1. 下列计算正确的是()

A.$3a^{3}\cdot 2a^{2}= 6a^{6}$
B.$2x^{2}\cdot 3x^{2}= 6x^{4}$
C.$3x^{2}\cdot 4x^{2}= 12x^{2}$
D.$5y^{3}\cdot 3y^{5}= 8y^{8}$

B

A. 对于 $3a^{3} \cdot 2a^{2}$，
根据单项式乘单项式的法则，系数相乘得 $3 × 2 = 6$，字母部分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{3+2} = a^{5}$，
所以 $3a^{3} \cdot 2a^{2} = 6a^{5}$，与选项A的 $6a^{6}$ 不符，故A错误；
B. 对于 $2x^{2} \cdot 3x^{2}$，
系数相乘得 $2 × 3 = 6$，字母部分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 $x^{2} \cdot x^{2} = x^{2+2} = x^{4}$，
所以 $2x^{2} \cdot 3x^{2} = 6x^{4}$，与选项B的 $6x^{4}$ 相符，故B正确；
C. 对于 $3x^{2} \cdot 4x^{2}$，
系数相乘得 $3 × 4 = 12$，字母部分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 $x^{2} \cdot x^{2} = x^{4}$，
所以 $3x^{2} \cdot 4x^{2} = 12x^{4}$，与选项C的 $12x^{2}$ 不符，故C错误；
D. 对于 $5y^{3} \cdot 3y^{5}$，
系数相乘得 $5 × 3 = 15$，字母部分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 $y^{3} \cdot y^{5} = y^{8}$，
所以 $5y^{3} \cdot 3y^{5} = 15y^{8}$，与选项D的 $8y^{8}$ 不符，故D错误。

2. 下列计算正确的是()

A.$2a^{2}\cdot 3ab= 9a^{3}b$
B.$(x^{2})^{3}+(x^{3})^{2}= 2x^{5}$
C.$(-3a^{2}b)\cdot (-3ab)= -6a^{3}b^{2}$
D.$(ab)^{2}\cdot (-a^{2}b)= -a^{4}b^{3}$

D

A. $2a^{2}\cdot 3ab = (2×3)a^{2+1}b = 6a^{3}b$，错误；
B. $(x^{2})^{3}+(x^{3})^{2} = x^{6} + x^{6} = 2x^{6}$，错误；
C. $(-3a^{2}b)\cdot (-3ab) = (-3)×(-3)a^{2+1}b^{1+1} = 9a^{3}b^{2}$，错误；
D. $(ab)^{2}\cdot (-a^{2}b) = a^{2}b^{2}\cdot (-a^{2}b) = -a^{2+2}b^{2+1} = -a^{4}b^{3}$，正确。

3. 若单项式$-2x^{4a-b}y^{3}与-\frac {1}{2}x^{2}y^{a+b}$是同类项,则这两个单项式的积为()
A.$x^{4}y^{6}$
B.$-x^{2}y^{3}$
C.$-\frac {3}{2}x^{2}y^{3}$
D.$-x^{4}y^{6}$

A

因为两个单项式是同类项，所以相同字母的指数相同，可得方程组：$\begin{cases}4a - b = 2 \\ a + b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1 \\ b = 2\end{cases}$。则两个单项式分别为$-2x^{2}y^{3}$与$-\frac{1}{2}x^{2}y^{3}$，它们的积为$(-2)×(-\frac{1}{2})x^{2 + 2}y^{3 + 3}=x^{4}y^{6}$。

4. 计算$2xy\cdot (-\frac {1}{2}x^{2}y^{2}z)\cdot (-3x^{3}y^{3})$的结果是()
A.$3x^{6}y^{6}z$
B.$-3x^{6}y^{6}z$
C.$3x^{5}y^{5}z$
D.$-3x^{5}y^{5}z$

A

根据单项式乘单项式的法则，系数与系数相乘，字母部分按照同底数幂相乘，底数不变，指数相加的方法进行计算。
系数计算：$2 × (-\frac{1}{2}) × (-3) = 3$，
对于 $x$ 的部分：$x \cdot x^{2} \cdot x^{3} = x^{1+2+3} = x^{6}$，
对于 $y$ 的部分：$y \cdot y^{2} \cdot y^{3} = y^{1+2+3} = y^{6}$，
$z$ 的部分保持不变。
所以，$2xy\cdot (-\frac {1}{2}x^{2}y^{2}z)\cdot (-3x^{3}y^{3}) = 3x^{6}y^{6}z$。

