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7. 两地之间的空中航线全程为$s$km,飞机运行时间为$a$h,两地之间的铁路线全长是空中航线全程的$m$倍,火车运行的时间为$b$h,求飞机速度是火车速度的多少倍。
答案
飞机速度：$\frac{s}{a}$（km/h）；
铁路线全长：$ms$（km）；
火车速度：$\frac{ms}{b}$（km/h）；
飞机速度与火车速度的倍数关系为：
$\frac{\frac{s}{a}}{\frac{ms}{b}} = \frac{s}{a} × \frac{b}{ms} = \frac{b}{am}$。
所以飞机速度是火车速度的$\frac{b}{am}$倍。
铁路线全长：$ms$（km）；
火车速度：$\frac{ms}{b}$（km/h）；
飞机速度与火车速度的倍数关系为：
$\frac{\frac{s}{a}}{\frac{ms}{b}} = \frac{s}{a} × \frac{b}{ms} = \frac{b}{am}$。
所以飞机速度是火车速度的$\frac{b}{am}$倍。
8. 甲、乙两个工程队合修一条公路,已知甲工程队每天修$(a^{2}-4)$m,乙工程队每天修$(a - 2)^{2}$m(其中$a ＞ 2$),则甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的多少倍？
答案
答题卡：
时间倍数表达式为：$\frac{900}{a^{2} - 4} ÷ \frac{600}{(a - 2)^{2}}$，
对$a^{2} - 4$因式分解，根据平方差公式$m^2 - n^2=(m + n)(m - n)$，可得$a^{2} - 4=(a + 2)(a - 2)$。
将其代入上式可得：
$\frac{900}{(a + 2)(a - 2)} ÷ \frac{600}{(a - 2)^{2}}=\frac{900}{(a + 2)(a - 2)} × \frac{(a - 2)^{2}}{600}$，
约分计算：
$\frac{900}{(a + 2)(a - 2)} × \frac{(a - 2)^{2}}{600}=\frac{3(a - 2)}{2(a + 2)}=\frac{3a - 6}{2a + 4}$。
答：甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的$\frac{3a - 6}{2a + 4}$倍。
时间倍数表达式为：$\frac{900}{a^{2} - 4} ÷ \frac{600}{(a - 2)^{2}}$，
对$a^{2} - 4$因式分解，根据平方差公式$m^2 - n^2=(m + n)(m - n)$，可得$a^{2} - 4=(a + 2)(a - 2)$。
将其代入上式可得：
$\frac{900}{(a + 2)(a - 2)} ÷ \frac{600}{(a - 2)^{2}}=\frac{900}{(a + 2)(a - 2)} × \frac{(a - 2)^{2}}{600}$，
约分计算：
$\frac{900}{(a + 2)(a - 2)} × \frac{(a - 2)^{2}}{600}=\frac{3(a - 2)}{2(a + 2)}=\frac{3a - 6}{2a + 4}$。
答：甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的$\frac{3a - 6}{2a + 4}$倍。
9. 要使代数式$\frac{x + 2}{x - 2} ÷ \frac{x + 2}{x - 4}$有意义,则$x$满足的条件是(
A.$x \neq 2且x \neq 4$
B.$x \neq 2或x \neq 4$
C.$x \neq -2且x \neq 4$
D.$x \neq 2且x \neq -2且x \neq 4$
D
)A.$x \neq 2且x \neq 4$
B.$x \neq 2或x \neq 4$
C.$x \neq -2且x \neq 4$
D.$x \neq 2且x \neq -2且x \neq 4$
答案
D
解析
要使代数式有意义，需满足分母不为零且除数不为零。
1. 分母$x - 2 \neq 0$，得$x \neq 2$；
2. 除数的分母$x - 4 \neq 0$，得$x \neq 4$；
3. 除数$\frac{x + 2}{x - 4} \neq 0$，则分子$x + 2 \neq 0$，得$x \neq -2$。
综上，$x \neq 2$且$x \neq -2$且$x \neq 4$。
