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【例1】如图29－1，四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形，已知$∠ BOD＝100°$，则$∠ BCD$的度数为()
A.$50°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$130°$
思路分析:先运用圆周角的性质,再利用圆内接四边形的对角互补的性质求解.
解:$\because ∠ BAD$与$∠ BOD$是同弧所对的圆周角和圆心角,
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×100°=50°$.
又$\because$四边形$ABCD$为$\odot O$的内接四边形,
$\therefore ∠ BCD+∠ BAD=180°$.
$\therefore ∠ BCD=180°-∠ BAD=180°-50°=130°$.
答案:D
点拨:每一个圆都有无数个内接四边形,但并不是所有的四边形都有外接圆,只有对角互补的四边形才有外接圆.
图29－1
A.$50°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$130°$
思路分析:先运用圆周角的性质,再利用圆内接四边形的对角互补的性质求解.
解:$\because ∠ BAD$与$∠ BOD$是同弧所对的圆周角和圆心角,
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×100°=50°$.
又$\because$四边形$ABCD$为$\odot O$的内接四边形,
$\therefore ∠ BCD+∠ BAD=180°$.
$\therefore ∠ BCD=180°-∠ BAD=180°-50°=130°$.
答案:D
点拨:每一个圆都有无数个内接四边形,但并不是所有的四边形都有外接圆,只有对角互补的四边形才有外接圆.
图29－1
答案
D
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，已知圆心角∠BOD=100°，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可先求出弧BD所对的圆周角∠BAD的度数；第二步，四边形ABCD是圆的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，∠BAD与∠BCD互补，代入∠BAD的度数即可求出∠BCD的大小。
【解析】
解：
∵∠BAD与∠BOD是弧BD所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理可得：
$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×100°=50°$
又
∵四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质：
$∠ BCD+∠ BAD=180°$
$\therefore ∠ BCD=180°-∠ BAD=180°-50°=130°$
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题核心是熟练运用圆周角定理和圆内接四边形的性质，易错点是易混淆圆周角对应的弧，误将∠BCD直接作为∠BOD对应的圆周角计算，学习中要注意区分同弧对应的角的位置。
【难度系数】
0.8
解题时可分两步思考：第一步，已知圆心角∠BOD=100°，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可先求出弧BD所对的圆周角∠BAD的度数；第二步，四边形ABCD是圆的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，∠BAD与∠BCD互补，代入∠BAD的度数即可求出∠BCD的大小。
【解析】
解：
∵∠BAD与∠BOD是弧BD所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理可得：
$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×100°=50°$
又
∵四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质：
$∠ BCD+∠ BAD=180°$
$\therefore ∠ BCD=180°-∠ BAD=180°-50°=130°$
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题核心是熟练运用圆周角定理和圆内接四边形的性质，易错点是易混淆圆周角对应的弧，误将∠BCD直接作为∠BOD对应的圆周角计算，学习中要注意区分同弧对应的角的位置。
【难度系数】
0.8
【例2】如图29－2，AB是半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆O于点D，以C为圆心，CD长为半径画弧交AB于点E，若AB＝8 cm，则图中阴影部分的面积为.（不取近似值）
思路分析:求不规则图形的面积,通常要将其转化成若干规则图形面积的和差来计算.本题中将阴影部分的面积转化为$S_{扇形ODB}－(S_{扇形CDE}－S_{△DCO})$即可.
解:如图29－2,连接DO,在$Rt△DOC$中,
∵$DO=4\ cm,CO=2\ cm$,
∴$DC=\sqrt{DO^2－CO^2}=2\sqrt{3}\ cm,∠DOC=60°$,
则$S_{扇形CDE}=\frac{90×π×(2\sqrt{3})^2}{360}=3π(cm^2)$,
$S_{△DCO}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}(cm^2)$,
$S_{扇形ODB}=\frac{120π×4^2}{360}=\frac{16}{3}π(cm^2)$.
∴$S_{阴影}=S_{扇形ODB}－(S_{扇形CDE}－S_{△DCO})$
$=\frac{16}{3}π－(3π－2\sqrt{3})$
$=(\frac{7π}{3}+2\sqrt{3})(cm^2)$.
答案:$(\frac{7π}{3}+2\sqrt{3})cm^2$
点拨:求与圆有关的阴影部分面积的问题,常用的方法有:直接运用公式、割补法等,主要思路是将不规则图形转化为规则图形.
思路分析:求不规则图形的面积,通常要将其转化成若干规则图形面积的和差来计算.本题中将阴影部分的面积转化为$S_{扇形ODB}－(S_{扇形CDE}－S_{△DCO})$即可.
解:如图29－2,连接DO,在$Rt△DOC$中,
∵$DO=4\ cm,CO=2\ cm$,
∴$DC=\sqrt{DO^2－CO^2}=2\sqrt{3}\ cm,∠DOC=60°$,
则$S_{扇形CDE}=\frac{90×π×(2\sqrt{3})^2}{360}=3π(cm^2)$,
$S_{△DCO}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}(cm^2)$,
$S_{扇形ODB}=\frac{120π×4^2}{360}=\frac{16}{3}π(cm^2)$.
