2.阅读背景材料,解决问题.
用硬纸板制作无盖纸盒
背景 在一次劳动课上,老师准备了一些长为80 cm,宽为40 cm的长方形硬纸板(如图①),准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒(接头处忽略不计).
第2题图①
素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法,例如,求$-2x^2+4x+3$的最大值,过程如下:
$\because -2x^2+4x+3=-2(x^2-2x+1)+3+2=-2(x-1)^2+5$,
$\therefore$当$x=1$时,$-2x^2+4x+3$有最大值5.
方案1 如图②,甲活动小组将纸板均分为左右两块,每一块都在四个直角处裁掉四个边长为$x$ cm的正方形,再沿虚线折起来,其中一个纸盒的底面是正方形$ABCD$.

第2题图②
方案2 如图③,乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为$x$ cm的正方形,再在中间裁掉一块正方形$BCFE$,分别沿着虚线折起来,其中一个纸盒的底面是矩形$ABCD$.
第2题图③
任务1 在方案1中,制作的每个无盖纸盒的底面积为$\mathrm{cm}^2$(用含$x$的代数式表示),并判断底面积能否达到$900\ \mathrm{cm}^2$.
任务2 在方案2中,求制作无盖纸盒的底面$AB$边的长.
任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等,请比较两种纸盒体积的大小.
任务4 利用配方法求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值.

解:任务1:$(40-2x)^2$
令$(40-2x)^2=900$,解得$x_1=5$,$x_2=35$(不符合题意,舍去),
所以底面积能达到$900\ \mathrm{cm}^2$.
任务2:根据题意,得$AB=\frac{1}{2}[80-2x-(40-2x)]=\frac{1}{2}×(80-2x-40+2x)=\frac{1}{2}×40=20(\mathrm{cm})$.
任务3:因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等,所以底面积大的方案的纸盒的体积就大.
由任务1可知方案1中纸盒的底面积为$(40-2x)^2\ \mathrm{cm}^2$.
由任务2可知方案2中纸盒的底面积为$20(40-2x)\ \mathrm{cm}^2$.
根据题意,得$\begin{cases} x＞0, \\ 40-2x＞0, \end{cases}$故$0＜x＜20$.
当$(40-2x)^2＞20(40-2x)$时,解得$0＜x＜10$;
当$(40-2x)^2=20(40-2x)$时,解得$x=10$;
当$(40-2x)^2＜20(40-2x)$时,解得$10＜x＜20$.
故当$0＜x＜10$时,方案1的纸盒体积大;当$x=10$时,方案1与方案2的纸盒体积一样大;当$10＜x＜20$时,方案2的纸盒体积大.
任务4:方案2中制作的单个无盖纸盒的体积为$20×(40-2x)x=-40x^2+800x=-40(x-10)^2+4000$,
$\therefore$当$x=10$时,单个无盖纸盒体积的最大值为$4000\ \mathrm{cm}^3$.