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1. 观察下列等式：
$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})$ $\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$ $\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$
发现规律：$\frac{1}{n×(n+2)}=(\_\_\_\_\_\_)$。
利用上面的规律计算下面各题。
(1) $\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{9×11}$
(2) $\frac{1}{1×5}+\frac{1}{5×9}+\frac{1}{9×13}+…+\frac{1}{33×37}$
$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})$ $\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$ $\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$
发现规律：$\frac{1}{n×(n+2)}=(\_\_\_\_\_\_)$。
利用上面的规律计算下面各题。
(1) $\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{9×11}$
(2) $\frac{1}{1×5}+\frac{1}{5×9}+\frac{1}{9×13}+…+\frac{1}{33×37}$
答案
$\frac{1}{2}×( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} )$
(1)
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\dots+\frac{1}{9×11}\\=&\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})\\=&\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{9}-\frac{1}{11})\\=&\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{11})\\=&\frac{1}{2}×\frac{10}{11}\\=&\frac{5}{11}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×5}+\frac{1}{5×9}+\frac{1}{9×13}+…+\frac{1}{33×37}\\=&\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{5})+\frac{1}{4}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{9})+\frac{1}{4}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{13})+\dots+\frac{1}{4}×(\frac{1}{33}-\frac{1}{37})\\=&\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+\dots+\frac{1}{33}-\frac{1}{37})\\=&\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{37})\\=&\frac{1}{4}×\frac{36}{37}\\=&\frac{9}{37}\end{aligned}$
答：(1)的计算结果是$\frac{5}{11}$，(2)的计算结果是$\frac{9}{37}$。
(1)
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\dots+\frac{1}{9×11}\\=&\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})\\=&\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{9}-\frac{1}{11})\\=&\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{11})\\=&\frac{1}{2}×\frac{10}{11}\\=&\frac{5}{11}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×5}+\frac{1}{5×9}+\frac{1}{9×13}+…+\frac{1}{33×37}\\=&\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{5})+\frac{1}{4}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{9})+\frac{1}{4}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{13})+\dots+\frac{1}{4}×(\frac{1}{33}-\frac{1}{37})\\=&\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+\dots+\frac{1}{33}-\frac{1}{37})\\=&\frac{1}{4}×(1-\frac{1}{37})\\=&\frac{1}{4}×\frac{36}{37}\\=&\frac{9}{37}\end{aligned}$
答：(1)的计算结果是$\frac{5}{11}$，(2)的计算结果是$\frac{9}{37}$。
2. 如图，小伟用棋子摆成三角形的图案。
按照规律摆下去，摆第5个三角形图案需要()枚棋子；摆第n个三角形图案需要()枚棋子(用含有n的式子表示)；摆第100个三角形图案需要()枚棋子。
按照规律摆下去，摆第5个三角形图案需要()枚棋子；摆第n个三角形图案需要()枚棋子(用含有n的式子表示)；摆第100个三角形图案需要()枚棋子。
答案
第1个图案棋子数：$1+3=4=(1+1)^2$
第2个图案棋子数：$1+3+5=9=(2+1)^2$
第3个图案棋子数：$1+3+5+7=16=(3+1)^2$
第4个图案棋子数：$1+3+5+7+9=25=(4+1)^2$
第5个图案棋子数：
$1+3+5+7+9+11=36$（枚）
第n个图案棋子数：
$(n+1)^2$ 枚
第100个图案棋子数：
$(100+1)^2=10201$（枚）
答：摆第5个三角形图案需要36枚棋子；摆第n个三角形图案需要$(n+1)^2$枚棋子；摆第100个三角形图案需要10201枚棋子。
第2个图案棋子数：$1+3+5=9=(2+1)^2$
第3个图案棋子数：$1+3+5+7=16=(3+1)^2$
第4个图案棋子数：$1+3+5+7+9=25=(4+1)^2$
第5个图案棋子数：
$1+3+5+7+9+11=36$（枚）
第n个图案棋子数：
$(n+1)^2$ 枚
第100个图案棋子数：
$(100+1)^2=10201$（枚）
答：摆第5个三角形图案需要36枚棋子；摆第n个三角形图案需要$(n+1)^2$枚棋子；摆第100个三角形图案需要10201枚棋子。
3. 无障碍环境建设体现了城市“以人为本”的建设理念。
（1）一条轮椅坡道的坡度是1：16，水平长度是12.8米，这条轮椅坡道的垂直高度是多少米？（坡度是指每段坡道的垂直高度与水平长度的比）
（2）建设轮椅坡道时有最大垂直高度的规定，坡度、最大垂直高度及水平长度的要求如下表。例如：当坡度是1：20时，垂直高度不能超过1.2米。
下图是一条坡道的示意图，这条坡道是否符合轮椅坡道的建设要求？列示计算并说明理由。
（1）一条轮椅坡道的坡度是1：16，水平长度是12.8米，这条轮椅坡道的垂直高度是多少米？（坡度是指每段坡道的垂直高度与水平长度的比）
（2）建设轮椅坡道时有最大垂直高度的规定，坡度、最大垂直高度及水平长度的要求如下表。例如：当坡度是1：20时，垂直高度不能超过1.2米。
下图是一条坡道的示意图，这条坡道是否符合轮椅坡道的建设要求？列示计算并说明理由。
答案
（1）
解：设这条轮椅坡道的垂直高度是$x$米。
$\begin{aligned}x:12.8&=1:16\\16x&=12.8\\x&=12.8÷16\\x&=0.8\end{aligned}$
答：这条轮椅坡道的垂直高度是0.8米。
---
（2）
$0.85:10.2 = 1:12$
查表得坡度为$1:12$时，最大垂直高度为$0.75\ \mathrm{m}$
$0.85＞0.75$
答：这条坡道不符合轮椅坡道的建设要求，该坡道坡度为$1:12$，实际垂直高度0.85米超过了该坡度规定的最大垂直高度0.75米，不符合建设要求。
解：设这条轮椅坡道的垂直高度是$x$米。
$\begin{aligned}x:12.8&=1:16\\16x&=12.8\\x&=12.8÷16\\x&=0.8\end{aligned}$
答：这条轮椅坡道的垂直高度是0.8米。
---
（2）
$0.85:10.2 = 1:12$
查表得坡度为$1:12$时，最大垂直高度为$0.75\ \mathrm{m}$
$0.85＞0.75$
答：这条坡道不符合轮椅坡道的建设要求，该坡道坡度为$1:12$，实际垂直高度0.85米超过了该坡度规定的最大垂直高度0.75米，不符合建设要求。
