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1.若$m^2 - n^2 = 12$，且$m + n = 4$，则$m - n =$
3
.答案
1.3
解析
【分析】
解题时先观察已知条件，$m^2 - n^2$符合平方差公式的左边结构，因此优先考虑逆用平方差公式对$m^2 - n^2$因式分解，分解后可得到含$m+n$和$m-n$的式子，再将已知的$m^2 - n^2$和$m+n$的值整体代入，即可直接求出$m-n$的结果。
【解析】
根据平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，逆用公式可得：
$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$
将$m^2 - n^2=12$，$m+n=4$代入上式，得：
$12=4×(m-n)$
等式两边同时除以4，计算得：
$m-n=12÷4=3$
【答案】
3
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查平方差公式的逆用，熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用整体代入的思路求值即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时先观察已知条件，$m^2 - n^2$符合平方差公式的左边结构，因此优先考虑逆用平方差公式对$m^2 - n^2$因式分解，分解后可得到含$m+n$和$m-n$的式子，再将已知的$m^2 - n^2$和$m+n$的值整体代入，即可直接求出$m-n$的结果。
【解析】
根据平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，逆用公式可得：
$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$
将$m^2 - n^2=12$，$m+n=4$代入上式，得：
$12=4×(m-n)$
等式两边同时除以4，计算得：
$m-n=12÷4=3$
【答案】
3
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查平方差公式的逆用，熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用整体代入的思路求值即可快速解题。
【难度系数】
0.85
2.已知$a^2 - b^2 = 6$，$a + b = 2$，则$a - b$的值为
3
。答案
2.3
解析
【分析】
解题时首先回忆平方差公式的结构：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积，即$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。题目已经直接给出$a^2 - b^2$和$a+b$的取值，我们无需单独计算a、b的具体值，只需将已知条件代入平方差公式，通过简单的除法运算就能求出$a-b$的值，整体代入计算更简便。
【解析】
解：根据平方差公式可得：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
将已知$a^2 - b^2=6$，$a+b=2$代入上式：
$6=2×(a - b)$
等式两边同时除以2，解得：
$a - b=6÷2=3$
【答案】
3
【知识点】
平方差公式；代数式求值
【点评】
本题主要考查平方差公式的逆用，熟练掌握乘法公式的变形规则，灵活运用整体代入思想，可快速解决此类代数式求值问题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方差公式的结构：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积，即$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。题目已经直接给出$a^2 - b^2$和$a+b$的取值，我们无需单独计算a、b的具体值，只需将已知条件代入平方差公式，通过简单的除法运算就能求出$a-b$的值，整体代入计算更简便。
【解析】
解：根据平方差公式可得：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
将已知$a^2 - b^2=6$，$a+b=2$代入上式：
$6=2×(a - b)$
等式两边同时除以2，解得：
$a - b=6÷2=3$
【答案】
3
【知识点】
平方差公式；代数式求值
【点评】
本题主要考查平方差公式的逆用，熟练掌握乘法公式的变形规则，灵活运用整体代入思想，可快速解决此类代数式求值问题。
【难度系数】
0.8
3.已知$a+\frac{1}{a}=\sqrt{13}$，则$a-\frac{1}{a}=$
$\pm 3$
.答案
3.$\pm 3$
解析
【分析】
已知$a+\frac{1}{a}$的值，求$a-\frac{1}{a}$，可利用完全平方公式的变形求解。完全平方公式中$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，二者的差值为$4ab$，本题中$b=\frac{1}{a}$，因此$ab=a×\frac{1}{a}=1$，可以消去未知项。解题时先将已知等式平方求出$a^2+\frac{1}{a^2}$的值，再代入$(a-\frac{1}{a})^2$的展开式计算，最后开平方得到结果，注意正数的平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $ a + \frac{1}{a} = \sqrt{13} $
将等式两边同时平方，得：
$ (a + \frac{1}{a})^2 = (\sqrt{13})^2 $
展开左边得：$ a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 13 $
化简得：$ a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 = 13 $
∴ $ a^2 + \frac{1}{a^2} = 11 $
再计算$ (a - \frac{1}{a})^2 $：
$ (a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 $
将$ a^2 + \frac{1}{a^2} =11 $代入上式，得：
$ (a - \frac{1}{a})^2 = 11 - 2 = 9 $
对等式两边开平方，得：
$ a - \frac{1}{a} = \pm \sqrt{9} = \pm 3 $
【答案】
$\pm 3$
【知识点】
完全平方公式、代数式恒等变形、平方根的性质
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的典型题型，解题核心是掌握$(a+b)^2$与$(a-b)^2$之间的转换关系，求解时需注意正数的平方根有两个，避免漏写负号。
【难度系数】
0.7
