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三、解答题
1. 已知$y$与$x+1$成反比例，且当$x=1$时，$y=1$.
(1)求$y$关于$x$的表达式；
(2)当$y=4$时，求$x$的值.
1. 已知$y$与$x+1$成反比例，且当$x=1$时，$y=1$.
(1)求$y$关于$x$的表达式；
(2)当$y=4$时，求$x$的值.
答案
1. (1) $y=\dfrac{2}{x+1}$ (2) $x = -\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
(1) 首先根据“y与x+1成反比例”的条件，结合反比例的定义，可设出含待定系数k的函数表达式$y=\dfrac{k}{x+1}$（$k\ne0$）；再将已知的x=1、y=1代入表达式，即可求出k的值，进而得到y关于x的表达式。
(2) 第二问只需将y=4代入第一问求出的函数表达式，得到关于x的分式方程，解方程即可求出x的值，注意最后要检验分母不为0。
【解析】
(1) 解：
∵ y与$x+1$成反比例，
∴ 设$y=\dfrac{k}{x+1}$（$k$为常数，$k\ne0$）。
把$x=1$，$y=1$代入上式，得：
$1=\dfrac{k}{1+1}$，
解得$k=2$，
∴ y关于x的表达式为$y=\dfrac{2}{x+1}$。
(2) 把$y=4$代入$y=\dfrac{2}{x+1}$，得：
$4=\dfrac{2}{x+1}$，
两边同乘$(x+1)$去分母，得：
$4(x+1)=2$，
去括号得$4x+4=2$，
移项、合并同类项得$4x=-2$，
系数化为1得$x=-\dfrac{1}{2}$。
检验：当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$x+1=\dfrac{1}{2}\ne0$，故$x=-\dfrac{1}{2}$是原方程的解。
【答案】
(1) $y=\dfrac{2}{x+1}$
(2) $x=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
3. 解分式方程
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查对反比例关系的理解和待定系数法的运用，解题的关键是正确根据两个量成反比例的条件设出对应的函数表达式，计算难度较低，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
(1) 首先根据“y与x+1成反比例”的条件，结合反比例的定义，可设出含待定系数k的函数表达式$y=\dfrac{k}{x+1}$（$k\ne0$）；再将已知的x=1、y=1代入表达式，即可求出k的值，进而得到y关于x的表达式。
(2) 第二问只需将y=4代入第一问求出的函数表达式，得到关于x的分式方程，解方程即可求出x的值，注意最后要检验分母不为0。
【解析】
(1) 解：
∵ y与$x+1$成反比例，
∴ 设$y=\dfrac{k}{x+1}$（$k$为常数，$k\ne0$）。
把$x=1$，$y=1$代入上式，得：
$1=\dfrac{k}{1+1}$，
解得$k=2$，
∴ y关于x的表达式为$y=\dfrac{2}{x+1}$。
(2) 把$y=4$代入$y=\dfrac{2}{x+1}$，得：
$4=\dfrac{2}{x+1}$，
两边同乘$(x+1)$去分母，得：
$4(x+1)=2$，
去括号得$4x+4=2$，
移项、合并同类项得$4x=-2$，
系数化为1得$x=-\dfrac{1}{2}$。
检验：当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$x+1=\dfrac{1}{2}\ne0$，故$x=-\dfrac{1}{2}$是原方程的解。
【答案】
(1) $y=\dfrac{2}{x+1}$
(2) $x=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
3. 解分式方程
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查对反比例关系的理解和待定系数法的运用，解题的关键是正确根据两个量成反比例的条件设出对应的函数表达式，计算难度较低，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
2. 写出下列问题中的函数解析式,并判断它们是否为反比例函数.
(1)某农场的粮食总产量为1 500 t,写出该农场人数y(单位:人)与平均每人生产粮食量x(单位:t)的函数解析式;
(2)在加油站,加油机显示器上显示的某一种油的单价为9.75元/L,总价从0元开始随着加油量的变化而变化,写出总价y(单位:元)与加油量x(单位:L)的函数解析式.