5. 计算：$(-2x^{2}y)\cdot (3xy^{2})^{2}=$。

$-18x^{4}y^{5}$

首先计算$(3xy^{2})^{2}$，
根据积的乘方运算法则，$(ab)^n=a^nb^n$，
可得$(3xy^{2})^{2}=3^{2}× x^{2}×(y^{2})^{2}=9x^{2}y^{4}$。
然后计算$(-2x^{2}y)\cdot(9x^{2}y^{4})$，
根据单项式乘单项式运算法则，系数与系数相乘，同底数幂相乘，
可得$(-2x^{2}y)\cdot(9x^{2}y^{4})=(-2×9)×(x^{2}\cdot x^{2})×(y\cdot y^{4})=-18x^{4}y^{5}$。

6. (1)若$-2x^{a}y\cdot (-3x^{3}y^{b})= 6x^{4}y^{5}$,则$a=$,$b=$；
(2)若$mx^{4}\cdot 4x^{k}= -12x^{12}$,则$m=$,$k=$。

(1)$1$，$4$；(2)$-3$，$8$

(1)
根据单项式乘单项式法则：系数相乘，同底数幂相乘。
对于$-2x^{a}y\cdot (-3x^{3}y^{b})$，系数相乘为$( - 2)×( - 3)=6$，$x$的幂相乘为$x^{a}\cdot x^{3}=x^{a + 3}$，$y$的幂相乘为$y\cdot y^{b}=y^{1 + b}$。
所以$-2x^{a}y\cdot (-3x^{3}y^{b})=6x^{a + 3}y^{1 + b}$。
又因为$-2x^{a}y\cdot (-3x^{3}y^{b})=6x^{4}y^{5}$，则$a + 3 = 4$，$1 + b = 5$。
由$a + 3 = 4$，解得$a = 1$；由$1 + b = 5$，解得$b = 4$。
(2)
根据单项式乘单项式法则，$mx^{4}\cdot 4x^{k}=(m×4)x^{4 + k}$。
因为$mx^{4}\cdot 4x^{k}=-12x^{12}$，所以$4m=-12$，$4 + k = 12$。
由$4m=-12$，解得$m = - 3$；由$4 + k = 12$，解得$k = 8$。

7. 若一个三角形的底为$3ab$,高为$2a^{2}$,则它的面积为。

$3a^{3}b$

三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，将底$3ab$和高$2a^{2}$代入可得：$S = \frac{1}{2}×3ab×2a^{2}=3a^{3}b$。

8. 计算：
(1)$(0.3x^{3}y^{4})^{2}\cdot (-0.2x^{4}y^{3})^{2}$；
(2)$5x\cdot \frac {1}{3}ax\cdot (-2.25axy)\cdot (-3x^{2}y^{2})$。

(1)
首先，根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，对$(0.3x^{3}y^{4})^{2}\cdot (-0.2x^{4}y^{3})^{2}$分别计算乘方：
$(0.3x^{3}y^{4})^{2}=(0.3)^{2}(x^{3})^{2}(y^{4})^{2}=0.09x^{6}y^{8}$
$(-0.2x^{4}y^{3})^{2}=(-0.2)^{2}(x^{4})^{2}(y^{3})^{2}=0.04x^{8}y^{6}$
然后，根据单项式与单项式相乘的运算法则，系数相乘，同底数幂相乘：
$0.09x^{6}y^{8}\cdot0.04x^{8}y^{6}=(0.09×0.04)x^{6 + 8}y^{8+6}=0.0036x^{14}y^{14}$
(2)
先将$-2.25$化为分数$-\frac{9}{4}$，则原式变为：
$5x\cdot\frac{1}{3}ax\cdot(-\frac{9}{4}axy)\cdot(-3x^{2}y^{2})$
根据单项式与单项式相乘的运算法则，系数相乘，同底数幂相乘：
系数为$5×\frac{1}{3}×(-\frac{9}{4})×(-3)=\frac{45}{4}$
$x$的次数为$1 + 1+1 + 2=5$
$a$的次数为$1+1 = 2$
$y$的次数为$1+2 = 3$
所以结果为$\frac{45}{4}a^{2}x^{5}y^{3}$
综上，答案依次为：(1)$0.0036x^{14}y^{14}$；(2)$\frac{45}{4}a^{2}x^{5}y^{3}$。

9. 若$(2xy^{2})^{3}\cdot (\frac {1}{4}x^{m}y^{n})^{2}= \frac {1}{2}x^{7}y^{8}$,则()
A.$m= 4$,$n= 2$
B.$m= 3$,$n= 3$
C.$m= 2$,$n= 1$
D.$m= 3$,$n= 1$