已知$a+\frac{1}{a}$的值，求$a-\frac{1}{a}$，可利用完全平方公式的变形求解。完全平方公式中$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，二者的差值为$4ab$，本题中$b=\frac{1}{a}$，因此$ab=a×\frac{1}{a}=1$，可以消去未知项。解题时先将已知等式平方求出$a^2+\frac{1}{a^2}$的值，再代入$(a-\frac{1}{a})^2$的展开式计算，最后开平方得到结果，注意正数的平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $ a + \frac{1}{a} = \sqrt{13} $
将等式两边同时平方，得：
$ (a + \frac{1}{a})^2 = (\sqrt{13})^2 $
展开左边得：$ a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 13 $
化简得：$ a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 = 13 $
∴ $ a^2 + \frac{1}{a^2} = 11 $
再计算$ (a - \frac{1}{a})^2 $：
$ (a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 $
将$ a^2 + \frac{1}{a^2} =11 $代入上式，得：
$ (a - \frac{1}{a})^2 = 11 - 2 = 9 $
对等式两边开平方，得：
$ a - \frac{1}{a} = \pm \sqrt{9} = \pm 3 $
【答案】
$\pm 3$
【知识点】
完全平方公式、代数式恒等变形、平方根的性质
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的典型题型，解题核心是掌握$(a+b)^2$与$(a-b)^2$之间的转换关系，求解时需注意正数的平方根有两个，避免漏写负号。
【难度系数】
0.7
4.已知$x+\frac{1}{x}=3$，则$(x-\frac{1}{x})^2$的值是
5
.答案
4.5
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：首先观察已知条件$x+\frac{1}{x}=3$和所求代数式$(x-\frac{1}{x})^2$的结构，二者均为两个互为倒数的式子的完全平方形式。我们可以先将已知等式两边平方，求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值，再将所求的代数式展开，代入$x^2+\frac{1}{x^2}$的值即可算出结果，也可以直接利用$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$的变形公式，代入$a=x$、$b=\frac{1}{x}$、$ab=1$直接计算。
【解析】
方法一：
1. 对已知等式两边平方，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 3^2 = 9$
化简可得：$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$
2. 展开所求代数式，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：
$(x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2$
3. 代入$x^2 + \frac{1}{x^2}=7$计算：
原式$=7 - 2 = 5$
方法二（直接用变形公式）：
根据完全平方公式的变形$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，代入$a=x$，$b=\frac{1}{x}$，得：
$(x-\frac{1}{x})^2=(x+\frac{1}{x})^2 - 4· x·\frac{1}{x}$
将$x+\frac{1}{x}=3$、$x·\frac{1}{x}=1$代入，得：
原式$=3^2 - 4×1 = 9 - 4 = 5$
【答案】
5
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的基础题型，解题的核心是掌握$(a+b)^2$与$(a-b)^2$之间的转化关系，本题中x与$\frac{1}{x}$的乘积为1是隐含的简化条件，熟练运用该类变形能快速解决同类代数式求值问题。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：首先观察已知条件$x+\frac{1}{x}=3$和所求代数式$(x-\frac{1}{x})^2$的结构，二者均为两个互为倒数的式子的完全平方形式。我们可以先将已知等式两边平方，求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值，再将所求的代数式展开，代入$x^2+\frac{1}{x^2}$的值即可算出结果，也可以直接利用$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$的变形公式，代入$a=x$、$b=\frac{1}{x}$、$ab=1$直接计算。
【解析】
方法一：
1. 对已知等式两边平方，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 3^2 = 9$
化简可得：$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$
2. 展开所求代数式，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：
$(x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2$
3. 代入$x^2 + \frac{1}{x^2}=7$计算：
原式$=7 - 2 = 5$
方法二（直接用变形公式）：
根据完全平方公式的变形$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，代入$a=x$，$b=\frac{1}{x}$，得：
$(x-\frac{1}{x})^2=(x+\frac{1}{x})^2 - 4· x·\frac{1}{x}$
将$x+\frac{1}{x}=3$、$x·\frac{1}{x}=1$代入，得：
原式$=3^2 - 4×1 = 9 - 4 = 5$
【答案】
5
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的基础题型，解题的核心是掌握$(a+b)^2$与$(a-b)^2$之间的转化关系，本题中x与$\frac{1}{x}$的乘积为1是隐含的简化条件，熟练运用该类变形能快速解决同类代数式求值问题。
【难度系数】
0.7
5.已知$a$，$b$满足$-a - b = 3$，$(a - b)^2 = 1$，求下列各式的值:(1)$ab$；(2)$a^2 + b^2 - ab$.
