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1.在试验探索随机事件中隐含着的确定性事实时,你能自己设计试验方案,绘制统计表,根据试验数据绘制折线图,进而分析、归纳结论(随机事件的频率以及等可能事件)吗?能说明应注意哪些问题吗?
2.利用频率可以估计事件发生机会的大小,你能根据自己的生活经验和学习经验,不做试验猜测出一些简单事件发生的机会吗?请你结合一些实例,猜一猜,再试验验证.
3.粗略地估计事件发生机会与较精准地估计事件发生机会对试验有什么不同要求.
4.结合实例说一说如何预测概率,在分析预测概率中要把握住哪两个关键?
5.在分析预测概率时,常借助树状图或表格把所有机会均等的结果分析出来,你会设计应用吗?请结合实例说明.
思维延伸
1.随机事件在试验中有时发生有时不发生,但随着试验次数的增加,随机事件的频率(成功率)的折线图有“先波澜起伏,后风平浪静”的特点,由此你对该事件在每次试验中发生的机会是如何理解的?
2.在运用试验的方法估计随机事件发生的机会中,运用了哪些数学思想方法?在学习态度和学习方式上提出了哪些要求?你能结合实例解释对试验条件和试验次数所提要求的意义吗?
3.推测某一事件发生概率的大小时,必须考虑试验中与这一事件等可能发生的其他事件有多少,请你结合实例说明其中的道理,并指出在分析这类问题时运用了什么数学思想方法.
4.你能根据自己的经验结合身边的实例说明如何计算某事件发生的概率吗?
九年级数学(上)—111
1.在试验探索随机事件中隐含着的确定性事实时,你能自己设计试验方案,绘制统计表,根据试验数据绘制折线图,进而分析、归纳结论(随机事件的频率以及等可能事件)吗?能说明应注意哪些问题吗?
2.利用频率可以估计事件发生机会的大小,你能根据自己的生活经验和学习经验,不做试验猜测出一些简单事件发生的机会吗?请你结合一些实例,猜一猜,再试验验证.
3.粗略地估计事件发生机会与较精准地估计事件发生机会对试验有什么不同要求.
4.结合实例说一说如何预测概率,在分析预测概率中要把握住哪两个关键?
5.在分析预测概率时,常借助树状图或表格把所有机会均等的结果分析出来,你会设计应用吗?请结合实例说明.
思维延伸
1.随机事件在试验中有时发生有时不发生,但随着试验次数的增加,随机事件的频率(成功率)的折线图有“先波澜起伏,后风平浪静”的特点,由此你对该事件在每次试验中发生的机会是如何理解的?
2.在运用试验的方法估计随机事件发生的机会中,运用了哪些数学思想方法?在学习态度和学习方式上提出了哪些要求?你能结合实例解释对试验条件和试验次数所提要求的意义吗?
3.推测某一事件发生概率的大小时,必须考虑试验中与这一事件等可能发生的其他事件有多少,请你结合实例说明其中的道理,并指出在分析这类问题时运用了什么数学思想方法.
4.你能根据自己的经验结合身边的实例说明如何计算某事件发生的概率吗?
九年级数学(上)—111
答案
解：
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1. 示例试验方案：设计抛均匀硬币试验，统计不同试验次数下正面朝上的相关数据，绘制统计表如下：
| 试验总次数$n$ | 10 | 50 | 100 | 200 | 500 | 1000 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正面朝上次数$m$ | | | | | | |
| 正面朝上频率$\frac{m}{n}$ | | | | | | |
根据上表数据绘制频率随试验次数变化的折线图，可归纳结论：随着试验次数增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，抛硬币出现正面和反面是等可能事件。
需注意的问题：①每次试验条件保持一致，如硬币质地均匀、抛起的高度和力度相近；②试验次数要足够多，避免偶然因素干扰；③统计数据要真实准确，不得随意篡改试验结果。
2. 示例猜测：抛掷一枚均匀骰子，点数为1的发生机会猜测为$\frac{1}{6}$；从装有3个红球、1个白球的不透明袋子中随机摸球，摸到红球的发生机会猜测为$\frac{3}{4}$。后续重复大量对应试验，可验证事件发生的频率会逐渐趋近于预先猜测的概率值。
3. 粗略估计事件发生机会：仅需要少量试验，甚至可直接结合生活经验判断，对试验次数、试验条件的一致性要求低，得到的结果仅为事件发生机会的大致范围。
较精准估计事件发生机会：需要保证每次试验条件完全一致，且试验次数足够多，通过大量试验得到的稳定频率作为概率的估计值，结果的误差更小。
4. 示例：抛掷一枚均匀硬币，预测正面朝上的概率：首先明确所有等可能的结果共2种：正面朝上、反面朝上，再确认目标事件“正面朝上”包含的结果数为1，因此可得概率为$\frac{1}{2}$。
