$
$=\dfrac{5a + 2b}{5a^{2}b}$
(2)
$\;\;\;\dfrac{m + 2n}{n - m}-\dfrac{n}{m - n}+\dfrac{2m}{n - m}$
$=\dfrac{m + 2n}{n - m}+\dfrac{n}{n - m}+\dfrac{2m}{n - m}$
$=\dfrac{m + 2n + n + 2m}{n - m}$
$=\dfrac{3m + 3n}{n - m}$
$=\dfrac{3(m + n)}{n - m}$
(3)
$\;\;\;\dfrac{x^{2}-4x + 4}{x^{2}-4}+\dfrac{x - 2}{x^{2}+2x}+\dfrac{1}{x}$
$=\dfrac{(x - 2)^{2}}{(x + 2)(x - 2)}+\dfrac{x - 2}{x(x + 2)}+\dfrac{1}{x}$
$=\dfrac{x - 2}{x + 2}+\dfrac{x - 2}{x(x + 2)}+\dfrac{1}{x}$
$=\dfrac{x(x - 2)}{x(x + 2)}+\dfrac{x - 2}{x(x + 2)}+\dfrac{x + 2}{x(x + 2)}$
$=\dfrac{x^{2}-2x+x - 2+x + 2}{x(x + 2)}$
$=\dfrac{x^{2}}{x(x + 2)}$
$=\dfrac{x}{x + 2}$
(4)
$\;\;\;m - 1+\dfrac{2m - 6}{m^{2}-9}+\dfrac{2m + 2}{m + 3}$
$=m - 1+\dfrac{2(m - 3)}{(m + 3)(m - 3)}+\dfrac{2(m + 1)}{m + 3}$
$=m - 1+\dfrac{2}{m + 3}+\dfrac{2(m + 1)}{m + 3}$
$=m - 1+\dfrac{2 + 2m + 2}{m + 3}$
$=m - 1+\dfrac{2m + 4}{m + 3}$
$=\dfrac{(m - 1)(m + 3)+2m + 4}{m + 3}$
$=\dfrac{m^{2}+3m - m - 3+2m + 4}{m + 3}$
$=\dfrac{m^{2}+4m + 1}{m + 3}$
(5)
$\;\;\;\dfrac{x^{2}}{x + 1}-x + 1$
$=\dfrac{x^{2}}{x + 1}-(x - 1)$
$=\dfrac{x^{2}}{x + 1}-\dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$
$=\dfrac{x^{2}-(x^{2}-1)}{x + 1}$
$=\dfrac{x^{2}-x^{2}+1}{x + 1}$
$=\dfrac{1}{x + 1}$
14. 我们知道,假分数可以化为整数与真分数的和的形式,例如：$\dfrac{3}{2}= 1+\dfrac{1}{2}$.
在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数高于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”；当分子的次数低于分母的次数时,我们称之为“真分式”,例如：像$\dfrac{x+1}{x-1}$,$\dfrac{x^{2}}{x-2}$这样的分式是假分式,像$\dfrac{4}{x-2}$,$\dfrac{2x}{x^{2}+1}$这样的分式是真分式.类似地,假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.
例如：$\dfrac{x+1}{x-1}= \dfrac{(x-1)+2}{x-1}= \dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{2}{x-1}= 1+\dfrac{2}{x-1}$；
$\dfrac{x^{2}}{x-2}= \dfrac{x^{2}-4+4}{x-2}= \dfrac{(x+2)(x-2)+4}{x-2}= x+2+\dfrac{4}{x-2}$.
(1)分式$\dfrac{8}{x+2}$是
(2)将分式$\dfrac{x-1}{x+2}$化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式$\dfrac{3x^{2}-1}{x-1}$的值为整数,求$x$的整数值.