C

首先计算$(2xy^{2})^{3}$：
$(2xy^{2})^{3} = 2^{3} \cdot x^{3} \cdot (y^{2})^{3} = 8x^{3}y^{6}$
接着计算$(\frac{1}{4}x^{m}y^{n})^{2}$：
$(\frac{1}{4}x^{m}y^{n})^{2} = (\frac{1}{4})^{2} \cdot (x^{m})^{2} \cdot (y^{n})^{2} = \frac{1}{16}x^{2m}y^{2n}$
将上述两个结果相乘：
$8x^{3}y^{6} \cdot \frac{1}{16}x^{2m}y^{2n} = \frac{1}{2}x^{3+2m}y^{6+2n}$
由于这个结果等于$\frac{1}{2}x^{7}y^{8}$，可以得到以下方程组：
$3 + 2m = 7$，
$6 + 2n = 8$，
从第一个方程，得到：
$2m = 4 \implies m = 2$，
从第二个方程，得到：
$2n = 2 \implies n = 1$，
所以，$m = 2$，$n = 1$。

10. 若$x^{3}y^{n+1}\cdot x^{m+n}\cdot y^{2n+2}= x^{9}y^{9}$,则$4m-3n= $。

10

根据题意，有$x^{3}y^{n + 1} \cdot x^{m + n}y^{2n + 2} = x^{9}y^{9}$。
根据单项式乘单项式及同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质，对$x$和$y$的指数分别进行运算：
对于$x$的指数：$x^{3}\cdot x^{m + n}=x^{3 + m + n}$，因为等式右边$x$的指数为$9$，所以$3 + m + n = 9$ ①。
对于$y$的指数：$y^{n + 1}\cdot y^{2n + 2}=y^{n + 1+2n + 2}=y^{3n + 3}$，因为等式右边$y$的指数为$9$，所以$3n + 3 = 9$ ②。
由②式$3n+3 = 9$，移项可得$3n=9 - 3=6$，解得$n = 2$。
将$n = 2$代入①式$3 + m + n = 9$中，得到$3 + m+2 = 9$，移项可得$m=9 - 3 - 2 = 4$。
把$m = 4$，$n = 2$代入$4m - 3n$可得：
$4m-3n=4×4-3×2=16 - 6 = 10$。

11. 有理数$x$,$y满足条件|2x-3y+1|+(x+3y+5)^{2}= 0$,求代数式$(-2xy)^{2}\cdot (-y^{2})\cdot 6xy^{2}$的值。

因为|2x - 3y + 1| + (x + 3y + 5)² = 0，且|2x - 3y + 1|≥0，(x + 3y + 5)²≥0，所以：
$\begin{cases}2x - 3y + 1 = 0 \\x + 3y + 5 = 0\end{cases}$
解方程组：
两式相加得：3x + 6 = 0，解得x = -2。
将x = -2代入x + 3y + 5 = 0，得-2 + 3y + 5 = 0，解得y = -1。
化简代数式：
$(-2xy)^2 \cdot (-y^2) \cdot 6xy^2 = 4x^2y^2 \cdot (-y^2) \cdot 6xy^2 = -24x^3y^6$
将x = -2，y = -1代入：
$-24 × (-2)^3 × (-1)^6 = -24 × (-8) × 1 = 192$
192

12. 如果“三角形”$\begin{array}{c}x\\ y\quad z\end{array} 表示4xyz$,“方框”$\begin{array}{cc}a& d\\ b& c\end{array} 表示-5a^{b}d^{c}$,求$\begin{array}{c}m\\ n\quad 2\end{array} ×\begin{array}{cc}n& m\\ 2& 5\end{array} $的值。

1. 计算“三角形”$\begin{array}{c}m\\ n\quad 2\end{array}$的值：根据定义，三角形$\begin{array}{c}x\\ y\quad z\end{array}$表示$4xyz$，此处$x=m$，$y=n$，$z=2$，则该三角形表示$4× m× n× 2=8mn$。
2. 计算“方框”$\begin{array}{cc}n& m\\ 2& 5\end{array}$的值：根据定义，方框$\begin{array}{cc}a& d\\ b& c\end{array}$表示$-5a^b d^c$，此处$a=n$，$d=m$，$b=2$，$c=5$，则该方框表示$-5× n^2× m^5=-5n^2m^5$。
3. 计算两者乘积：$8mn×(-5n^2m^5)=[8×(-5)]×(m× m^5)×(n× n^2)=-40m^6n^3$。
$-40m^6n^3$