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【例1】 计算：
(1)$(3m - 1)(m + 5)$；
(2)$(2x - 7y)(3x + 4y - 1)$.
(1)$(3m - 1)(m + 5)$；
(2)$(2x - 7y)(3x + 4y - 1)$.
答案
(1)$3m^{2} + 14m - 5$，
(2)$6x^{2} - 13xy - 2x - 28y^{2} + 7y$。
(2)$6x^{2} - 13xy - 2x - 28y^{2} + 7y$。
解析
(1) 根据多项式乘多项式的法则，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再将得到的积相加。
$(3m - 1)(m + 5)$
$= 3m × m + 3m × 5 - 1 × m - 1 × 5$
$= 3m^{2} + 15m - m - 5$
$= 3m^{2} + 14m - 5$
(2) 同样根据多项式乘多项式的法则，
$(2x - 7y)(3x + 4y - 1)$
$= 2x × 3x + 2x × 4y - 2x × 1 - 7y × 3x - 7y × 4y + 7y × 1$
$= 6x^{2} + 8xy - 2x - 21xy - 28y^{2} + 7y$
$= 6x^{2} - 13xy - 2x - 28y^{2} + 7y$
$(3m - 1)(m + 5)$
$= 3m × m + 3m × 5 - 1 × m - 1 × 5$
$= 3m^{2} + 15m - m - 5$
$= 3m^{2} + 14m - 5$
(2) 同样根据多项式乘多项式的法则，
$(2x - 7y)(3x + 4y - 1)$
$= 2x × 3x + 2x × 4y - 2x × 1 - 7y × 3x - 7y × 4y + 7y × 1$
$= 6x^{2} + 8xy - 2x - 21xy - 28y^{2} + 7y$
$= 6x^{2} - 13xy - 2x - 28y^{2} + 7y$
多项式乘多项式要注意的问题
(1)多项式与多项式相乘,结果仍为多项式,但必须是最简形式,即不再含有同类项；
(2)运算中不要漏乘任何一项；
(3)多项式中每一项都包含它前面的符号,确定积中每一项的符号至关重要.
(1)多项式与多项式相乘,结果仍为多项式,但必须是最简形式,即不再含有同类项；
(2)运算中不要漏乘任何一项；
(3)多项式中每一项都包含它前面的符号,确定积中每一项的符号至关重要.
答案
上述三点为多项式乘多项式的注意事项。
解析
多项式乘多项式需注意：结果为最简多项式（无同类项）；勿漏乘任何项；准确确定积中各项符号（每项含前面符号）。
1. 若$(x + 4)(x - 1)= x^{2}+px + q$,则 (
A.$p = - 3$,$q = - 4$
B.$p = 5$,$q = 4$
C.$p = - 5$,$q = 4$
D.$p = 3$,$q = - 4$
D
)A.$p = - 3$,$q = - 4$
B.$p = 5$,$q = 4$
C.$p = - 5$,$q = 4$
D.$p = 3$,$q = - 4$
答案
D
解析
首先展开左边的多项式：
$(x + 4)(x - 1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 4 \cdot x + 4 \cdot (-1) = x^2 - x + 4x - 4$，
合并同类项得：
$x^2 + 3x - 4$，
与右边的$x^2 + px + q$对比，可得：
$p = 3$，$q = -4$。
2. 下列算式的计算结果为$x^{2}-x - 12$的是(
A.$(x + 3)(x - 4)$
B.$(x - 3)(x + 4)$
C.$(x - 3)(x - 4)$
D.$(x + 3)(x + 4)$
A
)A.$(x + 3)(x - 4)$
B.$(x - 3)(x + 4)$
C.$(x - 3)(x - 4)$
D.$(x + 3)(x + 4)$
答案
A
解析
分别计算各选项：
A. $(x + 3)(x - 4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 12$；
B. $(x - 3)(x + 4) = x^2 + 4x - 3x - 12 = x^2 + x - 12$；
C. $(x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$；
D. $(x + 3)(x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$。
结果为$x^2 - x - 12$的是选项A。
A. $(x + 3)(x - 4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 12$；
B. $(x - 3)(x + 4) = x^2 + 4x - 3x - 12 = x^2 + x - 12$；
C. $(x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$；
D. $(x + 3)(x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$。
结果为$x^2 - x - 12$的是选项A。
3. 计算：
(1)$(2a - 3b)(3a + 2b)$；
(2)$(x - y)(x^{2}+xy - y^{2})$.
(1)$(2a - 3b)(3a + 2b)$；
(2)$(x - y)(x^{2}+xy - y^{2})$.
答案
(1)
$\begin{aligned}&(2a - 3b)(3a + 2b)\\=&2a×3a+2a×2b-3b×3a - 3b×2b\\=&6a^{2}+4ab - 9ab-6b^{2}\\=&6a^{2}-5ab - 6b^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(x - y)(x^{2}+xy - y^{2})\\=&x× x^{2}+x× xy - x× y^{2}-y× x^{2}-y× xy + y× y^{2}\\=&x^{3}+x^{2}y - xy^{2}-x^{2}y-xy^{2}+y^{3}\\=&x^{3}-2xy^{2}+y^{3}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(2a - 3b)(3a + 2b)\\=&2a×3a+2a×2b-3b×3a - 3b×2b\\=&6a^{2}+4ab - 9ab-6b^{2}\\=&6a^{2}-5ab - 6b^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(x - y)(x^{2}+xy - y^{2})\\=&x× x^{2}+x× xy - x× y^{2}-y× x^{2}-y× xy + y× y^{2}\\=&x^{3}+x^{2}y - xy^{2}-x^{2}y-xy^{2}+y^{3}\\=&x^{3}-2xy^{2}+y^{3}\end{aligned}$
【例2】 如图所示,在长为$(4a - 1)$米、宽为$(3b + 2)$米的长方形铁片上,挖去一个长为$(3a - 2)$米、宽为$2b$米的小长方形铁片.
(1)计算剩余部分(即阴影部分)的面积；
(2)当$a = 4$,$b = 3$时,求图中阴影部分的面积.
(1)计算剩余部分(即阴影部分)的面积；
(2)当$a = 4$,$b = 3$时,求图中阴影部分的面积.
答案
(1) 剩余部分面积 = 大长方形面积 - 小长方形面积
大长方形面积：$(4a - 1)(3b + 2) = 12ab + 8a - 3b - 2$
小长方形面积：$(3a - 2)(2b) = 6ab - 4b$
剩余部分面积：$(12ab + 8a - 3b - 2) - (6ab - 4b) = 6ab + 8a + b - 2$
(2) 当$a = 4$，$b = 3$时，
$6ab + 8a + b - 2 = 6×4×3 + 8×4 + 3 - 2 = 72 + 32 + 3 - 2 = 105$
阴影部分面积为$105$平方米。
大长方形面积：$(4a - 1)(3b + 2) = 12ab + 8a - 3b - 2$
小长方形面积：$(3a - 2)(2b) = 6ab - 4b$
剩余部分面积：$(12ab + 8a - 3b - 2) - (6ab - 4b) = 6ab + 8a + b - 2$
(2) 当$a = 4$，$b = 3$时，
$6ab + 8a + b - 2 = 6×4×3 + 8×4 + 3 - 2 = 72 + 32 + 3 - 2 = 105$
阴影部分面积为$105$平方米。
