1 《孙子算经》中有这样一道题:“今有物,不知其数。三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二。问物几何。”意思是说,有一些物品,三个三个地数还剩两个,五个五个地数还剩三个,七个七个地数还剩两个。求这些物品(最少)有多少个。
列举筛选法
根据“三个三个地数还剩两个”,列举除以3余2的数。 → 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,44,47,50,…
根据“五个五个地数还剩三个”,筛选出除以()余()的数。 → 8,23,38,…
根据“七个七个地数还剩两个”,筛选出除以()余()的数。 → 第一个满足条件(即最少)的是()。
同余合并法
因为“三三数之,剩二”和“七七数之,剩二”都是剩2,所以这个数比()和()的公倍数多()。
所以这个数可能是23,(),(),(),…中的一个数。
再从这些数中找出除以5余3的数,第一个满足条件(即最少)的是()。

1. 列举筛选法。
①列出除以3余2的数:2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,…
②从中筛选出除以5余3的数:8,23,38,…
③再从中筛选出除以7余2的数:23÷7=3……2,符合要求,最小为23。
同余合并法。
①三个三个地数还剩两个,七个七个地数也还剩两个,说明物品数减去2后是3和7的公倍数,其中最小的公倍数是21。
②从比3和7的公倍数大2的数中,寻找除以5余3的数,按数的大小从小到大尝试,21+2=23,23÷5=4……3满足条件。

2 有一箱苹果，如果每4个装一袋，还多1个；如果每5个装一袋，还多2个；如果每6个装一袋，还多1个。这箱苹果至少有多少个？

2. 4和6的最小公倍数是12。
12+1=13(个)
所以这箱苹果的个数可能是13,25,37,49,61,…
37÷5=7(袋)……2(个)
答:这箱苹果至少有37个。
解析 每4个装一袋还多1个,每6个装一袋还多1个,说明苹果总个数减去1之后,是4和6的公倍数。4和6的最小公倍数为12,苹果总个数可能是13,25,37,49,61,…中的一个数。
上述数中,除以5余2的数最小是37,37÷5=7(袋)……2(个)。

3
将军带领1500名士兵去打仗，战死了四百多人。还未来得及清点人数，敌军又追来，将军急速点兵迎敌。他命令士兵列队，3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。将军马上向士兵们宣布：“我军还有1049名士兵。”
同学们，你知道将军是怎么算出来的吗？尝试写一写。

3. 答:3,5,7的最小公倍数是105,大于1000且小于1100的公倍数是1050。所以士兵有1050-1=1049(名)。
解析 已知“3人一排,多出2人;5人一排,多出4人;7人一排,多出6人”,表面上数据没有关联,但实际上存在相同之处:以上三种排法,都差1名士兵就能刚好排成整排数。如果增加1名士兵,那么士兵总人数就是3,5,7的公倍数。
步骤一 算出3,5,7的最小公倍数:3×5×7=105。
步骤二 由于1500名士兵战死四百多人,剩下的人数大于1000、小于1100,符合条件的3,5,7的公倍数是1050,则士兵有1050-1=1049(名)。