分析预测概率的两个关键：①试验的所有结果出现的机会是均等的；②准确统计所有等可能的结果总数，以及目标事件包含的结果数。
5. 示例：同时抛掷两枚均匀硬币，求出现一正一反的概率。
用表格列举所有等可能结果：
| 第一枚\第二枚 | 正 | 反 |
| ---- | ---- | ---- |
| 正 | (正,正) | (正,反) |
| 反 | (反,正) | (反,反) |
所有等可能结果共4种，其中一正一反的结果有2种，因此对应概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
也可通过树状图列举：第一层画出第一枚硬币的两种结果“正”“反”，每个分支下第二层对应第二枚硬币的“正”“反”分支，同样得到全部4种等可能结果，完成概率计算。
---
思维延伸
1. 单次试验中随机事件的发生是随机的，无法提前确定该事件是否发生；但该事件本身发生的概率是固定的常数，不会随单次试验的结果改变，当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐趋近于这个固定的概率值，体现随机事件背后隐含的确定性规律。
2. 运用的数学思想方法：用频率估计概率的逼近思想、统计推断思想、随机与确定对立统一的辩证思想。
学习态度和方式要求：秉持严谨求实的科学态度，主动动手参与试验，不能凭空臆造试验数据，可通过小组合作完成大次数试验，共同记录分析数据。
实例意义：比如抛硬币试验，要求硬币质地均匀、每次在同一高度自由落下，是为了保证每次试验的条件一致，避免人为因素导致某一面更容易朝上，保证每个结果等可能；要求试验总次数达到数百次以上，是因为试验次数过少时频率波动极大，无法体现出频率趋近于概率的规律，只有试验次数足够多，得到的频率估计值才会更贴近真实概率。
3. 实例：抛掷一枚两面都印了数字6的均匀骰子，求掷出点数为6的概率，若错误认为骰子有1~6共6种等可能结果，就会得到概率为$\frac{1}{6}$的错误结论，实际上该骰子所有面的结果都是6，所有等可能的结果只有1种，掷出6的概率为1。
道理：只有明确所有等可能发生的结果的总数，才能用目标事件包含的结果数除以总结果数得到正确的概率，若遗漏或者错误判断了等可能的结果总数，得到的概率必然错误。
该分析过程运用了分类计数思想、化归思想，核心是等可能性思想方法。
4. 身边实例：班级共有40名同学，其中男生22名，女生18名，放学时随机点一名同学留下来帮忙值日，求点到女生的概率。计算方法：首先所有被点名的同学机会均等，总共有40种等可能的结果，其中点到女生的结果有18种，因此点到女生的概率为$\frac{18}{40}=\frac{9}{20}$。
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1. 示例试验方案：设计抛均匀硬币试验，统计不同试验次数下正面朝上的相关数据，绘制统计表如下：
| 试验总次数$n$ | 10 | 50 | 100 | 200 | 500 | 1000 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正面朝上次数$m$ | | | | | | |
| 正面朝上频率$\frac{m}{n}$ | | | | | | |
根据上表数据绘制频率随试验次数变化的折线图，可归纳结论：随着试验次数增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，抛硬币出现正面和反面是等可能事件。
需注意的问题：①每次试验条件保持一致，如硬币质地均匀、抛起的高度和力度相近；②试验次数要足够多，避免偶然因素干扰；③统计数据要真实准确，不得随意篡改试验结果。
2. 示例猜测：抛掷一枚均匀骰子，点数为1的发生机会猜测为$\frac{1}{6}$；从装有3个红球、1个白球的不透明袋子中随机摸球，摸到红球的发生机会猜测为$\frac{3}{4}$。后续重复大量对应试验，可验证事件发生的频率会逐渐趋近于预先猜测的概率值。
3. 粗略估计事件发生机会：仅需要少量试验，甚至可直接结合生活经验判断，对试验次数、试验条件的一致性要求低，得到的结果仅为事件发生机会的大致范围。
较精准估计事件发生机会：需要保证每次试验条件完全一致，且试验次数足够多，通过大量试验得到的稳定频率作为概率的估计值，结果的误差更小。
4. 示例：抛掷一枚均匀硬币，预测正面朝上的概率：首先明确所有等可能的结果共2种：正面朝上、反面朝上，再确认目标事件“正面朝上”包含的结果数为1，因此可得概率为$\frac{1}{2}$。
分析预测概率的两个关键：①试验的所有结果出现的机会是均等的；②准确统计所有等可能的结果总数，以及目标事件包含的结果数。