∴$S_{阴影}=S_{扇形ODB}－(S_{扇形CDE}－S_{△DCO})$
$=\frac{16}{3}π－(3π－2\sqrt{3})$
$=(\frac{7π}{3}+2\sqrt{3})(cm^2)$.
答案:$(\frac{7π}{3}+2\sqrt{3})cm^2$
点拨:求与圆有关的阴影部分面积的问题,常用的方法有:直接运用公式、割补法等,主要思路是将不规则图形转化为规则图形.
答案
$\boldsymbol{(\frac{7π}{3}+2\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2}$
解析
【分析】
本题是求不规则阴影部分的面积，核心思路是用割补法将其转化为规则图形的面积和差计算。首先连接辅助线OD，先根据已知条件确定各线段长度和对应圆心角的度数：已知AB是半圆直径且AB=8cm，可得半圆半径为4cm；C是AO中点，故OC=2cm。结合CD⊥AB，可先在Rt△DOC中用勾股定理求出CD的长度，再求出∠DOC的度数，进而得到扇形ODB的圆心角。最后将阴影面积转化为扇形ODB的面积减去（扇形CDE的面积减去△DCO的面积），分别代入公式计算即可。
【解析】
解：连接OD，
∵AB是半圆O的直径，AB=8cm，
∴OA=OB=OD=4cm，
∵C为AO的中点，
∴$OC=\frac{1}{2}OA=2\mathrm{cm}$，
∵CD⊥AB，
∴∠DCO=90°，
在Rt△DOC中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$\cos∠ DOC=\frac{OC}{OD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，故∠DOC=60°，
∴∠DOB=180°-∠DOC=120°，
分别计算各规则图形面积：
1. 扇形ODB的面积：$S_{扇形ODB}=\frac{120π × 4^2}{360}=\frac{16}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
2. 扇形CDE的面积：圆心角为90°，半径为$CD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$S_{扇形CDE}=\frac{90π × (2\sqrt{3})^2}{360}=3π\ \mathrm{cm}^2$
3. △DCO的面积：$S_{△ DCO}=\frac{1}{2}× OC × CD=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
阴影部分面积为：
$S_{阴影}=S_{扇形ODB}-(S_{扇形CDE}-S_{△ DCO})$
$=\frac{16}{3}π-(3π-2\sqrt{3})$
$=\frac{7}{3}π+2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\boldsymbol{(\frac{7π}{3}+2\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
1. 扇形面积计算 2. 割补法求面积 3. 勾股定理
【点评】
本题是与圆相关的阴影面积计算的典型题型，重点考查将不规则图形转化为规则图形面积和差的转化思想，解题时需要熟练掌握圆的基本性质、直角三角形的相关性质以及扇形面积公式，解题的关键是找准各规则图形之间的面积关系。
【难度系数】
0.6
本题是求不规则阴影部分的面积，核心思路是用割补法将其转化为规则图形的面积和差计算。首先连接辅助线OD，先根据已知条件确定各线段长度和对应圆心角的度数：已知AB是半圆直径且AB=8cm，可得半圆半径为4cm；C是AO中点，故OC=2cm。结合CD⊥AB，可先在Rt△DOC中用勾股定理求出CD的长度，再求出∠DOC的度数，进而得到扇形ODB的圆心角。最后将阴影面积转化为扇形ODB的面积减去（扇形CDE的面积减去△DCO的面积），分别代入公式计算即可。
【解析】
解：连接OD，
∵AB是半圆O的直径，AB=8cm，
∴OA=OB=OD=4cm，
∵C为AO的中点，
∴$OC=\frac{1}{2}OA=2\mathrm{cm}$，
∵CD⊥AB，
∴∠DCO=90°，
在Rt△DOC中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$\cos∠ DOC=\frac{OC}{OD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，故∠DOC=60°，
∴∠DOB=180°-∠DOC=120°，
分别计算各规则图形面积：
1. 扇形ODB的面积：$S_{扇形ODB}=\frac{120π × 4^2}{360}=\frac{16}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
2. 扇形CDE的面积：圆心角为90°，半径为$CD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$S_{扇形CDE}=\frac{90π × (2\sqrt{3})^2}{360}=3π\ \mathrm{cm}^2$
3. △DCO的面积：$S_{△ DCO}=\frac{1}{2}× OC × CD=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
阴影部分面积为：
$S_{阴影}=S_{扇形ODB}-(S_{扇形CDE}-S_{△ DCO})$
$=\frac{16}{3}π-(3π-2\sqrt{3})$
$=\frac{7}{3}π+2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\boldsymbol{(\frac{7π}{3}+2\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
1. 扇形面积计算 2. 割补法求面积 3. 勾股定理
【点评】
本题是与圆相关的阴影面积计算的典型题型，重点考查将不规则图形转化为规则图形面积和差的转化思想，解题时需要熟练掌握圆的基本性质、直角三角形的相关性质以及扇形面积公式，解题的关键是找准各规则图形之间的面积关系。
【难度系数】
0.6