答案
5.(1)$ab=2$. (2)3.
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：首先对已知的-a-b=3变形得到a+b的值，再利用完全平方公式的两个展开式的关联求解。①求ab时，$(a+b)^2$与$(a-b)^2$的差值等于4ab，因此算出$(a+b)^2$的值后，结合已知的$(a-b)^2=1$即可求出ab；②求$a^2+b^2-ab$时，可将$a^2+b^2$用含$(a+b)^2$和ab的式子表示后代入计算，也可将原式变形为含$(a-b)^2$和ab的式子简化运算。【解析】(1) 由-a-b=3，变形得a+b=-3，将等式两边同时平方得：$(a+b)^2=(-3)^2=9$，根据完全平方公式：$\begin{cases}(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\end{cases}$，两式相减可得：$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$，把$(a+b)^2=9$、$(a-b)^2=1$代入上式：9-1=4ab，即4ab=8，解得ab=2。(2) 方法1：由完全平方公式变形得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入a+b=-3、ab=2得：$a^2+b^2=9-2×2=5$，因此$a^2+b^2-ab=5-2=3$。方法2：将原式变形得$a^2+b^2-ab=(a^2-2ab+b^2)+ab=(a-b)^2+ab$，代入$(a-b)^2=1$、ab=2得：1+2=3。【答案】(1)ab=2；(2)3【知识点】1.完全平方公式 2.代数式求值 3.整式恒等变形【点评】本题是整式运算的基础常考题，核心考查完全平方公式的常见变形，熟练掌握$(a±b)^2$、$a^2+b^2$、ab之间的互化技巧，能有效提升代数运算的解题效率，是需要熟练掌握的代数基本功。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：首先对已知的-a-b=3变形得到a+b的值，再利用完全平方公式的两个展开式的关联求解。①求ab时，$(a+b)^2$与$(a-b)^2$的差值等于4ab，因此算出$(a+b)^2$的值后，结合已知的$(a-b)^2=1$即可求出ab；②求$a^2+b^2-ab$时，可将$a^2+b^2$用含$(a+b)^2$和ab的式子表示后代入计算，也可将原式变形为含$(a-b)^2$和ab的式子简化运算。【解析】(1) 由-a-b=3，变形得a+b=-3，将等式两边同时平方得：$(a+b)^2=(-3)^2=9$，根据完全平方公式：$\begin{cases}(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\end{cases}$，两式相减可得：$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$，把$(a+b)^2=9$、$(a-b)^2=1$代入上式：9-1=4ab，即4ab=8，解得ab=2。(2) 方法1：由完全平方公式变形得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入a+b=-3、ab=2得：$a^2+b^2=9-2×2=5$，因此$a^2+b^2-ab=5-2=3$。方法2：将原式变形得$a^2+b^2-ab=(a^2-2ab+b^2)+ab=(a-b)^2+ab$，代入$(a-b)^2=1$、ab=2得：1+2=3。【答案】(1)ab=2；(2)3【知识点】1.完全平方公式 2.代数式求值 3.整式恒等变形【点评】本题是整式运算的基础常考题，核心考查完全平方公式的常见变形，熟练掌握$(a±b)^2$、$a^2+b^2$、ab之间的互化技巧，能有效提升代数运算的解题效率，是需要熟练掌握的代数基本功。
【难度系数】
0.7
6.已知$a+b=4$，$ab=3$，求下列各式的值:(1)$a^2 + b^2$;(2)$(a - b)^2$.