在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数高于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”；当分子的次数低于分母的次数时,我们称之为“真分式”,例如：像$\dfrac{x+1}{x-1}$,$\dfrac{x^{2}}{x-2}$这样的分式是假分式,像$\dfrac{4}{x-2}$,$\dfrac{2x}{x^{2}+1}$这样的分式是真分式.类似地,假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.
例如：$\dfrac{x+1}{x-1}= \dfrac{(x-1)+2}{x-1}= \dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{2}{x-1}= 1+\dfrac{2}{x-1}$；
$\dfrac{x^{2}}{x-2}= \dfrac{x^{2}-4+4}{x-2}= \dfrac{(x+2)(x-2)+4}{x-2}= x+2+\dfrac{4}{x-2}$.
(1)分式$\dfrac{8}{x+2}$是
真
分式(填“真”或“假”)；(2)将分式$\dfrac{x-1}{x+2}$化为整式与真分式的和的形式；
$\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{(x+2)-3}{x+2}=\dfrac{x+2}{x+2}+\dfrac{-3}{x+2}=1-\dfrac{3}{x+2}$
(3)如果分式$\dfrac{3x^{2}-1}{x-1}$的值为整数,求$x$的整数值.
$\dfrac{3x^2-1}{x-1}=\dfrac{3x(x-1)+3x-1}{x-1}=3x+\dfrac{3x-1}{x-1}=3x+\dfrac{3(x-1)+2}{x-1}=3x+3+\dfrac{2}{x-1}$
因为分式的值为整数，且$3x+3$为整数，所以$\dfrac{2}{x-1}$为整数。
$x-1$为2的因数，即$x-1=\pm1,\pm2$
当$x-1=1$时，$x=2$；
当$x-1=-1$时，$x=0$；
当$x-1=2$时，$x=3$；
当$x-1=-2$时，$x=-1$。
综上，$x$的整数值为$-1,0,2,3$
因为分式的值为整数，且$3x+3$为整数，所以$\dfrac{2}{x-1}$为整数。
$x-1$为2的因数，即$x-1=\pm1,\pm2$
当$x-1=1$时，$x=2$；
当$x-1=-1$时，$x=0$；
当$x-1=2$时，$x=3$；
当$x-1=-2$时，$x=-1$。
综上，$x$的整数值为$-1,0,2,3$
答案
(1)真
(2)$\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{(x+2)-3}{x+2}=\dfrac{x+2}{x+2}+\dfrac{-3}{x+2}=1-\dfrac{3}{x+2}$
(3)$\dfrac{3x^2-1}{x-1}=\dfrac{3x(x-1)+3x-1}{x-1}=3x+\dfrac{3x-1}{x-1}=3x+\dfrac{3(x-1)+2}{x-1}=3x+3+\dfrac{2}{x-1}$
因为分式的值为整数，且$3x+3$为整数，所以$\dfrac{2}{x-1}$为整数。
$x-1$为2的因数，即$x-1=\pm1,\pm2$
当$x-1=1$时，$x=2$；
当$x-1=-1$时，$x=0$；
当$x-1=2$时，$x=3$；
当$x-1=-2$时，$x=-1$。
综上，$x$的整数值为$-1,0,2,3$
(2)$\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{(x+2)-3}{x+2}=\dfrac{x+2}{x+2}+\dfrac{-3}{x+2}=1-\dfrac{3}{x+2}$
(3)$\dfrac{3x^2-1}{x-1}=\dfrac{3x(x-1)+3x-1}{x-1}=3x+\dfrac{3x-1}{x-1}=3x+\dfrac{3(x-1)+2}{x-1}=3x+3+\dfrac{2}{x-1}$
因为分式的值为整数，且$3x+3$为整数，所以$\dfrac{2}{x-1}$为整数。
$x-1$为2的因数，即$x-1=\pm1,\pm2$
当$x-1=1$时，$x=2$；
当$x-1=-1$时，$x=0$；
当$x-1=2$时，$x=3$；
当$x-1=-2$时，$x=-1$。
综上，$x$的整数值为$-1,0,2,3$
