【典型例题3】气凝胶是一种在航天领域广泛使用的新材料。“天问一号”火星探测器和火星车都使用了一种新型材料——纳米气凝胶，能在“极热”和“极寒”两种严酷环境下，保证工作平台正常工作，不受环境温度影响。同时这种材料具有超轻特性，它的质量大约只有同体积水的质量的$\frac{1}{66}$，极大地减小了火星车的负担，让它运动更加灵活。$\rho_{水}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$。
(1)下列有关气凝胶的说法，正确的是()
A.纳米气凝胶的质量小，所以具有超轻特性
B.纳米气凝胶适合做打桩用的重锤
C.纳米气凝胶密度约为$1.5\ \mathrm{g/cm}^3$
D.纳米气凝胶具有耐高温的性能
(2)某种气凝胶质量与体积的关系图像如图所示，则其密度为$\mathrm{kg/m}^3$。假设建造一座空间站需使用气凝胶$400\ \mathrm{m}^3$，则这些气凝胶的质量是$\mathrm{kg}$。

答案 (1)D (2)4 1600

(1)D
(2)4 1600

【分析】
先分析第(1)问：逐一判断选项，明确“超轻”是密度小而非质量小，重锤需高密度材料，结合气凝胶密度与水的关系计算其密度，再根据题目描述判断耐高温特性；再分析第(2)问：利用m-V图像取对应点，通过密度公式计算气凝胶密度，再用密度公式变形计算指定体积气凝胶的质量。
【解析】
(1) 选项分析：
A. “超轻”特性是指相同体积下质量小（即密度小），质量还与体积有关，并非单纯质量小，A错误；
B. 打桩重锤需要密度大的材料，气凝胶密度极小，不适合做重锤，B错误；
C. 气凝胶密度ρ = (1/66)ρ水 = (1/66)×1.0×10³kg/m³≈15.2kg/m³=0.0152g/cm³，远小于1.5g/cm³，C错误；
D. 题目说明气凝胶能在“极热”环境下正常工作，说明其具有耐高温性能，D正确。
故第(1)题选D。
(2) 由m-V图像可知，当体积V₁=1m³时，气凝胶质量m₁=4kg，根据密度公式ρ=m/V，得气凝胶密度ρ=m₁/V₁=4kg/1m³=4kg/m³；
当体积V₂=400m³时，气凝胶质量m₂=ρV₂=4kg/m³×400m³=1600kg。
【答案】
(1)D (2)4；1600
【知识点】
密度计算、密度应用、材料特性
【点评】
本题结合航天新材料气凝胶，考查密度相关知识与材料特性判断，既需要理解密度概念，又要会运用密度公式计算，难度适中，需学生准确提取图像和题目信息。
【难度系数】
0.5

“商鞅方升”是上海博物馆的镇馆之宝之一，其容积是秦朝统一实施的体积标准——方升。一方升有多大呢？小组同学对其复制品展开容积测量，步骤如下：
[图甲]

①用天平测得空“商鞅方升”的质量；
②在“商鞅方升”内装入沙子直至沙子上表面与“商鞅方升”上表面齐平，测得“商鞅方升”与沙子的总质量；
③用小勺将沙子取出一部分装入量筒，测得“商鞅方升”与剩余沙子的总质量；
④测得量筒内沙子的体积。
(1)秦朝统一实施的体积标准——方升，相当于现代的多少升？
(2)实验后，小明评价刚才的测量过程，认为步骤较多。他设想：水的密度已知($\rho_{水}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)，上述步骤中用水代替沙子，只要完成步骤（选填上述步骤序号的一个或多个），就能测出“商鞅方升”的容积。小组同学讨论后认为，小明的设想实际操作性不佳，表现在：。

(1)0.202 升
(2)①② 在测量“商鞅方升”中的水和“商鞅方升”的总质量时，容易把水洒出

【分析】
要测量“商鞅方升”的容积，需利用密度公式，通过天平测量质量、量筒测量体积来推导；先计算沙子密度，再结合方升内沙子总质量得到容积；若用水代替沙子，因水的密度已知，只需测空方升和装满水的总质量即可计算容积，但水的流动性会导致操作不便。
【解析】
(1) 读取天平示数：空“商鞅方升”质量$m_1 = 500\ \mathrm{g} + 200\ \mathrm{g} = 700\ \mathrm{g}$；
“商鞅方升”与装满沙子的总质量$m_2 = 1000\ \mathrm{g} + 20\ \mathrm{g} + 3\ \mathrm{g} = 1023\ \mathrm{g}$；
“商鞅方升”与剩余沙子的总质量$m_3 = 1000\ \mathrm{g} + 5\ \mathrm{g} + 2\ \mathrm{g} = 1007\ \mathrm{g}$；
取出沙子的质量$\Delta m = m_2 - m_3 = 1023\ \mathrm{g} - 1007\ \mathrm{g} = 16\ \mathrm{g}$，量筒内沙子体积$V_{\mathrm{沙}} = 10\ \mathrm{mL} = 10\ \mathrm{cm}^3$；
沙子密度$\rho_{\mathrm{沙}} = \frac{\Delta m}{V_{\mathrm{沙}}} = \frac{16\ \mathrm{g}}{10\ \mathrm{cm}^3} = 1.6\ \mathrm{g/cm}^3$；
方升内沙子总质量$m_{\mathrm{沙总}} = m_2 - m_1 = 1023\ \mathrm{g} - 700\ \mathrm{g} = 323\ \mathrm{g}$；
方升容积$V = \frac{m_{\mathrm{沙总}}}{\rho_{\mathrm{沙}}} = \frac{323\ \mathrm{g}}{1.6\ \mathrm{g/cm}^3} \approx 202\ \mathrm{cm}^3 = 0.202\ \mathrm{L}$。
(2) 若用水代替沙子，因水的密度$\rho_{\mathrm{水}}$已知，只需测出空方升质量（步骤①）和装满水的总质量（步骤②），则水的质量$m_{\mathrm{水}} = m_{\mathrm{总}} - m_1$，容积$V = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}$，故完成步骤①②即可；
但水具有流动性，装满时容易洒出，导致总质量测量不准确，操作不便。
【答案】
(1)0.202升；(2)①②；在测量“商鞅方升”中的水和“商鞅方升”的总质量时，容易把水洒出
【知识点】
密度的应用、质量的测量、体积的测量
【点评】
本题结合古代文物容积测量，考查密度公式的应用，需掌握天平、量筒的读数及密度计算，同时分析不同测量方案的可行性，注重实验操作的实际性。
【难度系数】
0.5