(1)某农场的粮食总产量为1 500 t,写出该农场人数y(单位:人)与平均每人生产粮食量x(单位:t)的函数解析式;
(2)在加油站,加油机显示器上显示的某一种油的单价为9.75元/L,总价从0元开始随着加油量的变化而变化,写出总价y(单位:元)与加油量x(单位:L)的函数解析式.
答案
2. (1)$y=\dfrac{1500}{x}$,是反比例函数 (2)$y=9.75x$,是正比例函数,不是反比例函数
解析
【分析】
解题思路分两步：第一步先找准题目中的基本数量关系，写出对应等量等式，再将等式变形为用含自变量x的式子表示函数y的形式；第二步对照反比例函数的定义（形如$y=\dfrac{k}{x}$，k为常数且$k≠ 0$的函数是反比例函数），判断所得解析式是否符合定义即可。
【解析】
(1) 根据“粮食总产量=平均每人生产粮食量×人数”，可得等量关系：$1500 = x· y$，将等式变形为用x表示y的形式，得$y=\dfrac{1500}{x}$，该式符合反比例函数的形式（其中k=1500是不为0的常数），因此是反比例函数。
(2) 根据“总价=油的单价×加油量”，代入数据直接得函数解析式$y=9.75x$，该式是正比例函数的形式，不符合反比例函数的结构特征，因此不是反比例函数。
【答案】
(1)$y=\dfrac{1500}{x}$，是反比例函数 (2)$y=9.75x$，是正比例函数，不是反比例函数
【知识点】
1.反比例函数的定义 2.实际问题列函数解析式 3.正比例函数的定义
【点评】
本题是函数概念的基础应用题，解题核心是先正确梳理实际问题中的等量关系得到函数解析式，再紧扣反比例函数的定义进行判断，要注意区分正比例函数和反比例函数的形式差异，避免混淆。
【难度系数】
0.9
解题思路分两步：第一步先找准题目中的基本数量关系，写出对应等量等式，再将等式变形为用含自变量x的式子表示函数y的形式；第二步对照反比例函数的定义（形如$y=\dfrac{k}{x}$，k为常数且$k≠ 0$的函数是反比例函数），判断所得解析式是否符合定义即可。
【解析】
(1) 根据“粮食总产量=平均每人生产粮食量×人数”，可得等量关系：$1500 = x· y$，将等式变形为用x表示y的形式，得$y=\dfrac{1500}{x}$，该式符合反比例函数的形式（其中k=1500是不为0的常数），因此是反比例函数。
(2) 根据“总价=油的单价×加油量”，代入数据直接得函数解析式$y=9.75x$，该式是正比例函数的形式，不符合反比例函数的结构特征，因此不是反比例函数。
【答案】
(1)$y=\dfrac{1500}{x}$，是反比例函数 (2)$y=9.75x$，是正比例函数，不是反比例函数
【知识点】
1.反比例函数的定义 2.实际问题列函数解析式 3.正比例函数的定义
【点评】
本题是函数概念的基础应用题，解题核心是先正确梳理实际问题中的等量关系得到函数解析式，再紧扣反比例函数的定义进行判断，要注意区分正比例函数和反比例函数的形式差异，避免混淆。
【难度系数】
0.9
3. 如图,小明文昌老家有一面长为11 m的墙,他爷爷利用这面墙建成一个其他三面用栅栏围成的矩形养鸡场地,面积为$60\ \mathrm{m}^2$. 设与墙垂直的边长为$x\ \mathrm{m}$,与墙平行的边长为$y\ \mathrm{m}$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(2)*现有两种方案$x=5$或$x=6$,试选择合理的设计方案,并求栅栏总长.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(2)*现有两种方案$x=5$或$x=6$,试选择合理的设计方案,并求栅栏总长.