5. 示例：同时抛掷两枚均匀硬币，求出现一正一反的概率。
用表格列举所有等可能结果：
| 第一枚\第二枚 | 正 | 反 |
| ---- | ---- | ---- |
| 正 | (正,正) | (正,反) |
| 反 | (反,正) | (反,反) |
所有等可能结果共4种，其中一正一反的结果有2种，因此对应概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
也可通过树状图列举：第一层画出第一枚硬币的两种结果“正”“反”，每个分支下第二层对应第二枚硬币的“正”“反”分支，同样得到全部4种等可能结果，完成概率计算。
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思维延伸
1. 单次试验中随机事件的发生是随机的，无法提前确定该事件是否发生；但该事件本身发生的概率是固定的常数，不会随单次试验的结果改变，当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐趋近于这个固定的概率值，体现随机事件背后隐含的确定性规律。
2. 运用的数学思想方法：用频率估计概率的逼近思想、统计推断思想、随机与确定对立统一的辩证思想。
学习态度和方式要求：秉持严谨求实的科学态度，主动动手参与试验，不能凭空臆造试验数据，可通过小组合作完成大次数试验，共同记录分析数据。
实例意义：比如抛硬币试验，要求硬币质地均匀、每次在同一高度自由落下，是为了保证每次试验的条件一致，避免人为因素导致某一面更容易朝上，保证每个结果等可能；要求试验总次数达到数百次以上，是因为试验次数过少时频率波动极大，无法体现出频率趋近于概率的规律，只有试验次数足够多，得到的频率估计值才会更贴近真实概率。
3. 实例：抛掷一枚两面都印了数字6的均匀骰子，求掷出点数为6的概率，若错误认为骰子有1~6共6种等可能结果，就会得到概率为$\frac{1}{6}$的错误结论，实际上该骰子所有面的结果都是6，所有等可能的结果只有1种，掷出6的概率为1。
道理：只有明确所有等可能发生的结果的总数，才能用目标事件包含的结果数除以总结果数得到正确的概率，若遗漏或者错误判断了等可能的结果总数，得到的概率必然错误。
该分析过程运用了分类计数思想、化归思想，核心是等可能性思想方法。
4. 身边实例：班级共有40名同学，其中男生22名，女生18名，放学时随机点一名同学留下来帮忙值日，求点到女生的概率。计算方法：首先所有被点名的同学机会均等，总共有40种等可能的结果，其中点到女生的结果有18种，因此点到女生的概率为$\frac{18}{40}=\frac{9}{20}$。
解析
【分析】
本题围绕随机事件概率的核心知识点设置多维度探究问题，解题时可按问题逻辑逐层推进：①设计试验优先选取抛硬币、掷骰子等操作简便的等可能事件，控制试验条件一致、保证数据真实，结合频率的稳定性归纳结论；②猜测简单事件概率时先判断事件是否满足等可能性，再通过目标结果数与总结果数的比值估算，用大量重复试验验证；③区分粗略与精准估计概率的差异，可从试验条件要求、试验次数两个核心角度对比；④预测概率需牢牢把握“所有结果等可能”“准确统计总结果数与目标事件结果数”两个关键；⑤用列表或树状图计算概率时要做到不重不漏列举所有等可能结果；思维延伸类问题可结合频率稳定性规律、概率相关数学思想，搭配生活实例作答即可。
【解析】
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1. 示例试验方案：设计抛均匀硬币试验，统计不同试验次数下正面朝上的相关数据，绘制统计表如下：
| 试验总次数$n$ | 10 | 50 | 100 | 200 | 500 | 1000 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正面朝上次数$m$ | | | | | | |
| 正面朝上频率$\frac{m}{n}$ | | | | | | |
根据上表数据绘制频率随试验次数变化的折线图，可归纳结论：随着试验次数增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，抛硬币出现正面和反面是等可能事件。
需注意的问题：①每次试验条件保持一致，如硬币质地均匀、抛起的高度和力度相近；②试验次数要足够多，避免偶然因素干扰；③统计数据要真实准确，不得随意篡改试验结果。
2. 示例猜测：抛掷一枚均匀骰子，点数为1的发生机会猜测为$\frac{1}{6}$；从装有3个红球、1个白球的不透明袋子中随机摸球，摸到红球的发生机会猜测为$\frac{3}{4}$。后续重复大量对应试验，可验证事件发生的频率会逐渐趋近于预先猜测的概率值。