1. 分母$x - 2 \neq 0$，得$x \neq 2$；
2. 除数的分母$x - 4 \neq 0$，得$x \neq 4$；
3. 除数$\frac{x + 2}{x - 4} \neq 0$，则分子$x + 2 \neq 0$，得$x \neq -2$。
综上，$x \neq 2$且$x \neq -2$且$x \neq 4$。
10. 张老师给学生们出了这样一道题：求$\frac{x^{2}-2x + 1}{x^{3}-x} ÷ \frac{x - 1}{x^{2}+x}$的值,其中$x = 2012$.李伟同学把$x = 2012错抄成x = 2013$,但他的计算结果也是正确的,你能说出其中的原因吗？
答案
解：
1. 化简原式：
$\frac{x^{2}-2x + 1}{x^{3}-x} ÷ \frac{x - 1}{x^{2}+x}$
根据分式除法法则，转化为乘法：
$\frac{x^{2}-2x + 1}{x^{3}-x} × \frac{x^{2}+x}{x - 1}$
2. 因式分解各部分：
分子$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$；
分母$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)$；
分子$x^2 + x = x(x + 1)$；
3. 代入并约分：
$\frac{(x - 1)^2}{x(x - 1)(x + 1)} × \frac{x(x + 1)}{x - 1}$
约分后得：$1$
4. 结论：
原式化简结果为常数$1$，与$x$的取值无关（$x \neq 0,\pm1$）。
因$2012$和$2013$均满足$x \neq 0,\pm1$，故李伟抄错$x$的值仍得正确结果。
原因：原式化简后的值为常数$1$，与$x$的取值无关。
1. 化简原式：
$\frac{x^{2}-2x + 1}{x^{3}-x} ÷ \frac{x - 1}{x^{2}+x}$
根据分式除法法则，转化为乘法：
$\frac{x^{2}-2x + 1}{x^{3}-x} × \frac{x^{2}+x}{x - 1}$
2. 因式分解各部分：
分子$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$；
分母$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)$；
分子$x^2 + x = x(x + 1)$；
3. 代入并约分：
$\frac{(x - 1)^2}{x(x - 1)(x + 1)} × \frac{x(x + 1)}{x - 1}$
约分后得：$1$
4. 结论：
原式化简结果为常数$1$，与$x$的取值无关（$x \neq 0,\pm1$）。
因$2012$和$2013$均满足$x \neq 0,\pm1$，故李伟抄错$x$的值仍得正确结果。
原因：原式化简后的值为常数$1$，与$x$的取值无关。
解析
$\begin{aligned}&\frac{x^{2}-2x + 1}{x^{3}-x} ÷ \frac{x - 1}{x^{2}+x}\\=&\frac{(x - 1)^2}{x(x^2 - 1)} × \frac{x^2 + x}{x - 1}\\=&\frac{(x - 1)^2}{x(x - 1)(x + 1)} × \frac{x(x + 1)}{x - 1}\\=&\frac{(x - 1)^2 \cdot x(x + 1)}{x(x - 1)(x + 1)(x - 1)}\\=&1\end{aligned}$
因为原式化简后结果为$1$，与$x$的取值无关，所以李伟同学把$x = 2012$错抄成$x = 2013$，计算结果仍正确。
因为原式化简后结果为$1$，与$x$的取值无关，所以李伟同学把$x = 2012$错抄成$x = 2013$，计算结果仍正确。
11. (1)用“＞”“=”或“＜”填空：
若$a ＞ b ＞ 0$,则$\frac{a}{b}$
(2)(教材题改编)有甲、乙两筐水果,甲筐水果重$(x - 1)^{2}$千克,乙筐水果重$(x^{2}-1)$千克,其中$x ＞ 1$,售完后,两筐水果都卖了50元,则哪筐水果的单价低？
若$a ＞ b ＞ 0$,则$\frac{a}{b}$
＞
1；若$a = b \neq 0$,则$\frac{a}{b}$=
1；若$0 ＜ a ＜ b$,则$\frac{a}{b}$＜
1.(2)(教材题改编)有甲、乙两筐水果,甲筐水果重$(x - 1)^{2}$千克,乙筐水果重$(x^{2}-1)$千克,其中$x ＞ 1$,售完后,两筐水果都卖了50元,则哪筐水果的单价低？