答案
3. (1)$y=\dfrac{60}{x}$,$x≥ \dfrac{60}{11}$ (2)当$x=5$时 ,$y=\dfrac{60}{5}=12$, $\because 12＞11$ , $\therefore$ 不符合题意,舍去;当$x=6$时 ,$y=\dfrac{60}{6}=10$, $\because 10＜11$ , $\therefore$ 符合题意,此栅栏总长为:$2x+y=2×6+10=22(\mathrm{m})$. 即:应选择$x=6$的设计方案,栅栏总长为22 m.
解析
【分析】
(1) 首先根据矩形面积公式“面积=长×宽”，已知面积为60m²，可得x与y的乘积为60，变形即可得到y关于x的函数解析式；再结合实际限制条件：平行于墙的边长y不能超过墙的总长度11m，且边长x为正数，即可求出自变量x的取值范围。
(2) 分别将x=5和x=6代入(1)中得到的函数解析式，计算对应的y值，判断y是否≤11，筛选出符合实际的方案，再根据栅栏总长=2×垂直墙边长+平行墙边长计算总长度即可。
【解析】
(1) 由矩形面积公式可得：$xy=60$，变形得$y=\dfrac{60}{x}$。
根据实际意义，平行于墙的边长$y≤11$，且$x＞0$，因此：
$\dfrac{60}{x}≤11$，不等式两边同乘正数x得$11x≥60$，解得$x≥\dfrac{60}{11}$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{60}{x}$，自变量$x$的取值范围是$x≥\dfrac{60}{11}$。
(2) ①当$x=5$时，代入解析式得$y=\dfrac{60}{5}=12$，
$\because 12＞11$，超过墙的最大长度，不符合实际，舍去该方案；
②当$x=6$时，代入解析式得$y=\dfrac{60}{6}=10$，
$\because 10＜11$，符合实际限制条件，
此时栅栏总长为$2x+y=2×6+10=22(\mathrm{m})$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{60}{x}$，$x≥ \dfrac{60}{11}$；
(2)选择$x=6$的设计方案，栅栏总长为22 m。
【知识点】
反比例函数解析式，实际问题自变量取值范围，代数式求值
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的基础应用，解题的关键是不要忽略墙的长度对平行墙边长的限制，要结合实际情况筛选合理方案，属于常规基础应用题。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据矩形面积公式“面积=长×宽”，已知面积为60m²，可得x与y的乘积为60，变形即可得到y关于x的函数解析式；再结合实际限制条件：平行于墙的边长y不能超过墙的总长度11m，且边长x为正数，即可求出自变量x的取值范围。
(2) 分别将x=5和x=6代入(1)中得到的函数解析式，计算对应的y值，判断y是否≤11，筛选出符合实际的方案，再根据栅栏总长=2×垂直墙边长+平行墙边长计算总长度即可。
【解析】
(1) 由矩形面积公式可得：$xy=60$，变形得$y=\dfrac{60}{x}$。
根据实际意义，平行于墙的边长$y≤11$，且$x＞0$，因此：
$\dfrac{60}{x}≤11$，不等式两边同乘正数x得$11x≥60$，解得$x≥\dfrac{60}{11}$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{60}{x}$，自变量$x$的取值范围是$x≥\dfrac{60}{11}$。
(2) ①当$x=5$时，代入解析式得$y=\dfrac{60}{5}=12$，
$\because 12＞11$，超过墙的最大长度，不符合实际，舍去该方案；
②当$x=6$时，代入解析式得$y=\dfrac{60}{6}=10$，
$\because 10＜11$，符合实际限制条件，
此时栅栏总长为$2x+y=2×6+10=22(\mathrm{m})$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{60}{x}$，$x≥ \dfrac{60}{11}$；
(2)选择$x=6$的设计方案，栅栏总长为22 m。
【知识点】
反比例函数解析式，实际问题自变量取值范围，代数式求值
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的基础应用，解题的关键是不要忽略墙的长度对平行墙边长的限制，要结合实际情况筛选合理方案，属于常规基础应用题。
【难度系数】
0.7