答案
6.(1)10. (2)4.
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路是利用完全平方公式的恒等变形，将要求的代数式转化为含已知$a+b$和$ab$的形式，直接整体代入数值计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。对于(1)，可借助完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$移项得到$a^2+b^2$的表达式；对于(2)，可利用完全平方差公式展开，也可变形为$(a+b)^2$与$ab$的组合式代入计算。
【解析】
(1) 根据完全平方和公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
移项变形得：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=4$，$ab=3$代入上式：
$a^2+b^2=4^2-2×3=16-6=10$
(2) 方法一：根据完全平方差公式：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
将$a^2+b^2=10$，$ab=3$代入上式：
$(a-b)^2=10-2×3=10-6=4$
方法二：也可直接用$a+b$和$ab$变形计算：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
代入$a+b=4$，$ab=3$得：
$(a-b)^2=4^2-4×3=16-12=4$
【答案】
(1)10；(2)4
【知识点】
完全平方公式、整式恒等变形、代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的常规题型，核心考察对完全平方公式常见变形的掌握程度，运用整体代入思想可避免求解单个未知数，大幅简化计算，是整式运算模块的基础必掌握题型。
【难度系数】
0.85
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路是利用完全平方公式的恒等变形，将要求的代数式转化为含已知$a+b$和$ab$的形式，直接整体代入数值计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。对于(1)，可借助完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$移项得到$a^2+b^2$的表达式；对于(2)，可利用完全平方差公式展开，也可变形为$(a+b)^2$与$ab$的组合式代入计算。
【解析】
(1) 根据完全平方和公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
移项变形得：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=4$，$ab=3$代入上式：
$a^2+b^2=4^2-2×3=16-6=10$
(2) 方法一：根据完全平方差公式：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
将$a^2+b^2=10$，$ab=3$代入上式：
$(a-b)^2=10-2×3=10-6=4$
方法二：也可直接用$a+b$和$ab$变形计算：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
代入$a+b=4$，$ab=3$得：
$(a-b)^2=4^2-4×3=16-12=4$
【答案】
(1)10；(2)4
【知识点】
完全平方公式、整式恒等变形、代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的常规题型，核心考察对完全平方公式常见变形的掌握程度，运用整体代入思想可避免求解单个未知数，大幅简化计算，是整式运算模块的基础必掌握题型。
【难度系数】
0.85
7.已知$a-b=4$，$ab=-3$。求下列各式的值：(1)$a^2+b^2$；(2)$a+b$。
答案
7.(1)10. (2)$\pm 2$.