3. 粗略估计事件发生机会：仅需要少量试验，甚至可直接结合生活经验判断，对试验次数、试验条件的一致性要求低，得到的结果仅为事件发生机会的大致范围。
较精准估计事件发生机会：需要保证每次试验条件完全一致，且试验次数足够多，通过大量试验得到的稳定频率作为概率的估计值，结果的误差更小。
4. 示例：抛掷一枚均匀硬币，预测正面朝上的概率：首先明确所有等可能的结果共2种：正面朝上、反面朝上，再确认目标事件“正面朝上”包含的结果数为1，因此可得概率为$\frac{1}{2}$。
分析预测概率的两个关键：①试验的所有结果出现的机会是均等的；②准确统计所有等可能的结果总数，以及目标事件包含的结果数。
5. 示例：同时抛掷两枚均匀硬币，求出现一正一反的概率。
用表格列举所有等可能结果：
| 第一枚\第二枚 | 正 | 反 |
| ---- | ---- | ---- |
| 正 | (正,正) | (正,反) |
| 反 | (反,正) | (反,反) |
所有等可能结果共4种，其中一正一反的结果有2种，因此对应概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
也可通过树状图列举：第一层画出第一枚硬币的两种结果“正”“反”，每个分支下第二层对应第二枚硬币的“正”“反”分支，同样得到全部4种等可能结果，完成概率计算。
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思维延伸
1. 单次试验中随机事件的发生是随机的，无法提前确定该事件是否发生；但该事件本身发生的概率是固定的常数，不会随单次试验的结果改变，当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐趋近于这个固定的概率值，体现随机事件背后隐含的确定性规律。
2. 运用的数学思想方法：用频率估计概率的逼近思想、统计推断思想、随机与确定对立统一的辩证思想。
学习态度和方式要求：秉持严谨求实的科学态度，主动动手参与试验，不能凭空臆造试验数据，可通过小组合作完成大次数试验，共同记录分析数据。
实例意义：比如抛硬币试验，要求硬币质地均匀、每次在同一高度自由落下，是为了保证每次试验的条件一致，避免人为因素导致某一面更容易朝上，保证每个结果等可能；要求试验总次数达到数百次以上，是因为试验次数过少时频率波动极大，无法体现出频率趋近于概率的规律，只有试验次数足够多，得到的频率估计值才会更贴近真实概率。
3. 实例：抛掷一枚两面都印了数字6的均匀骰子，求掷出点数为6的概率，若错误认为骰子有1~6共6种等可能结果，就会得到概率为$\frac{1}{6}$的错误结论，实际上该骰子所有面的结果都是6，所有等可能的结果只有1种，掷出6的概率为1。
道理：只有明确所有等可能发生的结果的总数，才能用目标事件包含的结果数除以总结果数得到正确的概率，若遗漏或者错误判断了等可能的结果总数，得到的概率必然错误。
该分析过程运用了分类计数思想、化归思想，核心是等可能性思想方法。
4. 身边实例：班级共有40名同学，其中男生22名，女生18名，放学时随机点一名同学留下来帮忙值日，求点到女生的概率。计算方法：首先所有被点名的同学机会均等，总共有40种等可能的结果，其中点到女生的结果有18种，因此点到女生的概率为$\frac{18}{40}=\frac{9}{20}$。
【答案】
同上述解析内容
【知识点】
频率估计概率，等可能事件概率计算，列表/树状图法求概率
【点评】
本题以递进式的探究问题串联概率模块的核心内容，将抽象的概率概念与可操作的试验、生活常见实例相结合，既考查对概率基础概念、计算方法的掌握，也引导学生建立严谨的试验探究意识，体会随机事件中蕴含的确定性规律，兼具知识性和实践性。
【难度系数】
0.7
本题围绕随机事件概率的核心知识点设置多维度探究问题，解题时可按问题逻辑逐层推进：①设计试验优先选取抛硬币、掷骰子等操作简便的等可能事件，控制试验条件一致、保证数据真实，结合频率的稳定性归纳结论；②猜测简单事件概率时先判断事件是否满足等可能性，再通过目标结果数与总结果数的比值估算，用大量重复试验验证；③区分粗略与精准估计概率的差异，可从试验条件要求、试验次数两个核心角度对比；④预测概率需牢牢把握“所有结果等可能”“准确统计总结果数与目标事件结果数”两个关键；⑤用列表或树状图计算概率时要做到不重不漏列举所有等可能结果；思维延伸类问题可结合频率稳定性规律、概率相关数学思想，搭配生活实例作答即可。
【解析】
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1. 示例试验方案：设计抛均匀硬币试验，统计不同试验次数下正面朝上的相关数据，绘制统计表如下：