乙筐
答案
(1)＞，=，＜；(2)乙筐
解析
(1)因为$a＞b＞0$，分子大于分母且均为正数，所以$\frac{a}{b}＞1$；因为$a = b≠0$，分子等于分母，所以$\frac{a}{b}=1$；因为$0＜a＜b$，分子小于分母且均为正数，所以$\frac{a}{b}＜1$。
(2)甲筐单价为$\frac{50}{(x - 1)^2}$元/千克，乙筐单价为$\frac{50}{x^2 - 1}$元/千克。$x^2 - 1=(x - 1)(x + 1)$，因为$x＞1$，所以$(x - 1)^2＞0$，$(x - 1)(x + 1)＞0$，且$(x - 1)^2＜(x - 1)(x + 1)$（分子相同，分母小的分数大），所以$\frac{50}{(x - 1)^2}＞\frac{50}{x^2 - 1}$，故乙筐水果单价低。
(2)甲筐单价为$\frac{50}{(x - 1)^2}$元/千克，乙筐单价为$\frac{50}{x^2 - 1}$元/千克。$x^2 - 1=(x - 1)(x + 1)$，因为$x＞1$，所以$(x - 1)^2＞0$，$(x - 1)(x + 1)＞0$，且$(x - 1)^2＜(x - 1)(x + 1)$（分子相同，分母小的分数大），所以$\frac{50}{(x - 1)^2}＞\frac{50}{x^2 - 1}$，故乙筐水果单价低。
12. (1)计算：$(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})$；
(2)利用所学知识以及(1)所得等式,化简代数式$\frac{m^{3}-n^{3}}{m^{2}+mn + n^{2}} ÷ \frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+2mn + n^{2}}$。
(2)利用所学知识以及(1)所得等式,化简代数式$\frac{m^{3}-n^{3}}{m^{2}+mn + n^{2}} ÷ \frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+2mn + n^{2}}$。
答案
(1)
$(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})$
$=a(a^{2}+ab + b^{2})-b(a^{2}+ab + b^{2})$
$=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b - ab^{2}-b^{3}$
$=a^{3}-b^{3}$
(2)
由(1)知$m^{3}-n^{3}=(m - n)(m^{2}+mn + n^{2})$，
$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，
$m^{2}+2mn + n^{2}=(m + n)^{2}$，
则$\frac{m^{3}-n^{3}}{m^{2}+mn + n^{2}}÷\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+2mn + n^{2}}$
$=\frac{(m - n)(m^{2}+mn + n^{2})}{m^{2}+mn + n^{2}}×\frac{(m + n)^{2}}{(m + n)(m - n)}$
$=m + n$
$(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})$
$=a(a^{2}+ab + b^{2})-b(a^{2}+ab + b^{2})$
$=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b - ab^{2}-b^{3}$
$=a^{3}-b^{3}$
(2)
由(1)知$m^{3}-n^{3}=(m - n)(m^{2}+mn + n^{2})$，
$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，
$m^{2}+2mn + n^{2}=(m + n)^{2}$，
则$\frac{m^{3}-n^{3}}{m^{2}+mn + n^{2}}÷\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+2mn + n^{2}}$
$=\frac{(m - n)(m^{2}+mn + n^{2})}{m^{2}+mn + n^{2}}×\frac{(m + n)^{2}}{(m + n)(m - n)}$
$=m + n$