解析
【分析】
本题可利用完全平方公式的变形求解：(1)要求$a^2+b^2$，回忆完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将公式变形为$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，代入已知的$a-b$和$ab$的值即可计算；(2)要求$a+b$，可先利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入已求出的$a^2+b^2$和已知的$ab$算出$(a+b)^2$的值，再开平方得到$a+b$的结果，注意开平方有正负两个值，不要漏解。
【解析】
(1) 根据完全平方公式的变形可得：
$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
将$a-b=4$，$ab=-3$代入上式：
原式$=4^2 + 2×(-3)=16-6=10$
(2) 根据完全平方公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
将$a^2+b^2=10$，$ab=-3$代入上式：
$(a+b)^2=10 + 2×(-3)=10-6=4$
对等式两边开平方得：$a+b=\pm\sqrt{4}=\pm2$
【答案】
(1) $10$；(2) $\pm2$
【知识点】
完全平方公式变形、代数式求值、平方根的性质
【点评】
本题核心是考查完全平方公式的灵活运用，掌握$a^2+b^2$、$(a\pm b)^2$、$ab$三者之间的互化关系是解题的关键，求解$a+b$时要注意正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.75
本题可利用完全平方公式的变形求解：(1)要求$a^2+b^2$，回忆完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将公式变形为$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，代入已知的$a-b$和$ab$的值即可计算；(2)要求$a+b$，可先利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入已求出的$a^2+b^2$和已知的$ab$算出$(a+b)^2$的值，再开平方得到$a+b$的结果，注意开平方有正负两个值，不要漏解。
【解析】
(1) 根据完全平方公式的变形可得：
$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
将$a-b=4$，$ab=-3$代入上式：
原式$=4^2 + 2×(-3)=16-6=10$
(2) 根据完全平方公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
将$a^2+b^2=10$，$ab=-3$代入上式：
$(a+b)^2=10 + 2×(-3)=10-6=4$
对等式两边开平方得：$a+b=\pm\sqrt{4}=\pm2$
【答案】
(1) $10$；(2) $\pm2$
【知识点】
完全平方公式变形、代数式求值、平方根的性质
【点评】
本题核心是考查完全平方公式的灵活运用，掌握$a^2+b^2$、$(a\pm b)^2$、$ab$三者之间的互化关系是解题的关键，求解$a+b$时要注意正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.75
8.已知$a-b=3$，$ab=2$，求下列各式的值:(1)$a^2+b^2$;(2)$a^2-6ab+b^2$.
答案
8.(1)13. (2)1.
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，已知$a-b$和$ab$的值，我们可以通过对完全平方公式移项推导出$a^2+b^2$的表达式，代入数值即可解决第(1)问；第(2)问既可以直接代入第(1)问求出的$a^2+b^2$和已知的$ab$计算，也可以直接对原式变形为含$(a-b)^2$和$ab$的形式再代入计算，两种方法都符合要求。
【解析】
(1) 根据完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$
将$a-b=3$，$ab=2$代入上式：
原式$=3^2 + 2×2 = 9 + 4 = 13$
(2) 方法一：将(1)的结果$a^2+b^2=13$、$ab=2$代入原式：
$a^2 - 6ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 6ab$
代入数值计算：
原式$=13 - 6×2 = 13 - 12 = 1$
方法二：直接对原式变形计算：
$a^2 - 6ab + b^2 = (a-b)^2 - 4ab$
将$a-b=3$，$ab=2$代入：
原式$=3^2 - 4×2 = 9 - 8 = 1$
【答案】
(1)13；(2)1
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、公式变形
【点评】
本题是整式乘法中完全平方公式变形的典型基础题，熟练掌握完全平方公式的常见变形是解决这类问题的核心，计算时注意符号和运算顺序即可。
【难度系数】
0.85
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，已知$a-b$和$ab$的值，我们可以通过对完全平方公式移项推导出$a^2+b^2$的表达式，代入数值即可解决第(1)问；第(2)问既可以直接代入第(1)问求出的$a^2+b^2$和已知的$ab$计算，也可以直接对原式变形为含$(a-b)^2$和$ab$的形式再代入计算，两种方法都符合要求。
【解析】
(1) 根据完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$
将$a-b=3$，$ab=2$代入上式：
原式$=3^2 + 2×2 = 9 + 4 = 13$
(2) 方法一：将(1)的结果$a^2+b^2=13$、$ab=2$代入原式：
$a^2 - 6ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 6ab$
代入数值计算：
原式$=13 - 6×2 = 13 - 12 = 1$
方法二：直接对原式变形计算：
$a^2 - 6ab + b^2 = (a-b)^2 - 4ab$
将$a-b=3$，$ab=2$代入：
原式$=3^2 - 4×2 = 9 - 8 = 1$
【答案】
(1)13；(2)1
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、公式变形
【点评】
本题是整式乘法中完全平方公式变形的典型基础题，熟练掌握完全平方公式的常见变形是解决这类问题的核心，计算时注意符号和运算顺序即可。
【难度系数】
0.85
9.已知$x+y=7,xy=9$,求下列各式的值:(1)$x^2-2xy+y^2$;(2)$(x^2+y^2)^2$.
