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一、细心思考，填一填。
1. 请你用转化的数学思想方法解决下面的数学问题。一个瓶子里装有一些水，如图，根据图中所给信息，计算出瓶中水的体积占瓶子的容积的（）。
1. 请你用转化的数学思想方法解决下面的数学问题。一个瓶子里装有一些水，如图，根据图中所给信息，计算出瓶中水的体积占瓶子的容积的（）。
答案
设瓶子的底面积为S。
水的体积：$V_{水}=12S$
倒置后瓶内空白部分的高度：$21-15=6$（厘米）
空白部分体积：$V_{空}=6S$
瓶子总容积：$V_{总}=12S+6S=18S$
水的体积占瓶子容积的比值：$12S÷18S=\frac{2}{3}$
$\frac{2}{3}$
水的体积：$V_{水}=12S$
倒置后瓶内空白部分的高度：$21-15=6$（厘米）
空白部分体积：$V_{空}=6S$
瓶子总容积：$V_{总}=12S+6S=18S$
水的体积占瓶子容积的比值：$12S÷18S=\frac{2}{3}$
$\frac{2}{3}$
2.一个圆柱体和一个圆锥体,底面直径之比是2:3,它们体积之比是5:6。圆柱和圆锥的高之比是()。
答案
$\boldsymbol{5:8}$
解析
底面直径之比是2:3，可得底面半径之比为2:3，
底面积之比为$(2^2):(3^2)=4:9$。
设圆柱底面积为$4S$，圆锥底面积为$9S$，圆柱体积为$5V$，圆锥体积为$6V$。
圆柱的高：$h_柱=\frac{5V}{4S}$
圆锥的高：$h_锥=\frac{6V×3}{9S}=\frac{2V}{S}$
$h_柱:h_锥=\frac{5V}{4S}:\frac{2V}{S}=5:8$
底面积之比为$(2^2):(3^2)=4:9$。
设圆柱底面积为$4S$，圆锥底面积为$9S$，圆柱体积为$5V$，圆锥体积为$6V$。
圆柱的高：$h_柱=\frac{5V}{4S}$
圆锥的高：$h_锥=\frac{6V×3}{9S}=\frac{2V}{S}$
$h_柱:h_锥=\frac{5V}{4S}:\frac{2V}{S}=5:8$
3.一个圆锥的体积是48立方厘米，底面积是12平方厘米，它的高是（）厘米。
答案
$ 48×3÷12 = 12 $
答：它的高是12厘米。
答：它的高是12厘米。
4.一根长为20分米的圆柱形木料，平均截成4段，这些木料的表面积比原来增加了75.36平方分米，则原来圆柱形木料的体积是()立方分米。
答案
75.36 ÷ [(4-1)×2] × 20
=75.36 ÷ 6 × 20
=12.56 × 20
=251.2（立方分米）
答：原来圆柱形木料的体积是251.2立方分米。
=75.36 ÷ 6 × 20
=12.56 × 20
=251.2（立方分米）
答：原来圆柱形木料的体积是251.2立方分米。
1.把一根5米长的圆木截成(不斜切)三段小圆木,表面积增加了8平方分米。这根圆木的体积是()立方分米。
A.10
B.40
C.100
D.200
A.10
B.40
C.100
D.200
答案
C
解析
把圆木截成3段，需要截2次，每截1次新增2个圆木的底面，总共新增底面数量为：(3-1)×2=4个。
已知表面积共增加8平方分米，可得圆木的底面积为：8÷4=2平方分米。
统一单位：5米=50分米。
根据圆柱体积公式V=底面积×高，计算圆木体积：2×50=100立方分米。
已知表面积共增加8平方分米，可得圆木的底面积为：8÷4=2平方分米。
统一单位：5米=50分米。
根据圆柱体积公式V=底面积×高，计算圆木体积：2×50=100立方分米。
2.一个圆锥和一个圆柱体积的比是4:5，底面积的比是2:3。如果圆锥的高是36厘米，则圆柱的高是()厘米。
A.20
B.30
C.10
D.40
A.20
B.30
C.10
D.40
答案
C
解析
设圆锥的底面积为2S，圆柱的底面积为3S。
1. 计算圆锥体积：根据圆锥体积公式$V_锥=\frac{1}{3}S_锥h_锥$，代入得$V_锥=\frac{1}{3}×2S×36=24S$。