| 试验总次数$n$ | 10 | 50 | 100 | 200 | 500 | 1000 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正面朝上次数$m$ | | | | | | |
| 正面朝上频率$\frac{m}{n}$ | | | | | | |
根据上表数据绘制频率随试验次数变化的折线图，可归纳结论：随着试验次数增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，抛硬币出现正面和反面是等可能事件。
需注意的问题：①每次试验条件保持一致，如硬币质地均匀、抛起的高度和力度相近；②试验次数要足够多，避免偶然因素干扰；③统计数据要真实准确，不得随意篡改试验结果。
2. 示例猜测：抛掷一枚均匀骰子，点数为1的发生机会猜测为$\frac{1}{6}$；从装有3个红球、1个白球的不透明袋子中随机摸球，摸到红球的发生机会猜测为$\frac{3}{4}$。后续重复大量对应试验，可验证事件发生的频率会逐渐趋近于预先猜测的概率值。
3. 粗略估计事件发生机会：仅需要少量试验，甚至可直接结合生活经验判断，对试验次数、试验条件的一致性要求低，得到的结果仅为事件发生机会的大致范围。
较精准估计事件发生机会：需要保证每次试验条件完全一致，且试验次数足够多，通过大量试验得到的稳定频率作为概率的估计值，结果的误差更小。
4. 示例：抛掷一枚均匀硬币，预测正面朝上的概率：首先明确所有等可能的结果共2种：正面朝上、反面朝上，再确认目标事件“正面朝上”包含的结果数为1，因此可得概率为$\frac{1}{2}$。
分析预测概率的两个关键：①试验的所有结果出现的机会是均等的；②准确统计所有等可能的结果总数，以及目标事件包含的结果数。
5. 示例：同时抛掷两枚均匀硬币，求出现一正一反的概率。
用表格列举所有等可能结果：
| 第一枚\第二枚 | 正 | 反 |
| ---- | ---- | ---- |
| 正 | (正,正) | (正,反) |
| 反 | (反,正) | (反,反) |
所有等可能结果共4种，其中一正一反的结果有2种，因此对应概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
也可通过树状图列举：第一层画出第一枚硬币的两种结果“正”“反”，每个分支下第二层对应第二枚硬币的“正”“反”分支，同样得到全部4种等可能结果，完成概率计算。
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思维延伸
1. 单次试验中随机事件的发生是随机的，无法提前确定该事件是否发生；但该事件本身发生的概率是固定的常数，不会随单次试验的结果改变，当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐趋近于这个固定的概率值，体现随机事件背后隐含的确定性规律。
2. 运用的数学思想方法：用频率估计概率的逼近思想、统计推断思想、随机与确定对立统一的辩证思想。
学习态度和方式要求：秉持严谨求实的科学态度，主动动手参与试验，不能凭空臆造试验数据，可通过小组合作完成大次数试验，共同记录分析数据。
实例意义：比如抛硬币试验，要求硬币质地均匀、每次在同一高度自由落下，是为了保证每次试验的条件一致，避免人为因素导致某一面更容易朝上，保证每个结果等可能；要求试验总次数达到数百次以上，是因为试验次数过少时频率波动极大，无法体现出频率趋近于概率的规律，只有试验次数足够多，得到的频率估计值才会更贴近真实概率。
3. 实例：抛掷一枚两面都印了数字6的均匀骰子，求掷出点数为6的概率，若错误认为骰子有1~6共6种等可能结果，就会得到概率为$\frac{1}{6}$的错误结论，实际上该骰子所有面的结果都是6，所有等可能的结果只有1种，掷出6的概率为1。
道理：只有明确所有等可能发生的结果的总数，才能用目标事件包含的结果数除以总结果数得到正确的概率，若遗漏或者错误判断了等可能的结果总数，得到的概率必然错误。
该分析过程运用了分类计数思想、化归思想，核心是等可能性思想方法。
4. 身边实例：班级共有40名同学，其中男生22名，女生18名，放学时随机点一名同学留下来帮忙值日，求点到女生的概率。计算方法：首先所有被点名的同学机会均等，总共有40种等可能的结果，其中点到女生的结果有18种，因此点到女生的概率为$\frac{18}{40}=\frac{9}{20}$。
【答案】
同上述解析内容
【知识点】
频率估计概率，等可能事件概率计算，列表/树状图法求概率
【点评】
本题以递进式的探究问题串联概率模块的核心内容，将抽象的概率概念与可操作的试验、生活常见实例相结合，既考查对概率基础概念、计算方法的掌握，也引导学生建立严谨的试验探究意识，体会随机事件中蕴含的确定性规律，兼具知识性和实践性。
【难度系数】
0.7