答案
9.(1)13. (2)961.
解析
【分析】
解题需利用完全平方公式的变形关系求解，已知$x+y$和$xy$的值，首先根据完全平方公式推导得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，先求出$x^2+y^2$的值，再代入两个待求式计算即可：第一问$x^2-2xy+y^2$可整理为$(x^2+y^2)-2xy$，代入数值就能算出结果；第二问直接将求出的$x^2+y^2$的值平方即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得变形公式$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$。
已知$x+y=7$，$xy=9$，先计算$x^2+y^2$的值：
$x^2+y^2 = 7^2 - 2×9 = 49 - 18 = 31$
(1)计算$x^2-2xy+y^2$：
将原式变形为$(x^2+y^2)-2xy$，代入$x^2+y^2=31$、$xy=9$得：
$x^2-2xy+y^2 = 31 - 2×9 = 31 - 18 = 13$
(2)计算$(x^2+y^2)^2$：
将$x^2+y^2=31$代入得：
$(x^2+y^2)^2 = 31^2 = 961$
【答案】
(1)13；(2)961
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整式恒等变形
【点评】
本题核心考查完全平方公式的灵活变形应用，熟练掌握$a+b$、$ab$、$a^2+b^2$、$(a\pm b)^2$之间的互化技巧是解题关键，是代数运算中的基础典型题型。
【难度系数】
0.75
解题需利用完全平方公式的变形关系求解，已知$x+y$和$xy$的值，首先根据完全平方公式推导得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，先求出$x^2+y^2$的值，再代入两个待求式计算即可：第一问$x^2-2xy+y^2$可整理为$(x^2+y^2)-2xy$，代入数值就能算出结果；第二问直接将求出的$x^2+y^2$的值平方即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得变形公式$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$。
已知$x+y=7$，$xy=9$，先计算$x^2+y^2$的值：
$x^2+y^2 = 7^2 - 2×9 = 49 - 18 = 31$
(1)计算$x^2-2xy+y^2$：
将原式变形为$(x^2+y^2)-2xy$，代入$x^2+y^2=31$、$xy=9$得：
$x^2-2xy+y^2 = 31 - 2×9 = 31 - 18 = 13$
(2)计算$(x^2+y^2)^2$：
将$x^2+y^2=31$代入得：
$(x^2+y^2)^2 = 31^2 = 961$
【答案】
(1)13；(2)961
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整式恒等变形
【点评】
本题核心考查完全平方公式的灵活变形应用，熟练掌握$a+b$、$ab$、$a^2+b^2$、$(a\pm b)^2$之间的互化技巧是解题关键，是代数运算中的基础典型题型。
【难度系数】
0.75
10.应用完全平方公式解决下列问题.
(1)已知$x+y=3$，$xy=1$，求$x^2+y^2$和$(x-y)^2$的值.
(2)已知$2x^2-5x+2=0$，求$x^2+\frac{1}{x^2}$和$(x-\frac{1}{x})^2$的值.
(1)已知$x+y=3$，$xy=1$，求$x^2+y^2$和$(x-y)^2$的值.
(2)已知$2x^2-5x+2=0$，求$x^2+\frac{1}{x^2}$和$(x-\frac{1}{x})^2$的值.
答案
10.(1)$x^2+y^2=7,(x-y)^2=5$.
(2)$x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{17}{4},(x-\frac{1}{x})^2=\frac{9}{4}$.
(2)$x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{17}{4},(x-\frac{1}{x})^2=\frac{9}{4}$.