2. 由体积比$V_锥:V_柱=4:5$，可得圆柱体积$V_柱=24S×\frac{5}{4}=30S$。
3. 根据圆柱体积公式$V_柱=S_柱h_柱$，计算圆柱的高：$h_柱=30S÷3S=10$厘米。
1. 计算圆锥体积：根据圆锥体积公式$V_锥=\frac{1}{3}S_锥h_锥$，代入得$V_锥=\frac{1}{3}×2S×36=24S$。
2. 由体积比$V_锥:V_柱=4:5$，可得圆柱体积$V_柱=24S×\frac{5}{4}=30S$。
3. 根据圆柱体积公式$V_柱=S_柱h_柱$，计算圆柱的高：$h_柱=30S÷3S=10$厘米。
3.如图，一个瓶子的瓶身和瓶颈都是圆柱形，整个瓶子的高度为$a$ cm，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为$\frac{3}{4}a$ cm；当瓶子倒放时，瓶内溶液的高度为$\frac{9}{10}a$ cm。现把瓶内的溶液全部倒在一个和瓶颈一样粗细的圆柱形的容器里，则容器内的溶液高度为（）。
A.$3a$ cm
B.$\frac{15}{8}a$ cm
C.$2a$ cm
D.$\frac{9}{5}a$ cm
A.$3a$ cm
B.$\frac{15}{8}a$ cm
C.$2a$ cm
D.$\frac{9}{5}a$ cm
答案
B
解析
设瓶身（粗圆柱形）底面积为$S_1$，瓶颈（细圆柱形）底面积为$S_2$。
1. 由正放示意图可知，溶液刚好填满整个瓶身，瓶身高度为$\frac{3}{4}a\ \mathrm{cm}$，因此瓶颈高度为$a-\frac{3}{4}a=\frac{1}{4}a\ \mathrm{cm}$，溶液体积$V=S_1×\frac{3}{4}a$。
2. 倒放时，溶液总高度为$\frac{9}{10}a\ \mathrm{cm}$，瓶颈部分完全被溶液填满，剩余溶液在瓶身内的高度为：$\frac{9}{10}a - \frac{1}{4}a=\frac{13}{20}a\ \mathrm{cm}$，因此溶液体积也可表示为：$V=S_2×\frac{1}{4}a + S_1×\frac{13}{20}a$。
3. 联立两个体积表达式：
$S_1×\frac{3}{4}a = S_2×\frac{1}{4}a + S_1×\frac{13}{20}a$
化简得：$\frac{1}{10}aS_1=\frac{1}{4}aS_2$，即$S_1=\frac{5}{2}S_2$。
4. 将溶液倒入底面积为$S_2$的容器，溶液高度$h=\frac{V}{S_2}=\frac{S_1×\frac{3}{4}a}{S_2}=\frac{\frac{5}{2}S_2×\frac{3}{4}a}{S_2}=\frac{15}{8}a\ \mathrm{cm}$。
1. 由正放示意图可知，溶液刚好填满整个瓶身，瓶身高度为$\frac{3}{4}a\ \mathrm{cm}$，因此瓶颈高度为$a-\frac{3}{4}a=\frac{1}{4}a\ \mathrm{cm}$，溶液体积$V=S_1×\frac{3}{4}a$。
2. 倒放时，溶液总高度为$\frac{9}{10}a\ \mathrm{cm}$，瓶颈部分完全被溶液填满，剩余溶液在瓶身内的高度为：$\frac{9}{10}a - \frac{1}{4}a=\frac{13}{20}a\ \mathrm{cm}$，因此溶液体积也可表示为：$V=S_2×\frac{1}{4}a + S_1×\frac{13}{20}a$。
3. 联立两个体积表达式：
$S_1×\frac{3}{4}a = S_2×\frac{1}{4}a + S_1×\frac{13}{20}a$
化简得：$\frac{1}{10}aS_1=\frac{1}{4}aS_2$，即$S_1=\frac{5}{2}S_2$。
4. 将溶液倒入底面积为$S_2$的容器，溶液高度$h=\frac{V}{S_2}=\frac{S_1×\frac{3}{4}a}{S_2}=\frac{\frac{5}{2}S_2×\frac{3}{4}a}{S_2}=\frac{15}{8}a\ \mathrm{cm}$。