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：
(1) 已知x+y和xy的值，求$x^2+y^2$、$(x-y)^2$，可利用完全平方公式的展开式变形：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，将$x^2+y^2$转化为$(x+y)^2-2xy$，$(x-y)^2$可转化为$x^2+y^2-2xy$或$(x+y)^2-4xy$，代入已知数值即可求解。
(2) 已知一元二次方程求含$x+\frac{1}{x}$的代数式的值，首先判断x≠0（若x=0，方程左边=2≠0，不成立），因此可将方程两边同时除以x，整理得到$x+\frac{1}{x}$的值，再用和第(1)问相同的完全平方变形公式，即可求出对应代数式的值。
【解析】
(1) 根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，变形得：
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
将$x+y=3$，$xy=1$代入得：
$x^2+y^2=3^2-2×1=9-2=7$
再根据完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，代入$x^2+y^2=7$，$xy=1$得：
$(x-y)^2=7-2×1=5$
(2) 已知$2x^2-5x+2=0$，当$x=0$时，方程左边$=2≠0$，因此$x≠0$。
将方程两边同时除以x，得：
$2x - 5 + \frac{2}{x}=0$
移项整理得：$2(x+\frac{1}{x})=5$，即$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$
根据完全平方公式变形得：
$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 2· x·\frac{1}{x}$
代入$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$得：
$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{5}{2})^2 - 2=\frac{25}{4}-\frac{8}{4}=\frac{17}{4}$
再根据完全平方公式得：
$(x-\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}-2· x·\frac{1}{x}$
代入$x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{17}{4}$得：
$(x-\frac{1}{x})^2=\frac{17}{4}-2=\frac{17}{4}-\frac{8}{4}=\frac{9}{4}$
【答案】
(1)$x^2+y^2=7$，$(x-y)^2=5$；
(2)$x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{17}{4}$，$(x-\frac{1}{x})^2=\frac{9}{4}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，等式的性质
【点评】
本题核心考查完全平方公式的灵活变形，掌握$a^2+b^2$、$(a\pm b)^2$、$a\pm b$、$ab$四类代数式之间的互化技巧是解题的关键，第二问解题时需先判断x的取值范围，确认x不为0后再除以x，避免漏考虑条件出错。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：
(1) 已知x+y和xy的值，求$x^2+y^2$、$(x-y)^2$，可利用完全平方公式的展开式变形：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，将$x^2+y^2$转化为$(x+y)^2-2xy$，$(x-y)^2$可转化为$x^2+y^2-2xy$或$(x+y)^2-4xy$，代入已知数值即可求解。
(2) 已知一元二次方程求含$x+\frac{1}{x}$的代数式的值，首先判断x≠0（若x=0，方程左边=2≠0，不成立），因此可将方程两边同时除以x，整理得到$x+\frac{1}{x}$的值，再用和第(1)问相同的完全平方变形公式，即可求出对应代数式的值。
【解析】
(1) 根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，变形得：
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
将$x+y=3$，$xy=1$代入得：
$x^2+y^2=3^2-2×1=9-2=7$
再根据完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，代入$x^2+y^2=7$，$xy=1$得：
$(x-y)^2=7-2×1=5$
(2) 已知$2x^2-5x+2=0$，当$x=0$时，方程左边$=2≠0$，因此$x≠0$。
将方程两边同时除以x，得：
$2x - 5 + \frac{2}{x}=0$
移项整理得：$2(x+\frac{1}{x})=5$，即$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$
根据完全平方公式变形得：
$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 2· x·\frac{1}{x}$
代入$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$得：
$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{5}{2})^2 - 2=\frac{25}{4}-\frac{8}{4}=\frac{17}{4}$
再根据完全平方公式得：
$(x-\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}-2· x·\frac{1}{x}$
代入$x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{17}{4}$得：
$(x-\frac{1}{x})^2=\frac{17}{4}-2=\frac{17}{4}-\frac{8}{4}=\frac{9}{4}$
【答案】
(1)$x^2+y^2=7$，$(x-y)^2=5$；
(2)$x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{17}{4}$，$(x-\frac{1}{x})^2=\frac{9}{4}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，等式的性质
【点评】
本题核心考查完全平方公式的灵活变形，掌握$a^2+b^2$、$(a\pm b)^2$、$a\pm b$、$ab$四类代数式之间的互化技巧是解题的关键，第二问解题时需先判断x的取值范围，确认x不为0后再除以x，避免漏考虑条件出错。
【难度系数】
0.7
